第10課時(shí)異面直線（一）

1、第10課時(shí) 異面直線（一）教學(xué)目標(biāo)：會(huì)用圖形表示兩條直線異面，理解并掌握異面直線所成角的定義，熟記異面直線所成角的范圍；會(huì)用平移轉(zhuǎn)換法求異面直線所成的角，理解異面直線公垂線的定義，掌握異面直線間距離的概念；會(huì)求已給出公垂線的兩異面直線間的距離；培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、分析問題、解決問題的能力、邏輯推理的能力，使學(xué)生初步掌握將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的數(shù)學(xué)思想；通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生不斷探索發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的精神，滲透事物的相互轉(zhuǎn)化和理論聯(lián)系實(shí)際的辯證唯物主義觀點(diǎn). 教學(xué)重點(diǎn)：異面直線所成角的定義、范圍、計(jì)算，異面直線間距離的定義與計(jì)算. 教學(xué)難點(diǎn)：異面直線所成角的計(jì)算，異面直線間距離的計(jì)算. 教

2、學(xué)過程：.課題導(dǎo)入師前面我們學(xué)習(xí)的空間兩條直線的位置關(guān)系和平行公理與等角定理、平行公理與等角定理及其推論是平行直線中的有關(guān)內(nèi)容，今天我們來研究異面直線中的有關(guān)內(nèi)容(板書課題).講授新課師前面我們學(xué)習(xí)空間兩條直線的位置關(guān)系時(shí)，討論了異面直線，并且明確了異面直線的特征是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)或既不相交又不平行的兩條直線.畫圖表示兩條直線異面時(shí)，怎樣顯示它們不共面的特點(diǎn)呢？常用的方法有下列幾種：這三種表示方法有一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是用平面來襯托，離開平面的襯托，不同在任何一個(gè)平面的特征則難以體現(xiàn).請(qǐng)同學(xué)們注意：這樣表示a、b異面正確嗎？生不正確.直觀上看a，b，似乎分別在不同的平面內(nèi)，但從圖形上可看出，

3、a、b有與兩平面、的交線都平行的可能，這樣a與b就平行，它們完全有可能在新的平面內(nèi)，所以這樣畫容易給人造成誤解.師好！畫異面直線時(shí)，一定要把其特征清楚地顯現(xiàn)出來，不能使人產(chǎn)生歧義.師如圖(1)，直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a，b，使aa、bb(邊記邊作)，我們把直線a和b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.據(jù)此，我們給出異面直線所成角的定義(板書).定義：過空間任意一點(diǎn)O，與異面直線a和b分別平行的直線所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角.師由于點(diǎn)O是任意的，大家說這樣作出的角有多少個(gè)？生無數(shù)個(gè).師這無數(shù)個(gè)銳角(或直角)的大小有什么關(guān)系？(學(xué)生中沒有人

4、馬上回答，似乎還存在著什么困惑)師把我們得到角的方法，用我們前面學(xué)過的知識(shí)分析一下.(生恍然大悟，不是不會(huì)答大小有什么關(guān)系，而是一時(shí)沒有弄明白為什么存在那樣的關(guān)系).生這無數(shù)個(gè)銳角(或直角)相等.師為什么？生這無數(shù)個(gè)銳角(或直角)中，每個(gè)角的兩邊都分別平行于a、b，據(jù)平行公理，這無數(shù)個(gè)銳角(或直角)每個(gè)角的兩邊都分別平行，依據(jù)等角定理的推論，這無數(shù)個(gè)銳角(或直角)相等.師很好！通過上面的討論，再認(rèn)真分析定義，我們可以得出如下的結(jié)論：兩條異面直線所成角的大小，是由這兩條異面直線的相互位置決定的，與點(diǎn)O的位置選取無關(guān)；兩條異面直線所成的角(0，；因?yàn)辄c(diǎn)O可以任意選取，這就給我們找出兩條異面直線所成

5、的角帶來了方便，具體運(yùn)用時(shí)，為了簡便，我們可以把點(diǎn)O選在兩條異面直線的某一條上；找兩條異面直線所成的角，要作平行移動(dòng)(作平行線)，把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角；當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，異面直線a和b互相垂直，也記作ab;以后我們說兩條直線互相垂直，這兩條直線可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有異面垂直這樣兩種情形.(上面每一條都要摘要作出板書)師為了加深對(duì)這一概念的理解與認(rèn)識(shí)，請(qǐng)同學(xué)們舉出日常生活中見到過的兩條異面直線所成角的實(shí)例.生課本圖中的六角螺母的棱AB和CD所在的直線成的角，或機(jī)械部件蝸輪和蝸桿的軸線所成的角，都

6、是異面直線所成的角.生教室頂面與前墻面的交線和地面與側(cè)面的交線所成的角也是異面直線所成的角.生正方體前面的左側(cè)棱與后面的對(duì)角線所成的角也是異面直線所成的角.師好.同學(xué)們?cè)賮砜紤]這樣的問題：空間三條直線a、b、c，若ac、bc，則a、b是怎樣的位置關(guān)系.生a、b平行.師還有嗎？請(qǐng)同學(xué)拿出竹簽，每兩人一組，對(duì)照正方體模型實(shí)際擺一擺.(同學(xué)動(dòng)手?jǐn)[弄，討論)生a、b可能相交，a、b也可能異面.師好！在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩直線平行.在空間，垂直于同一條直線的兩直線可能是平行直線，也可能是相交直線，還可能是異面直線.當(dāng)a、b異面時(shí)，同學(xué)們?cè)贁[擺看，與a、b都垂直的直線有幾條？與a、b都相交的直

