壓彎構(gòu)件的失穩(wěn)

1、第三章 壓彎構(gòu)件的失穩(wěn)軸力偏心作用的構(gòu)件或同時(shí)受軸力和橫向荷載作用的構(gòu)件稱為壓彎構(gòu)件。由于壓彎構(gòu)件兼有受壓和受彎的功能，又普遍出現(xiàn)在框架結(jié)構(gòu)中，因此又稱為梁柱。鋼結(jié)構(gòu)中的壓彎構(gòu)件多數(shù)是截面至少有一個(gè)對(duì)稱軸，且偏心彎矩作用在對(duì)稱平面的單向偏心情況。對(duì)單向偏心的壓彎構(gòu)件，有可能在彎矩平面內(nèi)失穩(wěn)，即發(fā)生彎曲失穩(wěn)；也有可能在彎矩作用平面外失穩(wěn)，即彎扭失穩(wěn)。其彎曲失穩(wěn)為第二類穩(wěn)定問題，即極值點(diǎn)失穩(wěn)；其彎扭失穩(wěn)對(duì)理想的無(wú)缺陷的壓彎構(gòu)件屬于第一類穩(wěn)定問題，即分支點(diǎn)失穩(wěn)，但對(duì)實(shí)際構(gòu)件則是極值點(diǎn)失穩(wěn)。對(duì)理想的兩端簡(jiǎn)支的雙軸對(duì)稱工形截面壓彎構(gòu)件，在兩端作用有軸線壓力P和使構(gòu)件產(chǎn)生同向曲率變形的彎矩M，如果在其側(cè)向

2、有足夠的支撐 (如圖3.1（b）)，構(gòu)件將發(fā)生平面內(nèi)的彎曲失穩(wěn)，其荷載撓度曲線如圖3.2（a）中曲線a，失穩(wěn)的極限荷載為Pu，屬于極值點(diǎn)失穩(wěn)。 圖3.1 兩端簡(jiǎn)支理想壓彎構(gòu)件 圖3.2 壓彎構(gòu)件荷載變形曲線如果在側(cè)向沒有設(shè)置支撐（如圖3.1（），則構(gòu)件在荷載未達(dá)到平面內(nèi)極限荷載時(shí)，可能發(fā)生彎扭失穩(wěn)，即在彎矩作用平面內(nèi)產(chǎn)生撓度v，在平面外剪心產(chǎn)生位移，并繞縱軸產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)角（如圖3.（），其荷載變形曲線如圖3.2（b）中曲線b，屬于分支點(diǎn)失穩(wěn)，失穩(wěn)的分荷載為Pyw, ，且Pyw <Pu。彎曲失穩(wěn)一般在彈塑性階段出現(xiàn)，而彎扭失穩(wěn)可能發(fā)生在彈性階段，也可能出現(xiàn)在彈塑性階段。3. 1 壓彎構(gòu)件平面內(nèi)

3、失穩(wěn)對(duì)壓彎構(gòu)件，當(dāng)彎矩作用平面外有足夠多支撐可以避免發(fā)生彎扭失穩(wěn)時(shí)，若失穩(wěn)則只可能發(fā)生平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)。當(dāng)用彈性理論分析理想壓彎構(gòu)件的荷載撓度關(guān)系，可以得到圖3. 3中的二階彈性曲線b，它以軸心受壓彎構(gòu)件的分岔點(diǎn)荷載PE 處引出的水平線a為漸近線。實(shí)際壓彎構(gòu)件存在初始缺陷(殘余應(yīng)力幾何缺陷)，材料為彈塑性體。如按彈塑性理論分析，荷載撓度曲線將是圖中曲線 OABC。曲線上A點(diǎn)標(biāo)志著桿件中點(diǎn)截面邊緣開始屈服，對(duì)應(yīng)的荷載為Pe，隨后塑性向截面內(nèi)部發(fā)展，構(gòu)件變形快速增加，形成OAB上升段，構(gòu)件處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)；B點(diǎn)為曲線的極值點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的荷載Pu為構(gòu)件在彎矩作用平面內(nèi)失穩(wěn)的極限荷載；到達(dá)B點(diǎn)以后，由于彈性

4、區(qū)縮小到導(dǎo)致構(gòu)件抵抗力矩的增加小于外力矩的增加程度，出現(xiàn)下降段BC，構(gòu)件處于不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。由失穩(wěn)全過程可以看出實(shí)際壓彎構(gòu)件在彎矩作用平面內(nèi)的彎曲失穩(wěn)屬于二階彈塑性分析的極值點(diǎn)失穩(wěn)，不能用彈性理論和平衡微分方程求解極限荷載Pu，而可用數(shù)值積分法通過得出荷載撓度曲線后求得極限荷載。壓彎構(gòu)件平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)的彈性分析雖然不能求出極限荷載，但它是彈塑性分析的基礎(chǔ)，因此有必要先研究壓彎構(gòu)件平面內(nèi)彈性失穩(wěn)。圖3 .3 壓彎構(gòu)件荷載撓度曲線壓彎構(gòu)件平面內(nèi)彈性彎曲性能在第二章討論初始幾何缺陷對(duì)軸心受壓構(gòu)件穩(wěn)定性能的影響時(shí)，對(duì)圖2.13所示有偏心的軸心受壓桿已作過分析，即當(dāng)作偏心壓彎構(gòu)件得出了荷載P與構(gòu)件中點(diǎn)撓

