小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)方法講義之-列舉法_通用版

1、.第三講 列舉法解應(yīng)用題時，為理解題的方便，把問題分為不重復(fù)、不遺漏的有限情況，一一列舉出來加以分析、解決，最終到達(dá)解決整個問題的目的。這種分析、解決問題的方法叫做列舉法。列舉法也叫枚舉法或窮舉法。 用列舉法解應(yīng)用題時，往往把題中的條件以列表的形式排列起來，有時也要畫圖。例1 一本書共100頁，在排頁碼時要用多少個數(shù)字是6的鉛字？適于三年級程度解：把個位是6和十位是6的數(shù)一個一個地列舉出來，數(shù)一數(shù)。個位是6的數(shù)字有：6、16、26、36、46、56、66、76、86、96，共10個。十位是6的數(shù)字有：60、61、62、63、64、65、66、67、68、69，共10個。10+10=20個答：在

2、排頁碼時要用20個數(shù)字是6的鉛字。*例2 從A市到B市有3條路，從B市到C市有兩條路。從A市經(jīng)過B市到C市有幾種走法？適于三年級程度解：作圖3-1，然后把每一種走法一一列舉出來。第一種走法：A B C第二種走法：A B C第三種走法：A B C第四種走法：A B C第五種走法：A B C第六種走法：A B C答：從A市經(jīng)過B市到C市共有6種走法。*例3 9137=1001425=把+、-、×、÷四種運算符號分別填在適當(dāng)?shù)膱A圈中每種運算符號只能用一次，并在長方形中填上適當(dāng)?shù)恼麛?shù)，使上面的兩個等式都成立。這時長方形中的數(shù)是幾？適于四年級程度解：把+、-、×、÷

3、;四種運算符號填在四個圓圈里，有許多不同的填法，要是逐一討論怎樣填會特別費事。假如用些簡單的推理，排除不可能的填法，就能使問題得到簡捷的解答。先看第一個式子：9137=100假如在兩個圓圈內(nèi)填上“÷號，等式右端就要出現(xiàn)小于100的分?jǐn)?shù)；假如在兩個圓圈內(nèi)僅填“+、“-號，等式右端得出的數(shù)也小于100，所以在兩個圓圈內(nèi)不能同時填“÷號，也不能同時填“+、“-號。要是在等式的一個圓圈中填入“×號，另一個圓圈中填入適當(dāng)?shù)姆柧腿菀资沟仁接叶说贸?00。9×13-7=117-7=110，未湊出100。假如在兩個圈中分別填入“+和“×號，就會湊出100了。

4、9+13×7=100再看第二個式子：1425=上面已經(jīng)用過四個運算符號中的兩個，只剩下“÷號和“-號了。假如在第一個圓圈內(nèi)填上“÷號， 14÷2得到整數(shù)，所以：14÷2-5=2即長方形中的數(shù)是2。*例4   印刷工人在排印一本書的頁碼時共用1890個數(shù)碼，這本書有多少頁？適于四年級程度解：1數(shù)碼一共有10個：0、1、28、9。0不能用于表示頁碼，所以頁碼是一位數(shù)的頁有9頁，用數(shù)碼9個。2頁碼是兩位數(shù)的從第10頁到第99頁。因為99-9=90，所以，頁碼是兩位數(shù)的頁有90頁，用數(shù)碼：2×90=180個3還剩下的數(shù)碼：

5、1890-9-180=1701個4因為頁碼是三位數(shù)的頁，每頁用3個數(shù)碼，100頁到999頁，999-99=900，而剩下的1701個數(shù)碼除以3時，商缺乏600，即商小于900。所以頁碼最高是3位數(shù)，不必考慮是4位數(shù)了。往下要看1701個數(shù)碼可以排多少頁。1701÷3=567頁5這本書的頁數(shù)：9+90+567=666頁答略。*例5 用一根80厘米長的鐵絲圍成一個長方形，長和寬都要是5的倍數(shù)。哪一種方法圍成的長方形面積最大？適于四年級程度解：要知道哪種方法所圍成的面積最大，應(yīng)將符合條件的圍法一一列舉出來，然后加以比較。因為長方形的周長是80厘米，所以長與寬的和是40厘米。列表3-1：表3

6、-1表3-1中，長、寬的數(shù)字都是5的倍數(shù)。因為題目要求的是哪一種圍法的長方形面積最大，第四種圍法圍出的是正方形，所以第四種圍法應(yīng)舍去。前三種圍法的長方形面積分別是：35×5=175平方厘米30×10=300平方厘米25×15=375平方厘米答：當(dāng)長方形的長是25厘米，寬是15厘米時，長方形的面積最大。例6 如圖3-2，有三張卡片，每一張上寫有一個數(shù)字1、2、3，從中抽出一張、兩張、三張，按任意次序排列起來，可以得到不同的一位數(shù)、兩位數(shù)、三位數(shù)。請將其中的質(zhì)數(shù)都寫出來。適于五年級程度解：任意抽一張，可得到三個一位數(shù)：1、2、3，其中2和3是質(zhì)數(shù)；任意抽兩張排列，一共

7、可得到六個不同的兩位數(shù)：12、13、21、23、31、32，其中 13、23和 31是質(zhì)數(shù)；三張卡片可排列成六個不同的三位數(shù)，但每個三位數(shù)數(shù)碼的和都是1+2+3=6，即它們都是3的倍數(shù)，所以都不是質(zhì)數(shù)。綜上所說，所能得到的質(zhì)數(shù)是2、3、13、23、31，共五個。*例7 在一條筆直的公路上，每隔10千米建有一個糧站。一號糧站存有10噸糧食，2號糧站存有20噸糧食，3號糧站存有30噸糧食，4號糧站是空的，5號糧站存有40噸糧食。如今要把全部糧食集中放在一個糧站里，假如每噸1千米的運費是0.5元，那么糧食集中到第幾號糧站所用的運費最少圖3-3？適于五年級程度解：看圖3-3，可以斷定糧食不能集中在1號

