方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)一、 教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教課書數(shù)學(xué)I必修本（A版）第94-95頁的第三章第一課時(shí)3.1.1方程的根與函數(shù)的的零點(diǎn)。函數(shù)與方程是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，既是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，又是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的連接紐帶。在現(xiàn)實(shí)生活注重理論與實(shí)踐相結(jié)合的今天，函數(shù)與方程都有著十分重要的應(yīng)用，再加上函數(shù)與方程還是中學(xué)數(shù)學(xué)四大數(shù)學(xué)思想之一，因此函數(shù)與方程在整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)中占有非常重要的地位。就本章而言，本節(jié)通過對(duì)二次函數(shù)的圖象的研究判斷一元二次方程根的存在性以及根的個(gè)數(shù)的判斷建立一元二次方程的根與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點(diǎn)的聯(lián)系，然后由特殊到一般，將其推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的

2、情形它既揭示了初中一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，也引出對(duì)函數(shù)知識(shí)的總結(jié)拓展。之后將函數(shù)零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系在利用二分法解方程中（3.1.2）加以應(yīng)用，通過建立函數(shù)模型以及模型的求解（3.2）更全面地體現(xiàn)函數(shù)與方程的關(guān)系，逐步建立起函數(shù)與方程的聯(lián)系滲透“方程與函數(shù)” 思想?？傊竟?jié)課滲透著重要的數(shù)學(xué)思想 “特殊到一般的歸納思想” “方程與函數(shù)”和“數(shù)形結(jié)合”的思想，教好本節(jié)課可以為學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)打下一個(gè)良好基礎(chǔ)，因此教好本節(jié)是至關(guān)重要的。二 學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析地理位置：學(xué)生大多來自市區(qū)，學(xué)生接觸面較廣，個(gè)性較活躍，所以開始可采用競(jìng)賽的形式調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性；學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的差異不大，但進(jìn)一步鉆

3、研的精神相差較大，所以可適當(dāng)對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行拓展。程度差異性：中低等程度的學(xué)生占大多數(shù)，程度較高與程度很差的學(xué)生占少數(shù)。知識(shí)、心理、能力儲(chǔ)備：學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，現(xiàn)在基本會(huì)畫簡(jiǎn)單函數(shù)的圖象，也會(huì)通過圖象去研究理解函數(shù)的性質(zhì)，這就為學(xué)生理解函數(shù)的零點(diǎn)提供了幫助，初步的數(shù)形結(jié)合知識(shí)也足以讓學(xué)生直觀理解函數(shù)零點(diǎn)的存在性，因此從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)的圖象入手介紹函數(shù)的零點(diǎn)，從認(rèn)知規(guī)律上講，應(yīng)該是容易理解的。再者一元二次方程是初中的重要內(nèi)容，學(xué)生應(yīng)該有較好的基礎(chǔ)對(duì)于它根的個(gè)數(shù)以及存在性學(xué)生比較熟悉，學(xué)生理解起來沒有多大問題。這也為我們歸納函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根聯(lián)系提供了知識(shí)基礎(chǔ)。但是學(xué)生對(duì)其他函

4、數(shù)的圖象與性質(zhì)認(rèn)識(shí)不深（比如三次函數(shù)），對(duì)于高次方程還不熟悉，我們?nèi)狈Ω囝愋偷睦?，讓學(xué)生從特殊到一般歸納出函數(shù)與方程的內(nèi)在聯(lián)系，因此理解函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系應(yīng)該是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。加之函數(shù)零點(diǎn)的存在性的判定方法的表示抽象難懂。因此在教學(xué)中應(yīng)加強(qiáng)師生互動(dòng)，盡多的給學(xué)生動(dòng)手的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)二者的聯(lián)系，并充分提供不同類型的二次函數(shù)和相應(yīng)的一元二次方程讓學(xué)生研討，從而直觀地歸納、總結(jié)、分析出二者的聯(lián)系。三 設(shè)計(jì)思想教學(xué)理念：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，學(xué)會(huì)嚴(yán)密思考，并從中找到樂趣教學(xué)原則：注重各個(gè)層面的學(xué)生教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)誘導(dǎo)式四、教學(xué)目標(biāo)以二次函數(shù)的圖象與對(duì)應(yīng)的一元二次方程的關(guān)

5、系為突破口，探究方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)并掌握在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法；學(xué)會(huì)在某區(qū)間上圖象連續(xù)的函數(shù)存在零點(diǎn)的判定方法。讓學(xué)生在探究過程中體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，從特殊到一般的歸納思想，培養(yǎng)學(xué)生的辨證思維以及分析問題解決問題的能力。五、教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)與方程根之間的關(guān)系；連續(xù)函數(shù)在某區(qū)間上存在零點(diǎn)的判定方法。難點(diǎn)：發(fā)現(xiàn)與理解方程的根與函數(shù)零點(diǎn)的關(guān)系；探究發(fā)現(xiàn)函數(shù)存在零點(diǎn)的方法。六、教學(xué)程序設(shè)計(jì)1 方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)以及零點(diǎn)存在性的探索1.1方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)問題1：解方程（比賽）：6x1=0 ；3x26x1=0 。再比賽解3x36x1=0