5、度之間的關(guān)系曲線。從式(2.48)中可以看出，若假設(shè)材料是無(wú)限彈性體，則當(dāng)時(shí)，PPE，即臨界荷載P以歐拉荷載PE為極值。然而實(shí)際材料都是有限彈性的，由于壓彎構(gòu)件平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)時(shí)，構(gòu)件為彈塑性工作狀態(tài)，因此彈性分析只有理論意義。下面僅討論兩端鉸接受軸向壓力和平面內(nèi)橫向荷載共同作用的彈性壓彎構(gòu)件的內(nèi)力與變形性能。1. 橫向均布荷載作用的壓彎構(gòu)件圖3.4(a)所示為在均布荷載q作用下兩端鉸接的壓彎構(gòu)件。假定材料完全彈性，取圖3. 4(c)所示隔離體，在距左端x處截面的內(nèi)力矩，外力矩，平衡方程為令，則 （3.1） 方程 (3. 1)的特解可寫作，代入方程( 3. 1 ) ，有上式是恒等式，故c1=q(

6、2P) ，c2= q(2P) ,c3= EIqP2方程( 3. 1 )對(duì)應(yīng)的齊次線性方程 y+k2y =0 的通解可寫作 y =Asin k+Bcos k，則方程( 3. 1 ) 的通解為 y= Asin k+Bcos k+ q2(2P)q(2P)EIq/ P2 （3.2）由邊界條件 y(0) =0 , y()=0 得A= EIqP2 · tg (2) ， B=EIqP2則 （3.3）構(gòu)件在處有最大撓度 ， 令 ，可得 = （3.4）式中： 是均布荷載作用下簡(jiǎn)支梁的最大撓度，即當(dāng)P=0時(shí)，由式( 3. 4 ) 求得的最大撓度。式( 3. 4 ) 中括號(hào)內(nèi)的值為考慮軸線壓力后最大撓度的

7、放大系數(shù)。圖3.4 均布荷載作用的壓彎構(gòu)件將展開成冪級(jí)數(shù)，有式中則式( 3. 4 )可寫成= （3.5）式中是最大撓度的放大系數(shù)。構(gòu)件中點(diǎn)的最大彎矩為 （3.6）式中是均布荷載作用下簡(jiǎn)支梁跨中的最大彎矩；為等效彎矩系數(shù)；為彎矩放大系數(shù)，用以考慮軸壓力P產(chǎn)生的二階效應(yīng)。2. 橫向集中荷載作用的壓彎構(gòu)件由圖3.5（c）知，當(dāng)0<時(shí)，平衡方程為令，則 （3.7）通解為引入邊界條件，得 則通解 （3.8）令當(dāng)時(shí)，跨中最大撓度為 （3.9）式中是集中荷載Q作用在跨中時(shí)簡(jiǎn)支梁的最大撓度，是有軸壓力作用時(shí)最大撓度放大系數(shù)。將tgu展成冪級(jí)數(shù)將代入，則式( 3. 9 )可改寫為圖3.5 跨中集中荷載作用

8、的壓彎構(gòu)件 （3.10）式中為最大撓度放大系數(shù)。 跨中最大彎矩為 = （3.11）式中是集中荷載作用下簡(jiǎn)支梁最大彎矩；為等效彎矩系數(shù)；彎矩放大系數(shù)。對(duì)于彈性壓彎構(gòu)件，根據(jù)各種荷載作用和支撐情況，可以計(jì)算出跨中彎矩的表達(dá)通式 （3.12）再考慮初始缺陷的影響，假定各種缺陷的等效初彎曲呈跨中撓度為的正弦曲線，則在任意橫向荷載或端彎矩作用下跨中總彎矩應(yīng)為 （3.13）當(dāng)壓彎構(gòu)件長(zhǎng)度中點(diǎn)截面邊緣纖維達(dá)到屈服時(shí)，其應(yīng)滿足 （3.14）令( 3. 14)中，則得到有初始缺陷的軸心壓桿邊緣纖維屈服時(shí)的表達(dá)式 （3.15）因?yàn)椋檩S心壓桿穩(wěn)定系數(shù)），則由式( 3. 15 )得 （3.16）將式( 3. 16

9、)代入( 3. 14 )，整理得由邊緣纖維屈服導(dǎo)出的相關(guān)公式 （3.17）其中等效彎矩系數(shù)取值見表3.1。從圖3.3可以看出，當(dāng)壓彎構(gòu)件截面邊緣纖維開始屈服，構(gòu)件進(jìn)入彈塑性階段后，隨著外荷載的增加，截面彈性區(qū)越來(lái)越小，構(gòu)件抗彎剛度降低，變形加快，以至構(gòu)件抗彎能力增加小于外力作用效應(yīng)的增加，達(dá)到極限狀態(tài)時(shí)（圖3.3極值點(diǎn)B），內(nèi)外力開始無(wú)法平衡，構(gòu)件發(fā)生平面內(nèi)彈塑性整體失穩(wěn)。由于壓彎構(gòu)件的截面形狀、尺寸和外力作用方式等不同，彎曲失穩(wěn)時(shí)構(gòu)件塑性發(fā)展的范圍可能只出現(xiàn)在圖3.6（a）所示的陰影區(qū)，即彎曲凹面受壓的一側(cè)；也可能如圖3.6（b）所示，在受壓凹面和受拉凸面同時(shí)出現(xiàn)塑性區(qū)；對(duì)單軸對(duì)稱截面壓彎構(gòu)

