解排列組合應(yīng)用題的策略

1、解排列組合應(yīng)用題的策略排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易把握，實踐證明，把握題型和解題方式，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑：下而就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略.1 .相鄰問題捆綁法：題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，看成一個大元素參與排列.例1.A,8,C,E五人并排站成一排，若是A,8必需相鄰且8在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有A.60種B.48種C.36種D.24種【答案】D【解析】把A.B視為一人，且5固定在A的右邊，那么此題相當(dāng)于4人的全排列，蜀=24種.【變式1】7人站成一排，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰，共有多少種不同的排

2、法.【解析】可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復(fù)合元素，同時丙丁也看成一個復(fù)合元素，再與其它元素進(jìn)行排列，同時對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行自排。由分步計數(shù)原理可得共有6封6=480種不同的排法要求某幾個元素必須排在一起的問題，可以用搠綁法來解決問題.即將需要相鄰的元素合并為一個元素，再與其它元素一起作排列，同時要注意合并元素內(nèi)部也必須排列.【變式2】某人射擊8槍，命中4槍，4槍命中恰好有3槍連在一路的情形的不同種數(shù)為【解析】沒命中的4槍有5個空，持續(xù)的命中的3槍捆綁到一路，和單獨命中的一槍插空，共有8=20種方式.【解析2】用列舉法列舉出來1231231231231231232 .相離問期插空排：元素

3、相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩頭.例2.七人并排站成一行，若是甲乙兩個必需不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A.1440種B.3600種C.4820種D.4800種【解析】除甲乙外，其余5個排列數(shù)為6種，再用甲乙去插6個空位有6種，不同的排法種數(shù)是&大=3600種，選8.【變式1一個晚會的行目有4個舞蹈,2個相聲,3個獨唱，舞蹈節(jié)目不能持續(xù)出場，那么在目的出場順序有多少種？【解析】分兩步進(jìn)行第一步排2個相聲和3個獨唱共有種，第二步將4舞蹈插入第一步排好的6個元素中間包括首尾兩個空位共有種4；不同的方式.由分步計數(shù)原理.節(jié)目的

4、不同順序共有種【變式2】某班新年聯(lián)歡會原定的5個在目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.若是將這兩個新節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那么不同插法的種數(shù)為30。【解析】大=303 .定序問超縮倍（空位插入）法：在排列問題中限制某幾個元素必需維持必然的順序，可用縮小倍數(shù)的方式.例3.A,民CDE五人并排站成一排，若是8必需站在A的右邊（A,8能夠不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是A.24種B.60種C.90種D.120種【解析】8在A的右邊與8在A的左側(cè)排法數(shù)相同，因此題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的一半,即;父=60種，選8.【變式1】7人排隊，其中甲乙丙3人順序必然共有多少不同的排法？

5、【解析】（倍縮法）關(guān)于某幾個元素順序必然的排列問題.可先把這幾個元素與其他元素一路進(jìn)行排列,然后用總排列數(shù)除以這幾個元素之間的全排列數(shù).那么共有不同排法種數(shù)是：Alj/A（空位法）假想有7把椅子讓除甲乙丙之外的四人就坐共有4；種方式，其余的三個位置甲乙丙共有，種坐法，那么共有A；種方式。試探:能夠先讓甲乙丙就坐嗎？（插入法）先排甲乙丙三個人.共有種排法.再把其余4四人依次插入共有4：種方式，因此共有苗種排法.定序問題可以用倍縮法，還可轉(zhuǎn)化為占位插【變式2】10人身高各不相等,排成前后排，每排5人，要求從左至右身高慢慢增加，共有多少排法?【答案】C（10人當(dāng)選5人，排到前排，選出來以后身高確信，

6、因此位置確信，后排的5人位置也就確信了）4.標(biāo)號排位問題分步法：把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1,2,3,4填入標(biāo)號為1,2,3,4的四個方格里，每格填一個數(shù)，那么每一個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有A.6種B.9種C.11種D.23種【解析】先把1填入方格中，符合條件的有3種方式，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方式；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3x3xl=9種填法，選8.5.有序分派問題逐分法：有序分派問題指把元素分成假設(shè)干組，可用慢慢下量分組法.例5.有甲乙丙三項任務(wù)

7、，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人當(dāng)選出4人承擔(dān)這三項任務(wù),不同的選法種數(shù)是A.1260種B.2025種C.2520種D.5040種【解析】先從10人當(dāng)選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的8人當(dāng)選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，第三步從另外的7人當(dāng)選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有GiCG=2520種，選C.【解析2】QjjCfd=2520【變式1】12名同窗別離到三個不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，假設(shè)每一個路口4人，那么不同的分派方案有A.種B.33。；盤種C.勾種D./J種a：【答案】A6.全員分派問題分組法:例6.4名優(yōu)秀學(xué)生全數(shù)保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，那么不同的保送方案有多少種？【解析