8、和2號糧站。下面將運到3號、4號、5號糧站時所用的運費一一列舉，并比較。1假如運到3號糧站，所用運費是：0.5×10×10+10+0.5×20×10+0.5×40×10+10=100+100+400=600元2假如運到4號糧站，所用運費是：0.5×10×10+10+10+0.5×20×10+10+0.5×30×10+0.5×40×10=150+200+150+200=700元3假如運到5號糧站，所用費用是：0.5×10×10+10+10

9、+10+0.5×20×10+10+10+0.5×30×10+10=200+300+300=800元800700600答：集中到第三號糧站所用運費最少。*例8 小明有10個1分硬幣，5個2分硬幣，2個5分硬幣。要拿出1角錢買1支鉛筆，問可以有幾種拿法？用算式表達(dá)出來。適于五年級程度解：1只拿出一種硬幣的方法：全拿1分的：1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1角全拿2分的：2+2+2+2+2=1角全拿5分的：5+5=1角只拿出一種硬幣，有3種方法。2只拿兩種硬幣的方法：拿8枚1分的，1枚2分的：1+1+1+1+1+1+1+1+2=1角拿6枚1分的，2枚2

10、分的：1+1+1+1+1+1+2+2=1角拿4枚1分的，3枚2分的：1+1+1+1+2+2+2=1角拿2枚1分的，4枚2分的：1+1+2+2+2+2=1角拿5枚1分的，1枚5分的：1+1+1+1+1+5=1角只拿出兩種硬幣，有5種方法。3拿三種硬幣的方法：拿3枚1分，1枚2分，1枚5分的：1+1+1+2+5=1角拿1枚1分，2枚2分，1枚5分的：1+2+2+5=1角拿出三種硬幣，有2種方法。共有：3+5+2=10種答：共有10種拿法。*例9 甲、乙、丙、丁與小強五位同學(xué)一起比賽象棋，每兩人都要比賽一盤。到如今為止，甲賽了4盤，乙賽了3盤，丙賽了2盤，丁賽了1盤。問小強賽了幾盤？適于五年級程度解

11、：作表3-2。表3-2 甲已經(jīng)賽了4盤，就是甲與乙、丙、丁、小強各賽了一盤，在甲與乙、丙、丁、小強相交的那些格里都打上；乙賽的盤數(shù)，就是除了與甲賽的那一盤，又與丙和小強各賽一盤，在乙與丙、小強相交的那兩個格中都打上；丙賽了兩盤，就是丙與甲、乙各賽一盤，打上；丁與甲賽的那一盤也打上。丁未與乙、丙、小強賽過，在丁與乙、丙與小強相交的格中都畫上圈。根據(jù)條件分析，填完表格以后，可明顯地看出，小強與甲、乙各賽一盤，未與丙、丁賽，共賽2盤。答：小強賽了2盤。*例10 商店出售餅干，現(xiàn)存10箱5千克重的，4箱2千克重的，8箱1千克重的，一位顧客要買9千克餅干，為了便于攜帶要求不開箱。營業(yè)員有多少種發(fā)貨方式？

12、適于五年級程度解：作表3-3列舉發(fā)貨方式。表3-3答：不開箱有7種發(fā)貨方式。*例11 運輸隊有30輛汽車，按130的編號順序橫排停在院子里。第一次陸續(xù)開走的全部是單號車，以后幾次都由余下的第一輛車開場隔一輛開走一輛。到第幾次時汽車全部開走？最后開走的是第幾號車？適于五年級程度解：按題意畫出表3-4列舉各次哪些車開走。表3-4從表3-4中看得出，第三次開走后剩下的是第8號、16號、24號車。按題意，第四次8號、24號車開走。到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。答：到第五次時汽車全部開走，最后開走的是第16號車。*例12 在甲、乙兩個倉庫存放大米，甲倉存90袋，乙倉存50袋，甲倉每次運

13、出12袋，乙倉每次運出4袋。運出幾次后，兩倉庫剩下大米的袋數(shù)相等？適于五年級程度解：根據(jù)題意列表3-5。表3-5從表3-5可以看出，原來甲乙兩倉庫所存大米相差40袋；第一次運走后，兩倉剩下的大米相差78-46=32袋；第二次運走后，兩倉剩下的大米相差66-42=24袋；第三次運走后，兩倉剩下的大米相差54-38=16袋；第四次運走后，兩倉剩下的大米相差42-34=8袋；第五次運走后，兩倉剩下的大米袋數(shù)相等。40-32=832-24=824-16=8從這里可以看出，每運走一次，兩倉庫剩下大米袋數(shù)的相差數(shù)就減少8袋。由此可以看出，兩倉庫原存大米袋數(shù)的差，除以每次運出的袋數(shù)差就得出運幾次后兩個倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。90-50÷12-4=5次答：運出5次后兩個倉庫剩下大米的袋數(shù)相等。*例13 有三組小朋友共72人，第一次從第一組里把與第二組同樣多的人數(shù)并入第二組；第二次從第二組里把與第三組同樣多的人數(shù)并入第三組；第三次從第三組里把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組。這時，三組的人數(shù)一樣多。問原來各組有多少個小朋友？適于五年級程度解：三個小組共72人，第三次并入后三個小組人數(shù)相等，都是72÷3=24人。在這以前，即第三組未把與第一組同樣多的人數(shù)并入第一組時，第一組應(yīng)是24÷2=12人，第三組應(yīng)是24+12=36人，第二組人數(shù)仍為