10、件，塑性區(qū)也可能只出現(xiàn)在受拉凸面的一側(cè)，圖3.6（c）所示。圖3.6 壓彎構(gòu)件彎曲失穩(wěn)的塑性區(qū)分布?jí)簭潣?gòu)件的極限荷載求解比較困難，一般情況下可用數(shù)值積分法得到數(shù)值解，但如果截面形狀比較簡(jiǎn)單，不考慮初彎曲和較復(fù)雜的殘余應(yīng)力分布影響時(shí)，經(jīng)簡(jiǎn)化后也可用解析法得到近似解。表3.1 等效彎矩系數(shù)值1. 解析法對(duì)于軸壓力P和兩端相同彎矩M共同作用的兩端簡(jiǎn)支壓彎構(gòu)件（圖3.7），用Jezek解析法18求解可以求出精確度比較高的極限荷載。其假設(shè)為：（1） 材料為理想的彈塑性體；（2） 構(gòu)件的變形曲線為正弦曲線的一個(gè)半波。圖3.7a是矩形截面的壓彎構(gòu)件，在軸力P和端彎矩M共同作用下，平面內(nèi)彈塑性彎曲失穩(wěn)時(shí)構(gòu)件截

11、面的塑性有兩種類型：只出現(xiàn)在受壓區(qū)，如圖3.7b陰影部分所示，截面彈性區(qū)高度為，細(xì)長(zhǎng)構(gòu)件常屬此類；另一類為受壓、受拉區(qū)均出現(xiàn)塑性區(qū)，圖3.7e所示，短粗構(gòu)件常屬此類。下面分別加以討論：1）第一種情況：塑性區(qū)僅出現(xiàn)在受壓區(qū)（圖3.7b）圖3.7c圖3.7d分別為第1種情況截面的應(yīng)變和應(yīng)力圖。由應(yīng)力圖可以分別得出軸線方向力和力矩的平衡方程： 或 （3.18）圖3.7 矩形截面壓彎構(gòu)件中央截面的應(yīng)變和應(yīng)力 （3.19）由上式可解出彈性區(qū)高度 （3.20）式中，,表示軸心受壓時(shí)全截面屈服壓力。由應(yīng)變圖知曲率 （3.21）根據(jù)變形曲線假定，撓曲線為 （3.22）中央截面處的曲率為 （3.23）由式（3.

12、21）式( 3. 22 )知 （3.24）將( 3. 20 )代入( 3. 22 )后，得到構(gòu)件壓力P與撓度v的函數(shù)關(guān)系 （3.25）由極值條件，得 （3.26）將式( 3. 26 )代入( 3. 25)后，得 （3.27）由于時(shí)，截面邊緣纖維開始屈服時(shí)的彎矩，且全截面的慣性矩，則構(gòu)件在平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)的彈塑性極值荷載 （3.28）將式( 3. 26 )代入( 3. 20)，得情況1的彈性區(qū)高度 （3.29）則( 3. 28 )可以寫成 （3.30）式中， 是彈性區(qū)截面慣性矩，說(shuō)明塑性發(fā)展使構(gòu)件抗彎剛度下降至，極限荷載與以彈性區(qū)為截面的軸心受壓構(gòu)件的歐拉臨界力相當(dāng)。塑性區(qū)出現(xiàn)第一種情況的條件是圖

13、3.7 d中截面受拉側(cè)的應(yīng)力，由式( 3. 18 )可以得出 （3.31）也可寫作 （3.32）2) 第2種情況：塑性區(qū)同時(shí)出現(xiàn)在受壓、受拉區(qū)（圖3.7 e）出現(xiàn)第2種情況的條件為 （3.33）根據(jù)圖3.7g所示的應(yīng)力分布，可以分別列出軸線壓力和力矩平衡方程 （3.34） （3.35）由應(yīng)變圖3.7f知曲率 （3.36）聯(lián)立式( 3. 34) ( 3. 35 ) ( 3.36 )可得到與之關(guān)系 （3.37）由極值條件，得 （3.38）將式( 3. 38 )代入式( 3. 37 )，整理后得 （3.39）由式( 3. 36 ) ( 3. 38 ) ( 3. 39 )得到 （3.40）則式( 3.

14、 39 )可以寫作 （3.41）式( 3. 41 )與式( 3. 30 ) 的表達(dá)形式一致。關(guān)于壓彎構(gòu)件的平面內(nèi)彈塑性穩(wěn)定分析，除了簡(jiǎn)明的Jezek方法外，還有較精確的數(shù)值積分法。2. 數(shù)值積分法上述Jezek方法由于先假定壓彎構(gòu)件的變形曲線，此曲線與實(shí)際的變形曲線有誤差，因此不可能建立各個(gè)截面的力平衡方程，而只能建立彎矩最大截面處的內(nèi)外力平衡方程。在分析中也沒有考慮殘余應(yīng)力等初始缺陷的影響。由于計(jì)算中簡(jiǎn)化較多，解析解的精度有待提高，可以用數(shù)值法確定壓彎構(gòu)件的極限荷載。數(shù)值法有多種，數(shù)值積分法是常用的一種。數(shù)值積分法可分為二步計(jì)算：首先根據(jù)截面的內(nèi)力平衡條件建立彎矩，壓力和曲率之間的關(guān)系；然后

