最新橢圓知識點總結(jié)附練習(xí)題

1、橢圓知識點總結(jié)橢圓的定義：平面內(nèi)一動點P到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù) (PF1 | + PF2 | = 2a >|F1F2 ),這個動點P的軌跡叫橢圓.這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離叫作橢圓的焦距.注意：若(PFi | +|PF2 |=|FiF2),則動點P的軌跡為線段F1F2；若(PFi +PF2 <F1F2),則動點P的軌跡無圖形.橢圓的標準方程221 .當焦點在x軸上時，橢圓的標準方程：*2 + y2 = 1 (a a b a 0),其中c2=a2 - b2；a b222.當焦點在y軸上時，橢圓的標準方程：與+ =1 (a Ab a 0),其中c2 = a2b

2、2；a b注意：(1)只有當橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸建立直角坐標系時，才能得到橢圓的標準方程；(2 )在橢圓的兩種標準方程中，都有 (a a b >0)和c2 = a2 b2 ；(3)橢圓的焦點總在長軸上.當焦點在x軸上時，橢圓的焦點坐標為(c,0) , (c,0);當焦點在y軸上時，橢圓的焦點坐標為 (0,c), (0,-c)橢圓的簡單幾何性質(zhì)：22橢圓： 、+q=1 (a > b > 0)的簡單幾何性質(zhì) a b1 .對稱性：2 2對于橢圓標準方程 x2 + y2 =1(aAb>0)： a b以x軸、y軸為對稱軸的軸對稱圖形；以原點為對稱中心的中心對稱圖形

3、2 .范圍：橢圓上所有的點都位于直線 x = ±a和y = 士b所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點的坐標滿足 x <a, y |<b o3 .頂點：橢圓的對稱軸與橢圓的交點稱為橢圓的頂點。x2 y2橢圓2 + 2 =1 (a Ab > 0)與坐標軸的四個交點即為橢圓的四個頂點，坐標分別為a bAA2=2a, B1B2= 2b。a 和A(-a,0), A2(a,0), B1(0-b) , Bz(0,b)線段AA2, B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸， b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4 .離心率:2c c橢圓的焦距與長軸長度的比叫做橢圓的離心率，用 e表小，記作e=2a

4、 a因為（a >c >0）,所以e的取值范圍是（0<e<1）。e越接近1,則c就越接近a,從而b=Ja2 -c2越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0, c就越接近0,從而b越接近于a,這時橢圓就越接近于圓。當且僅當a = b時，c = 0,這時兩個焦點重合，圖形變22為圓，萬程為x + y =a。22橢圓 1 +4 = 1的圖像中線段的幾何特征（如下圖）a2 b2(1) (PFi + PF?PFiPF2= 2a)； JL = JL=e； (PM1 + PM2PM 1 PM2過)c(2) (BFi = BF2 =a); (OFiOF2 =c); AiB = A2Bb2(

5、3) AX I =|A2F2I =ac；AF2I= A2EI =a+c；acWPFI Wa + c；5,通徑：（過橢圓的焦點且垂直于長軸的弦）2b2,通徑長為a6,設(shè)FF2為橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，當 P、FF2三點不在同一直線上時,P、FF2構(gòu)成了一個三角形焦點三角形.兩種橢圓標準方程的區(qū)別和聯(lián)系:2222橢圓 )+22=1與 Y2 +與=1 (a >b >0)的區(qū)別和聯(lián)系 a ba b標準方程22二 十t=1 (a >b > 0) a b22。+J = 1 (a > b > 0) a b圖形 M y33k «A瓦!%性質(zhì)焦點Fi(-c,

6、0), F2(c,0)F1 (0-c), F2(0,c)焦距F1F2 | = 2c| F1F2 | = 2c范圍xWa, 1y I外x | <b ,ywa對稱性關(guān)于x軸、y軸和原點對稱頂點(士a,0), (0, 土b)(0,±a), (土b,0)軸長長軸長=2a,短軸長=2b離心率ce = (0 <e <1) a準線方程2,ax = 土一 c2, a y =± c焦半徑|PE= a+exb, PF2 =a-ex0PF1 = a + ey°, PF2 = a-ey02222xy. yx.注意：橢圓行+%=1, %+=1 (a Ab A 0)的相同點

7、：形狀、大小都相同；參 ab ab數(shù)間的關(guān)系都有(a Ab >0)和 e=W(0<e<1), a2=b2+c2； a不同點：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點坐標也不相同。規(guī)律方法：1,求橢圓方程的常用方法(1)待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置，從而確定橢圓方程的類型，設(shè)出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)a,b,c的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；(2)定義法：由已知條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。2,共焦點的橢圓標準方程形式上的差異22XV,共焦點，則c相同。與橢圓 F +2- =1 (a A b A 0)共焦點的橢圓方程可設(shè)為 a2 b222

