集合知識(shí)點(diǎn)歸納

1、高中數(shù)學(xué)第一章-集合考試內(nèi)容：集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集.考試要求：(1)理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語(yǔ)和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合.集合知識(shí)要點(diǎn)一、知識(shí)結(jié)構(gòu)：本章知識(shí)主要分為集合、簡(jiǎn)單不等式的解法(集合化簡(jiǎn))、簡(jiǎn)易邏輯三部分二、知識(shí)回顧：(一)集合1 .基本概念：集合、元素；有限集、無(wú)限集；空集、全集；符號(hào)的使用2 .集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法集合元素的特征：確定性、互異性、無(wú)序性集合的性質(zhì)：任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為A£A；空集是任何集合的子集，記為,A；空集是任何非空

2、集合的真子集；如果A三B,同時(shí)B=A,那么A=B.如果A=B,B3C,那么A£C.注:Z=整數(shù)(V)Z=全體整數(shù)(X)已知集合S中A的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集.(X)(例：S=N;A=N*,則CA=0)空集的補(bǔ)集是全集.若集合A=集合B,則CBA=0,CAB=0CS(CB)=D(注：CaB=0).3 .(x,y)|xy=0,x6R,y6R坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.(x,y)|xy<0,x6R,yR二、四象8M的點(diǎn)集.(x,y)|xy>0,x6R,y6R一、三象限的點(diǎn)集.注:對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.例：/+'=3解的集合(2,1).2x-3y=1點(diǎn)集與數(shù)集的交集

3、是由.(例：A=(x,y)|y=x+lB=y|y=x2+i則AnB=0)4 .n個(gè)元素的子集有2n個(gè).n個(gè)元素的真子集有2n1個(gè).n個(gè)元素的非空真子集有2n2個(gè).5 .一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題U逆命題.一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題u逆否命題.例：若a+b#5,則a#2或b#3應(yīng)是真命題.解：逆否：a=2且b=3,則a+b=5,成立，所以此命題為真.x=1且丫=2,x-y蘆3.解：逆否：x+y=3=!=>x=1或y=2.x¥1且y#2#*x+y#3,故x+y¥3是x#1且y豐2的既不是充分，又不是必要條件小范圍推出大范圍；大范圍推

4、不出小范圍3 .例：若x>5,nx>5或xV2.4 .集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).【并集】在集合論和數(shù)學(xué)的其他分支中，一組集合的并集是這些集合的所有元素構(gòu)成的集合，而不包含其他元素?；径x：若A和B是集合，則A和B并集是有所有A的元素和所有B的元素，而沒(méi)有其他元素的集合。A和B的并集通常寫作"AUB"。«1r1形式上：x是AUB的元素，當(dāng)且僅當(dāng)x是A的元素，或x是B的元素。舉例：集合1,2,3和2,3,4的并集是1,2,3,4。數(shù)字9不屬于素?cái)?shù)集合2,3,5,7,11，和偶數(shù)集合2,4,6,8,10，的并集，因?yàn)?既不是素?cái)?shù)，也不是偶數(shù)。更通常的，多個(gè)集合

5、的并集可以這樣定義：例如，A,B和C的并集含有所有A的元素，所有B的元素和所有C的元素，而沒(méi)有其他元素。形式上：x是AUBUC的元素，當(dāng)且僅當(dāng)x屬于A或x屬于B或x屬于C。代數(shù)性質(zhì)：二元并集(兩個(gè)集合的并集)是一種結(jié)合運(yùn)算，即AU(BUC)=(AUB)UCo事實(shí)上，AUBUC也等于這兩個(gè)集合，因此圓括號(hào)在僅進(jìn)行并集運(yùn)算的時(shí)候可以省略。相似的，并集運(yùn)算滿足交換率，即集合的順序任意?？占遣⒓\(yùn)算的單位元。即UA=A，對(duì)任意集合A。可以將空集當(dāng)作零個(gè)集合的并集。結(jié)合交集和補(bǔ)集運(yùn)算，并集運(yùn)算使任意募集成為布爾代數(shù)。例如，并集和交集相互滿足分配律，而且這三種運(yùn)算滿足德摩根律。若將并集運(yùn)算換成對(duì)稱差運(yùn)算

6、，可以獲得相應(yīng)的布爾環(huán)?！窘患繑?shù)學(xué)上，兩個(gè)集合A和B的交集是含有所有既屬于A又屬于B的元素，而沒(méi)有其他元素的集合。A和B的交集寫作"AnB"。形式上：x屬于AnB當(dāng)且僅當(dāng)x屬于A且x屬于B。例如：集合1,2,3和2,3,4的交集為2,3。數(shù)字9不屬于素?cái)?shù)集合2,3,5,7,11和奇數(shù)集合1,3,5,7,9,11的交集。若兩個(gè)集合A和B的交集為空，就是說(shuō)他們沒(méi)有公共元素，則他們不相交。更一般的，交集運(yùn)算可以對(duì)多個(gè)集合同時(shí)進(jìn)行。例如，集合a,b,C和D的交集為AnBncnD=An(Bn(cnD)o交集運(yùn)算滿足結(jié)合律，即An(Bnc)=(AnB)nCo最抽象的概念是任意非空集合