15、根據(jù)構(gòu)件的變形曲線建立撓度、轉(zhuǎn)角和曲率之間的關(guān)系，由于曲率與外力矩相對(duì)應(yīng)，故可通過同一截面的曲率建立壓力與撓度的關(guān)系，通過分級(jí)加載得到壓力與構(gòu)件中點(diǎn)撓度的對(duì)應(yīng)函數(shù)關(guān)系，利用極值條件即可得到壓彎構(gòu)件的極限荷載。以圖3.8（a）為例，說(shuō)明數(shù)值積分法的計(jì)算過程。已知截面尺寸構(gòu)件長(zhǎng)度荷載作用條件，殘余應(yīng)力分布如圖3.8（b）所示，殘余壓應(yīng)力拉應(yīng)力峰值分別為和，材料為理想彈塑性體。圖3.8 壓彎構(gòu)件數(shù)值積分法示例1） 建立截面的關(guān)系圖3.9（a）表示劃分為很多單元的工形截面，單元的面積為，截面任一點(diǎn)的應(yīng)變是軸向應(yīng)變彎曲應(yīng)變 和殘余應(yīng)變?nèi)糠值拇鷶?shù)和（如圖3.9（b）（c）所示），即 （a） 圖3.9 截

16、面的應(yīng)變當(dāng)截面處于彈性狀態(tài)時(shí)，應(yīng)力，根據(jù)內(nèi)力平衡條件 （b） （c）由式（c）可知，當(dāng)截面處于彈性狀態(tài)時(shí)，壓彎構(gòu)件和受彎構(gòu)件一樣，彎矩與曲率成正比，而與軸線壓力無(wú)關(guān)。但在彈塑性狀態(tài)，因各截面塑性發(fā)展程度不同，相關(guān)。在彈塑性狀態(tài)時(shí)，若以表示屈服應(yīng)變，任一單元面積上的應(yīng)力均取平均值，則有 當(dāng)時(shí) 當(dāng) 時(shí) （d） 當(dāng) 時(shí)截面的軸向壓力和彎矩分別為 (e)聯(lián)合（a）（d），通過對(duì)式（e）數(shù)值積分即可得到構(gòu)件在彈塑性狀態(tài)的關(guān)系。具體算法見如下框圖圖3.10 電算框圖2）求解壓彎構(gòu)件的極限荷載以圖3.11所示兩端鉸接、幾何條件和荷載作用均對(duì)稱的壓彎構(gòu)件為例，具體求解過程見框圖3.12。圖3.11 兩端鉸接壓

17、彎構(gòu)件圖3.11（a）中所示壓彎構(gòu)件在給定一個(gè)軸力P1情況下，端部撓度=0，而轉(zhuǎn)角未知，不過可以先給定一個(gè)的初始值，使其滿足構(gòu)件中點(diǎn)的轉(zhuǎn)角=0即可，若給定的不能使足夠?。ㄈ?），則調(diào)整重新迭代，直至 足夠小，滿足計(jì)算精度要求。這樣就可以得到與給定軸力對(duì)應(yīng)的構(gòu)件中點(diǎn)的撓度值，如圖3.11（b）所示。同理，可以得到不同的軸力對(duì)應(yīng)的構(gòu)件中點(diǎn)的撓度值，最終可以畫出圖3.11（b）所示的 曲線，其極限點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的即為極限荷載。對(duì)不同的荷載作用，數(shù)值積分的思路相同，但具體計(jì)算細(xì)節(jié)有所不同。通過理論求解和試驗(yàn)分析壓彎構(gòu)件在平面內(nèi)的極限荷載，才可以推演出壓彎構(gòu)件的穩(wěn)定設(shè)計(jì)公式。圖3.12 壓彎構(gòu)件極限荷載電算框

18、圖壓彎構(gòu)件在彎矩作用平面內(nèi)的整體穩(wěn)定計(jì)算通常采用兩個(gè)計(jì)算準(zhǔn)則，即邊緣纖維屈服準(zhǔn)則和極限承載力準(zhǔn)則。1. 邊緣纖維屈服準(zhǔn)則邊緣纖維屈服準(zhǔn)則以彈性分析為基礎(chǔ)，以彎矩最大截面邊緣纖維屈服作為計(jì)算準(zhǔn)則。這一準(zhǔn)則比較適用于冷彎薄壁型鋼壓彎構(gòu)件，因?yàn)檫@類構(gòu)件的邊緣纖維屈服荷載非常接近于構(gòu)件的極限荷載；該準(zhǔn)則也用于格構(gòu)式壓彎構(gòu)件繞虛軸彎曲的穩(wěn)定計(jì)算。參照式（3.17），給合壓彎構(gòu)件彎矩作用平面內(nèi)的穩(wěn)定概念，可以得到按邊緣纖維屈服準(zhǔn)則導(dǎo)出的相關(guān)公式 （3.42）式中為彎矩作用平面內(nèi)軸心受壓構(gòu)件的整體穩(wěn)定系數(shù)；為受壓最大纖維的毛截面抵抗矩； 為等效彎矩系數(shù)，參見表3.1。將式（3.42）寫成設(shè)計(jì)公式，即 （3.