8、XV2、 十 得一 =1 (m > -b ),此類問題常用待定系數(shù)法求解。a m b m3,方程Ax2 +By2 =C(A,B,C均不為零)是表示橢圓的條件方程Ax2 +By2 =C可化為“22至=1,C C22即工+L=1 ,所以只有A,B,C同號, C CA B且A#B時，方程表示橢圓。x軸上;y軸上?！?C C當 a 時，橢圓的焦點在A B.C C當一 < 一時，橢圓的焦點在A B4,焦點三角形APEF2 ( P為橢圓上的點)有關(guān)的計算問題令 PF/=r1,PF2 =r2/FFF2=e；1?？紤]到用橢圓的定義及余弦定理(或勾股定理)、三角形面積公式 SaF1f2 =21T2

9、sine相結(jié)合的方法進行計算解題。(此處信息量較大)將有關(guān)線段1,2,怛血，有關(guān)角/FFF2 ( /F1PF2 M/F1BF2)結(jié)合起來，建立1+r2,1 丫2之間的關(guān)系. Smax的最大值為bC；5,橢圓的扁圓程度與離心率的關(guān)系1-(b)2(0<e<1)o a一、- C222離心率 e= (0<ec1),因為 c =a -b , 2>00,即6 = a顯然：當b越小時，e(o<e<i)越大，橢圓形越扁；當 b越大，e(0<e< 1)越小,aa橢圓形狀越趨近于圓。6,點與橢圓的位置關(guān)系：22(1)點P(xo,yo)在橢圓外u 組+空下1;a b2

10、2(2)點P(Xo,yo)在橢圓上U 鳥+與=1;a b22(3)點P(x0,y0)在橢圓內(nèi)u組+除<1a b7,直線與橢圓的位置關(guān)系： 22若直線y=kx+b與圓錐曲線XT+yT=1 (a>b>0)相交于兩點A(Xi, yi), B(Xi, y2),將 a b直線方程聯(lián)立曲線方程可得：(a2k2 - b2)x2 - 2a2mkx - a2(m2 - b2) = 0 : =(2a2mk)2 -4a2(m2 -b2)(a2k2 b2) (1)相交：A>0u直線與橢圓相交;(2)相切：0=0直線與橢圓相切;(3)相離： <0匕直線與橢圓相離;8,橢圓的切線方程22(1

11、)橢圓 與+ %=1(2>：>0)上一點P(x0,y0)處的切線方程是 x2x+*2y = 1.a ba b22(2)過橢圓-2- + -y2-=1 (a>b>0)外一點P(x0, y0)所引兩條切線的切點弦方程是 a b21 2a b2 x若直線y=kx+b與圓錐曲線j a2+=1(a >b A 0)相交于兩點 A(Xi, yi), B(x1, y?),b則 AB = Jl+k2'.1若弦AB所在直線方程設(shè)為x = ky +b ,則AB =1Wx1 x2.。注意：要注意兩種直線方程的應(yīng)用時的優(yōu)缺點(詳細介紹韋達定理在圓錐曲線中的應(yīng)用)10,中點弦問題常用

12、“韋達定理”或“點差法”求解抓住兩點：中點坐標，弦所在直線斜率設(shè)交點坐標為A(x1，y3 B(x2,y2),線段AB的中點為M(%,yo),則由2222/、/、/、/、£+2=1, X2+y2= 1 將兩式相減(x1+ x2)(x1- X2)= 一(y1 + y2)(y1- y2)a2 b2a2 b2a2b2y -y2b2(xx2)727x -x2a (y1(1)斜率問題：kAB- 2 ，、b (X x2)2a (y y2)(2)弦中點軌跡問題時:222V y2 _ b 2xo _ b_X0_ 2x0_ _ 2 c 2，kAB 2x 一x2a 2yoay。a yo(3)要注忌：kOM

13、 =" , x。(4)直線 AB 的方程：y _ y。= _ b2xo (x -x0);a yo2(5)線段AB的垂直平分線方程：y-yo =a(x xo).b xoxi -x2 = 1 +正 yi - y2 ；橢圓的幾何性質(zhì)練習(xí)一，橢圓的幾何性質(zhì)的簡單運用2231,已知橢圓x +(m+3)y =m(m>0)的離心率e=,求m的值及橢圓的長軸和短軸2的長，焦點坐標，頂點坐標。2,求與橢圓4x2+9y2 =36有相同的焦距，且離心率為 占5的橢圓的標準方程。523,在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1,F2在x軸上，離心率為 2過Fi的直線l交C于A,B兩點，且

14、AABF2的周長為16,求C的方程。二，求橢圓的離心率1,已知橢圓的中心在原點，焦點 Fi,F2在x軸上，A是橢圓的上頂點，B是橢圓的右頂點,P是橢圓上的一點，且PFi_Lx軸，PF?” AB,求此橢圓的離心率。222,已知橢圓 與+)=1(a Ab0)的左焦點F(c,0), A(a,0),B(0,b)是橢圓的兩個頂點, a b若Fi到直線AB的距離為 手,求橢圓的離心率。3,已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，線段 BF的延長線交C于D點, 且BF =2FD ,求C的離心率。4,設(shè)橢圓上存在一點 P ,它到橢圓中心和長軸一個端點的連線互相垂直，求橢圓離心率的 取值范圍。三，直線與橢