8、】把四名學(xué)生分成3組有盤種方式，再把三組學(xué)生分派到三所學(xué)校有A：種，故共有=36種方式.說明：分派的元素多于對象且每一對象都有元素分派時經(jīng)常使用先分組再分派.【變式1】5本不同的書，全數(shù)分給4個學(xué)生，每一個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為A.480種B.240種C.120種D.96種【答案】B【解析】=240（5人分3組較難，后期有試題加入）7 .名額分派問題隔板法:例7.10個三勤學(xué)生名額分到7個班級，每一個班級至少一個名額，有多少種不同分派方案？【解析】10個名額分到7個班級，確實是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，能夠在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對

9、應(yīng)著一種分派方案，故共有不同的分派方案為。=84種.o|oo|o|oo|o|oo|oT目閆畫國閑Ft型網(wǎng)網(wǎng)蚓闞網(wǎng)性將n個相同的元素分成m份（n,m為正整數(shù)），每份至少一個元素，可以用m-l塊隔板,插入n個元素排成一排的n-1個空隙中，所有分法數(shù)為C；：二8 .限制條件的分派問題分類法：例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生當(dāng)選4人別離到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟開發(fā)建設(shè)，其中甲同窗不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同調(diào)派方案？【解析】因為甲乙有限制條件，因此依照是不是含有甲乙來分類，有以下四種情形：假設(shè)甲乙都不參加，那么有調(diào)派方案對種；假設(shè)甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方式，然后安排其余學(xué)生有

10、用方式，因此共有3尺；假設(shè)乙參加而甲不參加同理也有3&種；假設(shè)甲乙都參加，那么先安排甲乙，有7種方式，然后再安排其余8人到另外兩個城市有火種，共有7年方式.因此共有不同的調(diào)派方式總數(shù)為閻+36+3大=4088種.【分解】甲乙都不選用=1680甲乙都選，第一步C；（其他8人選2人）第二步甲去西寧：甲不去西寧C；C；A；因此戲（A；+居）=392甲參加乙不參加以C；4；=1008乙參加甲不參加C；A；=1008因此不同調(diào)派方式總數(shù)為1680+392+1008+1008=40889 .多元問題分類法：元素多，掏出的情形也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情形別離計數(shù)，最后共計.例9.由數(shù)字0,1,2

11、,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有A.210種B.300種C.464種D.600種【解析】按題意，個位數(shù)字只可能是0,1,2,3,4共5種情形，別離有6個，用個，歸并共計300個.選B.【變式1】從1,2,3，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法（不計順序）共有多少種？【解析】被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，他們的乘積就能夠被7整除，將這100個數(shù)組成的集合視為全集L能被7整除的數(shù)的集合記做A=74,21,98共有14個元素.不能被7整除的數(shù)組成的集合記做=1,2,3,4.100共有86個元素；由此可知，從A中任取2個

12、元素的取法有從從中任取一個，又從印中任取一個共有g(shù)4，兩種情形共符合要求的取法有g(shù)：+g6=i295種.【變式2】從1,2,3,，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法（不計順序）有多少種？【解析】將/=1,2,3,100分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A=4,8,12,100；能被4除余1的數(shù)集8=1,5,9,97,能被4除余2的數(shù)集C=2,6,98,能被4除余3的數(shù)集=3,7,11,.99）,易見這四個集合中每一個有25個元素；從A中任取兩個數(shù)符合要；從民。中各取一個數(shù)也符合要求；從C中任取兩個數(shù)也符合要求；另外其它取法都不符合要求；因此符合要求的取法共有段+以C種.

13、10 .定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排那個或幾個元素；再排其它的元素。例10.1名教師和4名獲獎同窗排成一排照相留念,假設(shè)教師不站兩頭那么有不同的排法有多少種？【解析】教師在中間三個位置上選一個有A；種，4名同窗在其余4個位置上有用種方式；因此共有4M=72種。.11 .多排問題單排法：把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處置。例11.6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是A.36種B.120種C.720種D.1440種【解析】前后兩排可看成一排的兩段，因此此題可看成6個不同的元素排成一排，共用=720種，選C.【變式1】8人排成前后兩排，

14、每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排,共有多少排法【解析】8人排前后兩排.相當(dāng)于8人坐8把椅子.能夠把椅子排成一排個特殊元素有種、再排后4個位置上的特殊元素丙有種.其余的5人在5個位置上任意排列有種.那么共有A：A；A；=5760種淳39與被困g一般地，元素分成多排的排列問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段研【變式2有兩排座位，前排11個座位，后排12個座位，現(xiàn)安排2人就座規(guī)定前排中間的3個座位不能坐，而且這2人不左右相鄰，那么不同排法的種數(shù)是346【解析】兩人都在后排：A；=uo（空座位10人，11個空，兩人坐椅子插入空位）都在前排：都在左或都在右2A；=2x6=12一左一右：q；C：A；=32前后