19、43）式中為鋼材屈服強(qiáng)度設(shè)計(jì)值。2. 極限承載力準(zhǔn)則一般鋼結(jié)構(gòu)中的壓彎構(gòu)件當(dāng)截面最大纖維剛開始屈服時(shí)尚有較大的強(qiáng)度儲(chǔ)備，即可以容許截面塑性有一定發(fā)展，因此應(yīng)該以彈塑性穩(wěn)定理論為基礎(chǔ)，以失穩(wěn)時(shí)的極限荷載為計(jì)算準(zhǔn)則。壓彎構(gòu)件的初偏心和初彎曲對(duì)構(gòu)件的影響性質(zhì)上相同，因此在制定規(guī)范時(shí)考慮構(gòu)件存在的初彎曲（即初彎曲的矢高為構(gòu)件長(zhǎng)度的1/1000），考慮實(shí)測(cè)的殘余應(yīng)力分布，用數(shù)值方法計(jì)算出近200條壓彎構(gòu)件的極限承載力曲線。將用數(shù)值方法得到的壓彎構(gòu)件極限承載力與用邊緣纖維屈服準(zhǔn)則導(dǎo)出的相關(guān)公式（3.42）中的軸心壓力比較后發(fā)現(xiàn)，對(duì)于短粗實(shí)腹桿，式（3.42）偏于安全；而對(duì)細(xì)長(zhǎng)實(shí)腹桿，式（3.42）偏于不安

20、全。因此，規(guī)范借用了彈性壓彎構(gòu)件邊緣纖維屈服準(zhǔn)則計(jì)算公式的形式，同時(shí)考慮截面塑性發(fā)展和二階彎矩，最后提出了一近似相關(guān)公式，即規(guī)范所采用的實(shí)腹式壓彎構(gòu)件彎矩作用平面內(nèi)的穩(wěn)定計(jì)算公式 （3.44）式中 所計(jì)算構(gòu)件段范圍內(nèi)的軸向壓力； 所計(jì)算構(gòu)件段范圍內(nèi)的最大彎矩； 彎矩作用平面內(nèi)的軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定系數(shù)；彎矩作用平面內(nèi)較大受壓纖維的毛截面抵抗矩；PEx歐拉臨界力；抗力分項(xiàng)系數(shù)，對(duì)Q235鋼，對(duì)Q345、Q390、Q420鋼，；等效彎矩系數(shù)，參見表3.1。 對(duì)于T型鋼、雙角鋼T形等單軸對(duì)稱截面壓彎構(gòu)件，當(dāng)彎矩作用于對(duì)稱軸平面且使較大翼緣受壓時(shí)，構(gòu)件失穩(wěn)時(shí)出現(xiàn)的塑性區(qū)除存在受壓區(qū)屈服和受壓、受拉區(qū)同時(shí)

21、屈服兩種情況外，還可能在受拉區(qū)首先屈服而導(dǎo)致構(gòu)件失去承載能力，因此除了按式（3.44）計(jì)算外，還應(yīng)按下式計(jì)算： （3.45）式中受拉側(cè)最外纖維的毛截面抵抗矩；與相應(yīng)的截面塑性發(fā)展系數(shù)。 其余符號(hào)同式（3.44），上式第二項(xiàng)分母中的1.25也是經(jīng)過與理論計(jì)算結(jié)果比較后引進(jìn)的修正系數(shù)。3.2 壓彎構(gòu)件平面外失穩(wěn)如圖3.1(c)所示，當(dāng)壓彎構(gòu)件沒有設(shè)置側(cè)向支撐時(shí)，在外荷載P尚未達(dá)到平面內(nèi)彎曲失穩(wěn)的臨界荷載之前，就可能導(dǎo)致壓彎構(gòu)件發(fā)生空間的彎扭失穩(wěn)，也稱平面外彎扭屈曲。當(dāng)構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比較大時(shí)，有可能在彈性階段失穩(wěn)；在長(zhǎng)細(xì)比較小等情況下也有可能在彈塑性階段失穩(wěn)。對(duì)于外力作用和端部支撐條件較簡(jiǎn)單的壓彎構(gòu)件，可

22、以用平衡法求解彎扭屈曲荷載的精確解；如果外力作用或端部支撐條件較復(fù)雜，可以用能量法求解。在彈塑性階段發(fā)生彎扭屈曲的壓彎構(gòu)件，采用數(shù)值法可以獲得較高的求解精度。壓彎構(gòu)件的彈性彎扭失穩(wěn)1. 平衡法求解單軸對(duì)稱截面壓彎構(gòu)件的彈性彎扭屈曲荷載以兩端簡(jiǎn)支單軸對(duì)稱截面壓彎構(gòu)件（圖3.13）為例，說(shuō)明平衡法求解彈性彎扭屈曲荷載的過程。圖3.13 壓彎構(gòu)件彎扭變形及受力分析中采用兩個(gè)坐標(biāo)系，即截面的固定坐標(biāo)系和移動(dòng)坐標(biāo)系 （圖3.13），且采用如下假設(shè)： 構(gòu)件為彈性體； 發(fā)生彎曲與扭轉(zhuǎn)變形時(shí)，截面的形狀不變； 彎曲與扭轉(zhuǎn)變形微??； 構(gòu)件是無(wú)缺陷的等截面直桿； 在彎矩作用平面內(nèi)抗彎剛度很大，屈曲前平面內(nèi)的彎曲變