7、線有幾條？與a、b既垂直又相交的直線有幾條？(生擺弄以后回答)生與a、b都垂直的直線有無數(shù)條，與a、b都相交的直線也有無數(shù)條，與a、b既垂直又相交的直線有且只有一條.師好.我們把與兩條異面直線既垂直又相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線(板書)注意：從定義可看出，兩條異面直線的公垂線與兩條異面直線既垂直又相交，“垂直”“相交”兩條缺一不可(板書).與兩條異面直線都垂直的直線不能稱為公垂線，與兩條異面直線都相交的直線也不能稱為公垂線，對(duì)于兩條異面直線，它們的公垂線有且只有一條.師兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段(公垂線段)的長度，叫做兩條異面直線的距離.(板書).對(duì)于確定的兩條異面直線

8、，它們所成的角是確定的，它們的公垂線是確定的，它們的距離也是完全確定的.師下面我們來看個(gè)例子設(shè)圖中正方體的棱長為a. (1)求直線BA和CC所成角的大??；(2)求異面直線BC和AA的距離. 注意：求異面直線所成角的大小，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，通過平移將兩異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，成為平面問題去求解；求兩異面直線的距離，就是求兩異面直線的公垂線段的長.分析：因?yàn)锽BCC，所以ABB就是異面直線BA與CC所成的角，因?yàn)锳A與AB垂直相交，BC與AB也垂直相交，所以AB是異面直線AA和BC的公垂線，AB的長就是異面直線AA與BC的距離.解：(1)CCBBBB和BA所成的銳角，即ABB就是

9、異面直線BA和CC所成的角(解題過程中，這句表述不能少).ABB45°，BA與CC所成的角是45°.(2)BC和AA的距離是a.課堂練習(xí)課本P28練習(xí)1，2，3，4.課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩異面直線所成角的定義、范圍，兩異面直線的公垂線的定義，兩異面直線間的距離.概念比較多，同學(xué)們一定要抓住定義中本質(zhì)的東西深刻領(lǐng)會(huì)，認(rèn)真掌握，兩異面直線所成的角，兩異面直線間的距離，這兩部分內(nèi)容，在空間圖形中的位置是相當(dāng)重要的，在高考中也是經(jīng)常涉及到的，同學(xué)們一定要予以高度重視，對(duì)于角與距離的求法，要多練習(xí)，才能掌握好，相信我們每個(gè)同學(xué)都會(huì)學(xué)得很好.課后作業(yè)課本P28習(xí)題 5，8，9.思考

10、與練習(xí)一、選擇題1.下列命題中，正確的是( )A.垂直于同一條直線的兩條直線平行B.有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形C.兩平行線中，有一條垂直于第三條直線，則另一條也垂直于第三條直線D.與兩異面直線都垂直的直線是它們的公垂線答案：C2.已知異面直線a與b所成的角為50°，P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與a、b所成的角都是30°的直線有且僅有( )A.1條 B.2條 C.3條 D.4條答案：B3.直線a、b相交于點(diǎn)O，且a、b成60°角，過點(diǎn)O與a、b都成60°角的直線有( )A.1條 B.2條 C.3條 D.4條答案：C4.異面直線a、b所成的角為80°

11、;，P是空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與a、b所成的角都是60°的直線有( )A.1條 B.2條 C.3條 D.4條答案：D5.若a、b是異面直線，c是a、b的公垂線，dc，則d和a、b的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( )A.1 B.最多為1C.2 D.1或2答案：B6.已知直線a與b、b與c都是異面直線，且a與b的公垂線同時(shí)也是b與c的公垂線，那么a與c的位置關(guān)系是( )A.平行或相交B.異面C.平行或相交或異面D.相交或異面答案：C7.在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，下列說法正確的是( )A.A1B與D1C是距離為a的異面直線B.異面直線AA1與BC的公垂線是A1B1C.異面直線AA1與

12、BC的公垂線是aD.異面直線AA1與BC的公垂線段的長是a答案：D二、填空題1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，與BD1成異面直線的有_條.答案：62.在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P、Q是相應(yīng)棱的中點(diǎn)，則(1)MN與PQ的位置關(guān)系是_，它們所成的角是_.(2)MN與B1D的位置關(guān)系是_，它們所成的角是_.(3)異面直線MN與B1D1間的距離為_.答案：(1)相交 60° (2)異面 90° (3)a3.在空間四邊形ABCD中，對(duì)角線ACBD2a，M、N分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，若MNa，則AC和BD所成的角為_，MN和AC所成的角為_. 答案： 90° 45°4.在長方體ABCDA1B1C1D1中，M是DC的中點(diǎn)，ADAA1，AB2，那么(1)AA1與BC1所成角的度數(shù)是_；(2)DA1與BC1所成角的度數(shù)是_；(3)BC1與D1M所成角的余弦是_. 答案：(1)45° (2)90° (3) 5.在空間四邊形ABCD中，對(duì)角線ACBD，若AC6，BD4，M