15、兩排：40：反=192因此不同排法的種數(shù)是110+12+32+192=34612 .國排問題單排法:把個不同元素放在圓周個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就能夠夠重合）的排法以為是相同的，它與一般排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，以下個一般排列：%,%，。3，an；2M3M4，4，/，在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后能夠重合，故以為相同，個元素的圓排列數(shù)有種,因此可將某個元素固定展成單排，其它的-I元素全排列.n例12.8人圍桌而坐，共有多少種坐法？【解析】圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，因此固定一人并從此位置把

16、圓形展成直線其余7人共有（8-1）!種排法即7!CE（DQa-OOOOOOOOOXeXABCDEFGHA一般地,n個不同元素作圓形排列，共有（n-1）!種排法.如果從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有4：n【變式1】6顆顏色不同的鉆石，可穿成幾種鉆石圈【解析】=602【變式2】5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法?【解析】第一可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有種，然后在讓插入其間，每位都可插入其姐姐的左側(cè)和右邊，有2種方式，故不同的安排方式24x2s=768種不同站法.說明：從個不同元素中掏出6個元素作圓形排列共有4種不同排法.m13 .“至少”“最多響題用間接排除法或分類

17、法：例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，那么不同的取法共有A.140種B.80種C.70種D.35種【解析1】逆向試探，至少各一臺的反面確實是別離只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有一以=70種.選.C【解析2】至少要甲型和乙型電視機各一臺可分兩種情形：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有C；C+C；C：=70臺，選C.14 .選排問題先取后排：從幾類元素中掏出符合題意的幾個元素，再安排到必然的位置上，可用先取后排法.例14.四個不同球放入編號為1,2,3,4的四個盒中，那么恰有一個空盒的放法有多少種？【解析】先取四個

18、球中二個為一組，另二組各一個球的方式有種，再排：在四個盒中每次排3個有種，故共有C：大=144種.【變式1】9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，此刻要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方式？【解析】先取男女運動員各2名,有戲盤種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有中排法，故共有C：C；4；=120種.15 .部份合條件問題排除法：在選取的總數(shù)中，只有一部份合條件，能夠從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15.以正方體的極點為極點的四面體共有A.70種B.64種C.58種D.52種【解析】正方體8個極點從中每次取四點，理論上可組成C；四面體，但6個表面和6個對角面的四個極點共面都不能組成四面體，因

19、此四面體實際共有-12=58個.【變式1四而體的極點和各棱中點共10點，在其中取4個不共而的點，不同的取法共有A.150種B.147種C.144種D.141種【解析】10個點中任取4個點共有種，其中四點共面的有三種情形：在四面體的四個面上，每面內(nèi)四點共面的情形為C：,四個面共有4C：個；過空間四邊形各邊中點的平行四邊形共3個；過棱上三點與對棱中點的三角形共6個.因此四點不共面的情形的種數(shù)是G；)-4C：-36=141種.16 .可重復(fù)的排列求幕法：許諾重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可一一安排元素的位置，一樣地個不同元素排在7個不同位置的排列數(shù)有/種方式.例16.把6

20、名實習(xí)生分派到7個車間實習(xí)共有多少種不同方式？【解析】完成此事共分6步，第一步；將第一名實習(xí)生分派到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習(xí)生分派到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有76種不同方案.【變式1某班新年聯(lián)歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.若是將這兩個行目插入原節(jié)目單中，那么不同插法的種數(shù)為42【變式2某8層大樓一樓電梯上來8名乘客人，他們到各自的一層下電梯，下電梯的方式改17 .復(fù)柒排列組合問題構(gòu)造模型法：例17.馬路上有編號為1,2,3，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩頭的兩盞，求知足條件的關(guān)燈方案

21、有多少種？【解析】把此問題看成一個排對模型，在6盞亮燈的5個間隙中插入3盞不亮的燈C；種方式.因此知足條件的關(guān)燈方案有10種.【說明】一些不易明白得的排列組合題，若是能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決.一些不易理解的排列組合題如果能轉(zhuǎn)化為非常熟悉的模型，如占位填空模型，排隊模型，裝盒模型等，可使問題直觀解決【變式1】某排共有10個座位，假設(shè)4人就坐，每人左右兩邊都有空位，那么不同的坐法有多少種？(120)18 .元素個數(shù)較少的排列組合問題能夠考慮列舉法：例18.設(shè)有編號為1,2,3,4,5的五個球和編號為1,2,3,4,5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每一個盒