23、形對(duì)彎扭屈曲的影響可以忽略。參考第二章2.4節(jié)中單軸對(duì)稱截面軸心受壓構(gòu)件彈性彎扭失穩(wěn)建立平衡微分方程的過程，可以分別得到繞軸和軸的彎矩平衡方程。 （3.46） （3.47）由圖3.13a所示受力條件和坐標(biāo)系，如以壓應(yīng)力為正值，則構(gòu)件截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力 （3.48）Wagner效應(yīng)系數(shù)為 式中 : , ,。和都是截面的幾何性質(zhì)參數(shù)，為不對(duì)稱截面常數(shù)，對(duì)于單軸對(duì)稱工形截面，中前一項(xiàng)數(shù)值常比小得多，對(duì)圖3.13c所示坐標(biāo)系，剪心矩是正值，則將是負(fù)值。 外彎矩在縱軸方向的分量為切力產(chǎn)生的扭矩從圖3.13c知為則在方向總的非均勻扭矩 （3.49）扭矩平衡方程為 （3.50）聯(lián)立方程（3.46）、（3.

24、47）和（3.50），得到適合任何邊界條件的壓彎構(gòu)件微分方程組 （3.51） （3.52） （3.53）由于忽略了屈曲前平面內(nèi)彎曲變形對(duì)彎扭屈曲的影響，因此方程(3.51)與后面兩方程解耦，只能用于描述平面內(nèi)荷載撓度彈性曲線。后兩個(gè)方程是耦聯(lián)的，引入邊界條件，可聯(lián)立求解得到構(gòu)件的彈性彎扭屈曲荷載.對(duì)兩端簡(jiǎn)支的壓彎構(gòu)件，滿足邊界條件的變形函數(shù)為 將它們代入方程（3.52）、（3.53），得 （3.54）式中:,。由和有非零解的條件為系數(shù)行列式為零,可以得到屈曲方程 （3.55）方程（3.55）中的以彎矩使形心以上的負(fù)方向受壓時(shí)為正，受拉時(shí)為負(fù)；而偏心矩符號(hào)與y軸正負(fù)一致，由圖3.13a知，代入方

25、程（3.55），則有 （3.56）解之得彈性彎扭屈曲荷載 （3.57）相應(yīng)的彎扭屈曲應(yīng)力 （3.58）式中為計(jì)算彎扭屈曲應(yīng)力的換算長(zhǎng)細(xì)化 （3.59）其中。對(duì)雙軸對(duì)稱截面壓彎構(gòu)件，因，則方程（3.55）為 （3.60）解出彎扭屈曲荷載 （3.61）對(duì)無(wú)對(duì)稱軸截面壓彎構(gòu)件，開始施加壓力P，構(gòu)件就產(chǎn)生雙向彎曲變形和扭轉(zhuǎn)，因此屬于極值點(diǎn)失穩(wěn)問題。對(duì)此類問題用平衡法求解析解較困難，一般采用能量法19或數(shù)值法求解其極限荷載?！纠}3.1】 已知兩端簡(jiǎn)支的單軸對(duì)稱T形截面壓彎構(gòu)件的長(zhǎng)度為4m，構(gòu)件的兩端作用有彎矩，截面尺寸如圖3.14 。鋼材，按理想彈塑性體計(jì)算，不計(jì)殘余應(yīng)力。構(gòu)件在彎矩作用平面內(nèi)的極限荷

26、載.求此壓彎構(gòu)件的屈曲荷載。 圖3.14 T形截面壓彎構(gòu)件解:1） 計(jì)算截面的幾何性質(zhì) 截面積 剪心矩 慣性矩 , 對(duì)翼緣邊緣抵抗矩 對(duì)腹板邊緣抵抗矩 2) 計(jì)算時(shí)構(gòu)件的彎扭屈曲荷載 由式（3.55）得 解出 3) 確定屈曲荷載由于翼緣邊緣纖維的壓應(yīng)力=17.85+5.12=<腹板邊緣纖維的壓應(yīng)力又因?yàn)?，說(shuō)明此壓彎構(gòu)件的屈曲荷載為彈性彎扭屈曲荷載。2. 能量法求解無(wú)對(duì)稱軸截面壓彎構(gòu)件的彈性彎扭屈曲荷載對(duì)無(wú)對(duì)稱軸、無(wú)缺陷的等截面壓彎構(gòu)件，一受壓力作用，構(gòu)件就會(huì)產(chǎn)生雙向彎曲變形和扭轉(zhuǎn)，因此屬于極值點(diǎn)失穩(wěn)問題，可采用數(shù)值法求解其極限荷載。如果截面對(duì)兩個(gè)主軸的抗彎剛度都較大，由于彎曲變形很小，計(jì)