7、的集合的交集。若M是一個(gè)非空集合，其元素本身也是集合，則x屬于M的交集，當(dāng)且僅當(dāng)又t任意M的元素A,x屬于Ao一般地，設(shè)S是一個(gè)集合，A是S的一個(gè)子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補(bǔ)集(或余集)記作CsA.在集合論和數(shù)學(xué)的其他分支中，存在補(bǔ)集的兩種定義：相對(duì)補(bǔ)集和絕對(duì)補(bǔ)集。補(bǔ)集可以看作兩個(gè)集合相減，有時(shí)也稱作差集。1:若A,B,C是集合，則下列恒等式成立：C?(AnB)=(C?A)U(C?B)C?(AUB)=(C?A)n(C?B)C?(B?A)=(AnC)U(C?B)(B?A)nC=(Bnc)?a=bn(C?A)(B?A)UC=(BUC)?(A?C)A?A=?A=?A?

8、=A若給定全集U,則A在U中的相對(duì)補(bǔ)集稱為A的絕對(duì)補(bǔ)集(或簡(jiǎn)稱補(bǔ)集)，寫作AC,即：AC=U?A與補(bǔ)集有關(guān)的運(yùn)算規(guī)律求補(bǔ)律AUCsA=SAnCsA=集合的性質(zhì)：確定性：每一個(gè)對(duì)象都能確定是不是某一集合的元素，沒(méi)有確定性就不能成為集合，例如“個(gè)子高的同學(xué)”“很小的數(shù)”都不能構(gòu)成集合。互異性：集合中任意兩個(gè)元素都是不同的對(duì)象。不能寫成1,1,2,應(yīng)寫成1,2。無(wú)序性：a,b,cc,b,a是同一個(gè)集合。集合有以下性質(zhì)：若A包含于B,則AnB=A,AUB=B集合的表示方法：常用的有列舉法和描述法。1 .列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉

9、法。1,2,3,2 .描述法：常用于表示無(wú)限集合，把集合中元素的公共屬性用文字，符號(hào)或式子等描述出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)，這種表示集合的方法叫做描述法。x|P(x為該集合的元素的一般形式，P為這個(gè)集合的元素的共同屬性)如：小于n的正實(shí)數(shù)組成的集合表示為：x|0<x<Tt3 .圖式法：為了形象表示集合，我們常常畫(huà)一條封閉的曲線(或者說(shuō)圓圈)，用它的內(nèi)部表示一個(gè)集合。常用數(shù)集的符號(hào)：(1)全體非負(fù)整數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱非負(fù)整數(shù)集(或自然數(shù)集)，記作N(2)非負(fù)整數(shù)集內(nèi)排除0的集，也稱正整數(shù)集，記作N+(或N*)(3)全體整數(shù)的集合通常稱作整數(shù)集，記作Z(4)全體有理數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱有理數(shù)集，記作

10、Q(5)全體實(shí)數(shù)的集合通常簡(jiǎn)稱實(shí)數(shù)集，記作R(6)復(fù)數(shù)集合計(jì)作C5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律-AA,6二A,AU,GAU,(1)包含關(guān)系：，,A二B,B二C二A二C;AfB工A,AB二B;AjB=A,AJB=B.(2) 等價(jià)關(guān)系:a三ByaDb=a=AljB=ByCuAUb=U(3) 集合的運(yùn)算律：1 .交換律anb=bnaAUB=BUA2 .結(jié)合律(AnB)nc=an(BnC)(AUB)UC=AU(BUC)3 .分配律an(BuC)=(AnB)u(AnC)AU(BnC)=(AUB)n(AUC)2德.摩根律Cs(AnB)=CsAUCsBCs(AUB)=CsAnCsB列舉法和描述法是表示集合的常用方式。

11、吸收律AU(AnB)=AAn(AUB)=A求補(bǔ)律AUCsA=SAnCsA=(二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根軸法(零點(diǎn)分段法)將不等式化為a0(x-xi)(x-x2)(x-xm)>0(<0)形式，并將各因式x的系數(shù)化"+”；(為了統(tǒng)一方便)求根，并在數(shù)軸上表示出來(lái)；由右上方穿線，經(jīng)過(guò)數(shù)軸上表示各根的點(diǎn)(為什么？)；若不等式(x的系數(shù)化“+”后)是“>0”，則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“<0”，則找“線”在x軸下方的區(qū)間.(自右向左正負(fù)相間)則不等式a0xn十a(chǎn)1xn，十a(chǎn)2xn1+an>0(<0)(a0>0)的解可以根據(jù)各區(qū)間的符號(hào)確定.特例一元一次不等式ax>b解的討論；一元二次不等式ax2+box>0(a>0)解的討論.二次函數(shù)(a>0)的圖象,兀一次方程后兩相異實(shí)根后兩相等實(shí)根無(wú)實(shí)根R2.分式不等式的解法f(x)f(x)f(x)_f(x)田-(1)標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為>0(或<0)；>0(或<0)的形式,g(x)g(x)g(x)g(x)(2)轉(zhuǎn)化為整式不等式(組)3.含絕對(duì)值不等式的解法f(x)g(x)0：三f(x)g(x)0;f(x).0匕g(x)少二一f(x)g(x).0g(x):0