6、 設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1（產(chǎn)生疑問，引起興趣，引出課題）比賽模式引入，調(diào)動(dòng)積極性，可根據(jù)學(xué)分評(píng)定中進(jìn)行過程性評(píng)定加分獎(jiǎng)勵(lì)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性和主動(dòng)性。第三題學(xué)生無法解答，產(chǎn)生疑惑引入課題：教師介紹說一次方程、二次方程甚至三次方程、四次方程的解都可以通過系數(shù)的四則運(yùn)算，乘方與開方等運(yùn)算來表示，但高于四次的方程一般不能用公式求解，如 3x56x1=0 緊接著介紹阿貝爾（挪威）定理（五次及高于五次的代數(shù)方程沒有一般的代數(shù)解法），伽羅瓦（法國(guó)）的近世代數(shù)理論，提出早在十三世紀(jì)的中國(guó)，秦九韶等數(shù)學(xué)家就提出了高次方程數(shù)值解的解法，振奮學(xué)生的民族自豪感，最后引出人們一直在研究方程的近似解方法二分法引入課題。問題2

7、：先來觀察幾個(gè)具體的一元二次方程的根及其相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象：如圖7-1方程與函數(shù)方程與函數(shù)方程與函數(shù) 圖7-1 師生互動(dòng)師：教師引導(dǎo)學(xué)生解方程、畫函數(shù)圖象、分析方程的根與圖象和x軸交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，推廣到一般的方程和函數(shù)引出零點(diǎn)概念。零點(diǎn)概念：對(duì)于函數(shù)yf（x）（xD），把使f（x）0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf（x）（xD）的。師：填表格函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)方程的根生：經(jīng)過獨(dú)立思考，填完表格師提示：根據(jù)零點(diǎn)概念，提出問題，零點(diǎn)是點(diǎn)嗎？零點(diǎn)與函數(shù)方程的根有何關(guān)系？生：經(jīng)過觀察表格，得出第一個(gè)結(jié)論師再問：根據(jù)概念，函數(shù)yf（x）的零點(diǎn)與函數(shù)yf（x）的圖象與x軸交點(diǎn)有什么關(guān)系生：經(jīng)過觀察圖像與x軸交點(diǎn)完成

8、解答，得出第二個(gè)結(jié)論師：概括總結(jié)前兩個(gè)結(jié)論（請(qǐng)學(xué)生總結(jié)）。1）概念：函數(shù)的零點(diǎn)并不是“點(diǎn)”，它不是以坐標(biāo)的形式出現(xiàn),而是實(shí)數(shù)。例如函數(shù)的零點(diǎn)為x=-1,32）函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)的零點(diǎn)就是方程實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)3）方程有實(shí)數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)。師：引導(dǎo)學(xué)生仔細(xì)體會(huì)上述結(jié)論。再提出問題：如何并根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義求零點(diǎn)？生：可以解方程而得到（代數(shù)法）；可以利用函數(shù)的圖象找出零點(diǎn)（幾何法）問題2一方面讓學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)的含義，另一方面通過對(duì)比讓學(xué)生再次加深對(duì)二者關(guān)系的認(rèn)識(shí)，使函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)到函數(shù)零點(diǎn)的概念轉(zhuǎn)變變得更自然、更易懂。通過對(duì)比教學(xué)揭示知識(shí)點(diǎn)之間

9、的密切關(guān)系。問題3：是不是所有的二次函數(shù)都有零點(diǎn)？師：僅提出問題，不須做任何提示。生：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義探索研究二次函數(shù)的零點(diǎn)情況，并進(jìn)行交流，總結(jié)概括形成結(jié)論二次函數(shù)的零點(diǎn)：看），方程有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)），方程有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)），方程無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)第一階段設(shè)計(jì)意圖本節(jié)的前半節(jié)一直以二次函數(shù)作為模本研究，此題是從特殊到一般的升華，也全面總結(jié)了二次函數(shù)零點(diǎn)情況，給學(xué)生一個(gè)清晰的解題思路。進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。1.2零點(diǎn)存在性的探索師生互動(dòng)師：要求