27、算時(shí)可以不計(jì)附加彎矩的作用，用平衡分岔理論求解，可以得到這種壓彎構(gòu)件彎扭屈曲荷載的近似解。但是如果截面對(duì)兩個(gè)主軸的抗彎剛度差別較大，不考慮構(gòu)件屈曲前變形的影響，計(jì)算結(jié)果誤差會(huì)很大。當(dāng)無(wú)對(duì)稱軸截面構(gòu)件的荷載作用條件或邊界條件比較復(fù)雜時(shí)，如沿構(gòu)件縱軸方向的彎矩和隨z而變，或在構(gòu)件的側(cè)向有彈簧約束時(shí)，用平衡法很難求出解析解，而采用能量法可以得到足夠精度的近似解。構(gòu)件的總勢(shì)能是應(yīng)變能U和外力勢(shì)能V之和，即 (3.62)由于構(gòu)件的壓縮應(yīng)變能和剪切應(yīng)變能的影響很小，可以忽略，則應(yīng)變能 (3.63)式中U1為平面內(nèi)彎曲應(yīng)變能，U2為側(cè)向彎曲應(yīng)變能，U3為純扭轉(zhuǎn)應(yīng)變能，U4為翹曲應(yīng)變能，且有 （3.64） （

28、3.65） （3.66） （3.67）式中：EG分別為彈性模量和剪切模量；分別為截面對(duì)主軸XY的慣性矩；分別為截面的抗扭慣性矩和翹曲慣性矩；、和分別為位移和扭轉(zhuǎn)角，如圖3.15 所示。因此 （3.68）外力勢(shì)能V等于外力功的負(fù)值，即 V= W （3.69）對(duì)于圖3.15所示無(wú)對(duì)稱軸開口薄壁截面壓彎構(gòu)件，兩端作用由軸線壓力P和彎矩Mx、My，距左支座z處截面剪心位移為，（見圖3.15b），繞剪心的扭轉(zhuǎn)角為。由于構(gòu)件彎扭變形，截面上任意點(diǎn)B（x，y）移動(dòng)到點(diǎn)的位移為 則 （3.70）取一微段dz，在微元上外力功為 （3.71）總外力功為 （3.72）式中為截面任一點(diǎn)的正應(yīng)力，以壓應(yīng)力為正值，考慮殘

29、余應(yīng)力后，有圖3.15 開口薄壁截面壓彎構(gòu)件的變形 （3.73）經(jīng)對(duì)全截面積分后，得 （3.74） 式中 則壓彎構(gòu)件總勢(shì)能可表達(dá)為 （3.75）更一般的情況，式（3.75）中還應(yīng)包含構(gòu)件兩端外荷載所做功的負(fù)值；如果壓彎構(gòu)件上還作用著其它類型荷載，如橫向荷載，則外力勢(shì)能V中應(yīng)加進(jìn)橫向荷載與其位移乘積的負(fù)值；如果有彈簧支撐，則應(yīng)變能U中應(yīng)計(jì)入彈簧正值應(yīng)變能。根據(jù)勢(shì)能駐值原理（見第二章），即可求出壓彎構(gòu)件的彎扭屈曲荷載?！纠}3.2】 已知兩端簡(jiǎn)支的T形截面壓彎構(gòu)件的跨中作用著如圖3.16所示的集中荷載，構(gòu)件的截面尺寸見圖。鋼材的，,鋼材為理想彈塑性體，不計(jì)殘余應(yīng)力。用能量法求此壓彎構(gòu)件的彎扭屈曲荷

30、載。圖3.16 橫向集中荷載作用的壓彎構(gòu)件解：根據(jù)邊界條件，假設(shè)，則總勢(shì)能 即令由得穩(wěn)定方程為展開得將例3.1 中的和，代入上式，可得解出 壓彎構(gòu)件的彈塑性彎扭失穩(wěn)壓彎構(gòu)件在彈塑性狀態(tài)發(fā)生彎扭失穩(wěn)時(shí)，求解屈曲荷載的方法主要有解析法和數(shù)值法。1. 折減翼緣厚度解析法20壓彎構(gòu)件長(zhǎng)細(xì)比較小以及其他因素共同影響下，可能在彈塑性階段失穩(wěn)。壓彎構(gòu)件發(fā)生彈塑性失穩(wěn)時(shí),最大受壓翼緣的平均應(yīng)力超過比例極限但尚未達(dá)到屈服極限，或其值已超過屈服極限而出現(xiàn)一部分塑性區(qū)(如圖3.17 所示)。圖3.17 平面外彈塑性屈曲折減翼緣厚度法就是針對(duì)受壓最大翼緣的平均壓應(yīng)力滿足<，或在最大受壓邊出現(xiàn)彈塑性區(qū)= 的情況，

31、將最大受壓翼緣面積按剛度折算，保持截面其他部分的尺寸不變，然后將折算后的截面按彈性解析法計(jì)算臨界荷載。腹板如有一部分塑性區(qū)，因其對(duì)y軸抗彎剛度的影響極小，可不折算其面積，即不改變腹板尺寸，這樣造成的影響不大。在壓彎構(gòu)件屈曲前的瞬間，當(dāng)截面最大受壓翼緣中的平均應(yīng)力處于 <狀態(tài)，若用N1表示此截面整個(gè)翼緣的內(nèi)力，當(dāng)有一個(gè)增量時(shí)，與相應(yīng)的應(yīng)變?cè)隽繛?（3.76）式中為所對(duì)應(yīng)的變形摸量。此時(shí)如果不用而仍用，則由于平截面變形 不變，則有 （3.77）根據(jù)相等，得到受壓最大翼緣的換算厚度的表達(dá)式 （3.78）當(dāng)截面中已有一部分塑性區(qū)出現(xiàn)時(shí)，有，與 對(duì)應(yīng)的應(yīng)變所對(duì)應(yīng)的變形摸量定義為，即是 進(jìn)入屈服平臺(tái)