22、子放一個球，而且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方式？【解析】從5個球中掏出2個與盒子對號有C；種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，利用列舉法分析，若是剩下3,4,5號球與3,4,5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時，4,5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4,5號球也只有1種裝法，因此剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為2點=20種.3號盒4號盒5號盒對于條件比較復(fù)雜的排列組合問題，不易用公式進(jìn)行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀圖會收到意想不到的結(jié)果19 .復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法：例19.30030能被多少個不同偶數(shù)整除？【解析

23、】先把30030分解成質(zhì)因數(shù)的形式：30030=2x3x5x7x11x13；依題意偶因數(shù)2必取，3,5,7,11,13這5個因數(shù)中任取假設(shè)干個組成成積，所有的偶因數(shù)為以+C+以+以=32個.【變式1】正方體8個極點可連成多少隊異面直線？【解析】因為四面體中僅有3對異面直線，可將問題分解成正方體的8個極點可組成多少個不同的四面體，從正方體8個極點中任取四個極點組成的四面體有12=58個，因此8個極點可連成的異面直線有3x58=174對.20 .利用對應(yīng)思想轉(zhuǎn)化法：對應(yīng)思想是教材中滲透的一種重要的解題方式，它能夠?qū)?fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡單問題處置.例20.圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的

24、交點有多少個？【解析】因為圓的一個內(nèi)接四邊形的兩條對角線相交于圓內(nèi)一點，一個圓的內(nèi)接四邊形就對應(yīng)著兩條弦相交于圓內(nèi)的一個交點，于是問題就轉(zhuǎn)化為圓周上的10個點能夠確信多少個不同的四邊形，顯然有Gl）個，因此圓周上有10點，以這些點為端點的弦相交于圓內(nèi)的交點有G力個.【變式1】某城市的街區(qū)有12個全等的矩形組成，其中實線表示馬路，從A到8的最短途徑有多少種？【解析】可將圖中矩形的一邊叫一小段，從A到5最短線路必需走7小段，其中：向東4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，因此只要確信向東走過4段的走法，便能確信途徑，因此不同走法有源種.【變式225人排成5x5方陣，現(xiàn)從當(dāng)選3人，要求3人不在

25、同一行也不在同一列，不同的選法有多少種？【解析】將那個問題退化成9人排成3x3方陣，現(xiàn)從當(dāng)選3人，要求3人不在同一行也不在同一列,有多少選法.如此每行必有1人，從其中的一行當(dāng)選取1人后，把這人所在的行列都劃掉，如此繼續(xù)下去.從3x3方隊當(dāng)選3人的方式有種。再從5x5方陣選出3x3方陣即可解決問題從5x5方隊當(dāng)選取3行3列有C；C；選法.因此從5x5方陣選不在同一行也不在同一列的3人有處理復(fù)雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進(jìn)下一步解決原來的問題21 .平均分組問題除法策略例21.6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少分法？【

26、解析】分三步取書得種方式.但那個地址顯現(xiàn)重復(fù)計數(shù)的現(xiàn)象.不妨記6本書為ABCDEF,假設(shè)第一步取AB.第二步取CD.第三步取EF該分法記為(AB,CD,EF),那么低中還有(AB.EF.CD)XCD.AB.EF),(CD.EF.AB)(EECD.AB).(EEAB.CD)共有4；種取法，而這些分法僅是(AB.CD.EF)一種分法.故共有種分法。平均分成的組，不管它們的順序如何,都是一種情況，所以分組后要一定要除以A：(為均分的組數(shù))避免重復(fù)計數(shù)?！咀兪?】將13個球隊分成3組，一組5個隊，其它兩組4個隊，有多少分法？【變式2】10名學(xué)生分成3組，其中一組4人，另兩組3人但正副班長不能分在同一組

27、,有多少種不同的分組方式(1540)【變式3某校高二年級共有六個班級，現(xiàn)從外地轉(zhuǎn)入4名學(xué)生，要安排到該年級的兩個班級且每班安排2名，那么不同的安排方案種數(shù)為(低鼠/宙=90)22 .合理分類與分步策略例22.在一次演唱會上共10名演員，其中8人能能唱歌，5人會跳舞，現(xiàn)要演出一個2人唱歌2人伴舞的節(jié)目，有多少選派方式【解析】10演員中有5人只會唱歌，2人只會跳舞3人為全能演員。選上唱歌人員為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究只會唱的5人中沒有人選上唱歌人員共有種.只會唱的5人中只有1人選上唱歌人員盤種.只會唱的5人中只有2人選上唱歌人員有廢種，由分類計數(shù)原理共有+或以種。解含有約束條件的排列組合問題，可按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，做到標(biāo)準(zhǔn)明確。分步層次清楚，不重不漏，分類標(biāo)準(zhǔn)一旦確定要貫穿于解題過程的始終。23 .數(shù)字排序問題查字典策略例23.由0,1,2,3,4,