10、生用連續(xù)不斷的幾條曲線連接如圖4 A、B兩點(diǎn)，觀察所畫曲線與直線l的相交情況，由兩個(gè)學(xué)生上臺(tái)板書： A a blB 圖4生：兩個(gè)學(xué)生畫出連接A、B兩點(diǎn)的幾條曲線后發(fā)現(xiàn)這些曲線必與直線l相交。師：再用連續(xù)不斷的幾條函數(shù)曲線連接如圖A、B兩點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生觀察所畫曲線與直線l的相交情況，說明連接A、B兩點(diǎn)的函數(shù)曲線交點(diǎn)必在區(qū)間 (a，b) 內(nèi)。生：觀察下面函數(shù)f（x）0的圖象（如圖5）并回答圖5區(qū)間a，b上_(有/無)零點(diǎn)；f（a）f（b）_0（或）。區(qū)間b，c上_(有/無)零點(diǎn)；f（b）f（c）_0（或）。區(qū)間c，d上_(有/無)零點(diǎn)；f（c）f（d）_0（或）。師：教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象，分析函

11、數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的函數(shù)值的符號(hào)情況，與函數(shù)零點(diǎn)是否存在之間的關(guān)系。生：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的意義結(jié)合函數(shù)圖象，歸納得出函數(shù)零點(diǎn)存在的條件，并進(jìn)行交流、評(píng)析總結(jié)概括形成結(jié)論）一般地，我們有：如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線并且有f（a）f（b）0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)沒有零點(diǎn)嗎?探求2：如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且有f（a）f（b）0時(shí)，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)，但是否只一個(gè)零點(diǎn)？探求3：如果函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，并且函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)一定有f（a）f（b）0 ？探求4：如果函數(shù)yf（x）在

12、區(qū)間a，b上的圖象不是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點(diǎn)時(shí)一定有f（a）f（b）0 ？圖5（反例）師：總結(jié)兩個(gè)條件：1）函數(shù)y f（x）在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線2）在區(qū)間a，b上有f（a）f（b）0一個(gè)結(jié)論：函數(shù)y f（x）在區(qū)間a，b內(nèi)單調(diào)則函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)補(bǔ)充：什么時(shí)候只有一個(gè)零點(diǎn)？（觀察得出）函數(shù)yf（x）在區(qū)間a，b內(nèi)單調(diào)時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)例2求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題：1）你可以想到什么方法來判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)？2）判斷函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性你能得該函數(shù)的單調(diào)性具有什么特性？第三階段設(shè)計(jì)意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，分析其中各條件的作用,應(yīng)

13、用例1，例2加深對(duì)定理的理解3、練習(xí)嘗試(可根據(jù)時(shí)間和學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受程度適當(dāng)調(diào)整)1求函數(shù)，并畫出它的大致圖象2利用函數(shù)圖象判斷下列方程有沒有根，有幾個(gè)根：（1）；（2）；3利用函數(shù)的圖象，指出下列函數(shù)零點(diǎn)所在的大致區(qū)間：（1）；（2）；師生互動(dòng)師：多媒體演示；結(jié)合圖象考察零點(diǎn)所在的大致區(qū)間與個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到函數(shù)的圖象及基本性質(zhì)（特別是單調(diào)性）在確定函數(shù)零點(diǎn)中的重要作用生：建議學(xué)生使用計(jì)算器求出函數(shù)的大致區(qū)間，培養(yǎng)學(xué)生的估算能力，也為下一節(jié)的用二分法求方程的近似解做準(zhǔn)備。第四階段設(shè)計(jì)意圖：利用練習(xí)鞏固新知識(shí)，加深理解，為用二分法求方程的近似解做準(zhǔn)備4、探索研

14、究(可根據(jù)時(shí)間和學(xué)生對(duì)知識(shí)的接受程度適當(dāng)調(diào)整)討論：請(qǐng)大家給方程的一個(gè)解的大約范圍，看誰找得范圍更??？師生互動(dòng)師：把學(xué)生分成小組共同探究，給學(xué)生足夠的自主學(xué)習(xí)時(shí)間，讓學(xué)生充分研究，發(fā)揮其主觀能動(dòng)性。也可以讓各組把這幾個(gè)題做為小課題來研究，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能和熱情。老師用多媒體演示，直觀地演示根的存在性及根存在的區(qū)間大小情況。生：分組討論，各抒己見。在探究學(xué)習(xí)中得到數(shù)學(xué)能力的提高第五階段設(shè)計(jì)意圖：一是為用二分法求方程的近似解做準(zhǔn)備二是小組探究合作學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究意識(shí)，本組探究題目就是為了培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，此組題目具有較強(qiáng)的開放性，探究性，基本上可以達(dá)到上述目的。5課堂小結(jié)：零點(diǎn)概念零點(diǎn)存在性的判斷零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用注意點(diǎn)：零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷以及方程根所在區(qū)間6作業(yè)回饋教材P108習(xí)題31（A組）第1、2題；思考：總結(jié)函