32、之后的變形摸量，其值在屈服前的和硬化摸量之間，在分析壓彎構(gòu)件平面外失穩(wěn)時(shí)，可采用拋物線變化假定，即 （3.79）同理可以求出截面有塑性區(qū)時(shí)受壓最大翼緣的折算厚度 （3.80）確定了折算翼緣厚度后，截面形成圖3.17c所示的單軸對(duì)稱截面，重新計(jì)算截面的幾何性質(zhì)后，就可用單軸對(duì)稱截面壓彎構(gòu)件的平衡方程求解屈曲荷載。試驗(yàn)資料表明，除短試件的計(jì)算結(jié)果偏小外，理論值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合程度較好。2. 彈塑性彎扭失穩(wěn)荷載數(shù)值計(jì)算法以圖3.18所示單向彎矩作用的雙軸對(duì)稱截面壓彎構(gòu)件為例說(shuō)明求解過程。圖3.18 壓彎構(gòu)件截面受力假定材料為理想彈塑性體，當(dāng)截面上某一點(diǎn)的應(yīng)變小于屈服應(yīng)變時(shí)，彈性摸量為E時(shí)，剪變摸量為G

33、；而當(dāng)應(yīng)變達(dá)到或超過屈服應(yīng)變時(shí)，變形摸量，而，此時(shí)正應(yīng)力為屈服強(qiáng)度。圖3.18的左側(cè)為截面殘余應(yīng)力分布情況，和分別為殘余壓應(yīng)力和殘余拉應(yīng)力峰值。圖中截面11仍處于彈性狀態(tài)，截面22的部分受壓冀緣已經(jīng)屈服，截面33的受拉、受壓翼緣均有部分進(jìn)入塑性。彈塑性狀態(tài)中各截面的彎曲中心均有偏移，但影響不大，剪心線如圖中虛線s所示。用數(shù)值法求解壓彎構(gòu)件彈塑性彎扭失穩(wěn)荷載的步驟如下：1） 建立截面的MP關(guān)系 首先將截面的翼緣、腹板劃分成圖3.19所示單元，i單元中點(diǎn)的坐標(biāo)為（），面積為，殘余應(yīng)變以壓應(yīng)變?yōu)檎?、拉?yīng)變?yōu)樨?fù)，曲率也以產(chǎn)生壓變?yōu)檎＝孛嫔先我稽c(diǎn)的應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系為, , 當(dāng) 時(shí)， ， ，當(dāng) 時(shí)，

34、 ，當(dāng) 時(shí)則 （3.81） （3.82）根據(jù)圖3.10所示電算框圖，就可以建立關(guān)系；同時(shí)可以確定截面彈性區(qū)域面積。圖3.19截面中的單元的應(yīng)變2） 分級(jí)給定軸向荷載后計(jì)算平面內(nèi)彎矩將構(gòu)件沿縱向軸線劃分成若干單元，取單元中點(diǎn)截面的彎矩Mmi作為單元彎矩，則單元彎矩記為，其中為全部外荷載產(chǎn)生的一階彎矩，而為第單元中點(diǎn)的撓度，計(jì)算可參見電算框圖3.12前半部分。3） 計(jì)算各單元中點(diǎn)截面的抗彎剛度和，抗扭剛度，抗翹曲剛度，剪心矩和Wagner效應(yīng)系數(shù) （3.83） （3.84）對(duì)于彈性區(qū)為單軸對(duì)稱的工形截面翼緣腹板 （3.85）上翼緣下翼緣 （3.86） （3.87）式中和分別為單元對(duì)中性軸和的慣性距

35、。4） 建立單元中點(diǎn)截面彎曲和扭轉(zhuǎn)的平衡方程，求解彎扭失穩(wěn)荷載參照彈性壓彎構(gòu)件平衡方程建立微分方程 （3.88 a） （3.88b） （3.88c）若用有限積分法或有限差分法聯(lián)合求解式（3.88b）和式（3.88c），可以得到各分段點(diǎn)的位移或其高階導(dǎo)數(shù)的線性代數(shù)方程組，由其系數(shù)行列式，即可得到彎扭失穩(wěn)荷載。實(shí)際電算中，可以用荷載和荷載的兩個(gè)系數(shù)行列式的乘積，當(dāng)滿足時(shí)為構(gòu)件失穩(wěn)條件，而且要求滿足精度。具體計(jì)算見框圖3.20。圖3.20壓彎構(gòu)件彈塑性彎扭失穩(wěn)荷載計(jì)算框圖開口薄壁截面壓彎構(gòu)件的抗扭剛度及彎矩平面外的抗扭剛度通常較小，當(dāng)構(gòu)件在彎矩作用平面外沒有足夠支承以阻止其側(cè)向位移和扭轉(zhuǎn)時(shí)，構(gòu)件就可能發(fā)生彎扭失穩(wěn)破壞（圖3.13）。根據(jù)式（3.60），對(duì)雙軸對(duì)稱截面壓彎構(gòu)件，當(dāng)發(fā)生彎扭失穩(wěn)時(shí)，其臨界條件為（3.89）式中為雙軸對(duì)稱純彎曲梁的臨界彎矩，且 （3.90）以 的不同值代入式（3.89），可以畫出之間相關(guān)曲線，如圖3.21所示。圖3.21壓彎構(gòu)件相關(guān)曲線從圖3.21可以看出，Pw