15、圓的位置關(guān)系22；1橢圓x2+MHaAbA。)的離心率為 型.，且橢圓與直線x + 2y+8 = 0相交于P,Q , ab2且PQ =J而,求橢圓的方程。222,直線l過點P(1,1)與橢圓工+匕=1相交于A,B兩點，若P為AB中點，試求直線l的 43方程。223,已知橢圓C的標準方程為士+L =1 ,試確定m的取值范圍，使得對于直線 43l : y =4x + m ,橢圓C上有不同兩點關(guān)于直線 l對稱。四，橢圓中的最值問題221,已知橢圓x+y =1 ,直線l :4x5y+40 = 0 ,橢圓上是否存在一點，它到直線 l的 259距離最小？最小距離是多少？222,點A, B分別是橢圓 + =

16、1長軸的左右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上, 36 20且位于x軸上方，PA _LPF.(1)求點P的坐標；(2)設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于|MB ,求橢圓上點到點M的距離d的最小值。五，橢圓兩種定義的應(yīng)用22x y1,在直線l :x+y -4=0上任取一點 M ,過M且以橢圓 一+2=1的焦點為焦點作橢圓, 16 12問M在何處時，所作橢圓長軸最短，并求此橢圓方程。222,已知橢圓 二十衛(wèi)一=1內(nèi)有一點P(1,-1), F是橢圓的右焦點，在橢圓上求一點 M,使 43MP +2MF 最小。六，綜合問題21,過點P(0,2)作直線l交橢圓C : 土+ y2 =1于

17、A,B兩點，當AAOB得面積最大時，求直2線l的方程。2,已知橢圓的中心為坐標原點 O,焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A,B兩點，0人+ 08與2 = (3,1)共線。(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)M為橢圓上任意一點，且 OM=?uOA十nOB(九，NW R)。求證：九2+N2為定值。22x y3,橢圓-2+%=1(a >b >0)的兩個焦點為F1(c,0),F2(c,0),M為是橢圓上一點，滿足 a bF1M F2M =0.(1)求離心率e的取值范圍；(2)當離心率e取得最小值時，點 N(0,3)到橢圓上的點的最遠距離為5，2,求此時橢圓的方程。2X 222

18、4,已知橢圓G: + y =1,過點(m,0)作圓x +y =1的切線l交橢圓G于A,B兩點。 4(1)求橢圓G的焦點坐標和離心率；(2)將AB表示為m的函數(shù)，并求 AB的最大值。225,設(shè)橢圓、+冬=1(a >b >0)的左右焦點分別為 F1F2,點P(a,b)滿足PF2=FiF2.。 a b(1)求橢圓的離心率e；(2)設(shè)直線PF2與橢圓相交于A,B兩點，若直線PF2與圓(x + 1)2+(y J3)2=16相AB,求橢圓的方程。5交于M , N兩點，且MN = 8226,在平面直角坐標系 xOy中，橢圓x- + y- = 1的左頂點為M ,下頂點為N ,過坐標原 42點的直線

19、交橢圓于 P,A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C ,連接AC ,并延長交橢圓于點 B,設(shè)直線PA的斜率為k.(1)若直線PA平分線段M , N ,求k的值；(2)當k = 2時，求點P到直線AB的距離；(3)對任意的k >0 ,求證：PA .L PB.22x y7,設(shè)Fl, F2分別是橢圓-7+T = 1(a>b >0)的左右焦點，過Fl斜率為1的直線l與橢圓 a b相交于A,B兩點，且|AF2 , AB, BF2成等差數(shù)列。(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)點P(0,1)滿足PA=|PB ,求橢圓的方程。作業(yè)1,某橢圓中心在原點，焦點在 X軸上，若長軸長為18

20、,且兩個焦點恰好將長軸三等分，則 此橢圓的標準方程為。22222,橢圓 土十匕=1與一x十一y一 = 1(0 <k <9)的關(guān)系是。 2599 -k 25 -k3,橢圓的兩個焦點與它的短軸的兩個端點是一個正方形的四個頂點，則橢圓的離心率為O4,若橢圓的兩焦點坐標為F1(-4,0),F2(4,0),P在橢圓上，且 APFF2的最大面積是12,則橢圓的標準方程為。22X V5,兩個正數(shù)1,9的等差中項是a,等比中項是b且b>0,則曲線 +工=1的離心率為 a bo6,已知F1,F2是橢圓的兩個焦點，滿足 MF1MF2=0的點M總在橢圓的內(nèi)部，則橢圓的 離心率的取值范圍是。227,