線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱

1、線性代數(shù)復(fù)習(xí)提綱第一章行列式本章重點是行列式的計算，對于n階行列式的定義只需了解其大概的意思。要注重學(xué)會利用行列式的各條性質(zhì)及按行（列）展開等基本方法來簡化行列式的計算，對于計算行列式的技巧毋需作過多的探索。1、行列式的性質(zhì)（1）行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D=Dt。（2）互換行列式的兩行（列），行列式變號。（3）行列式中如有兩行（列）相同或成比例，則此行列式為零。（4）行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式；換句話說，若行列式的某一行（列）的各元素有公因子k,則k可提到行列式記號之外。（5）把行列式某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)k,然后加到另一行（列）上，行列式

2、的值不變。（6）若行列式的某一行（列）的各元素均為兩項之和，則此行列式等于兩個行列式之和2、行列式的按行（按列）展開（1）代數(shù)余子式：把n階行列式中。，_|）元24所在的第i行和第j列劃掉后所剩的n-1階行列式稱為（i,j）ij.兀aij的余子式，記作M0；記Aj=（-1）Mj,則稱與為（i,j）元aij的代數(shù)余子式。（2）按行（列）展開定理：n階行列式等于它的任意一行（列）的各元素與對應(yīng)于它們的代數(shù)余子式的乘積之和，即可按第i行展開：D=aiiAiiai2A2a.An,（i=1,2,n）也可按第j列展開：D二司jAja2jA2j.2可，（j=1,2,.,n）（3）行列式中任意一行（列）的各元

3、素與另一行的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即ai1Aj1+ai2Aj2+十a(chǎn)inAjn=0,（Kj）；或即4j+a2iA2j+十a(chǎn)ni%,（i#j）。D；_-3、克拉默法則：Xj=L,（i=1,2,.,n）,其中Dj是D把D中第i列元素用方程右端項替代后所得到的行列式。4、常用的行列式上（下）三角形行列式等于其主對角線上的元素的乘積；特別，（主）對角行列式等于其對角線上各元素的乘積。學(xué)會利用行列式各性質(zhì)將行列式化為三角形，以方便計算。第二章矩陣及其運算了解矩陣的加法、數(shù)乘、矩陣與矩陣相乘、矩陣的轉(zhuǎn)置和方陣的行列式等概念。本章重點是要熟練掌握矩陣的線性運算（加法與數(shù)乘）、矩陣與矩陣的乘法、

4、矩陣的轉(zhuǎn)置、方陣的行列式及其運算規(guī)律；掌握可逆矩陣的概念以及矩陣可逆的充要條件；理解伴隨矩陣的概念，會用伴隨矩陣求矩陣的逆陣。1、矩陣的運算(1)矩陣加法滿足（A,B,CeMmn(a)(b)ABBA)C=A(BC)數(shù)乘矩陣滿足"J乞R,A,Mmn(a)(b)A=AA(c)A（3）矩陣與矩陣相乘滿足（前面矩陣的列數(shù)=后面為陣的行數(shù)）(a) ABC=ABC(b) AAC(c) A注后、:AB(a) 一般情況下，AB=BA;若AB=BA,則稱A,是可交換的。(b)(4)即便AB=0,A,B可以都不是零矩陣(a)矩陣的轉(zhuǎn)置滿足TTAT二A(b)AT(c)(d)ABtat(e)(5)ATA=0

5、=AAt=0匕A=0方陣的曷Ak(k為正整數(shù)，AwMn)(a)(b)若方陣A,是不可交換的，則2;ABkkAkAkA1-Ak+l;(Ak=Akl(k,l均為正整數(shù))。(6)方陣的行列式(A,B均為方陣)滿足(a)AT=|a。(b)九a=九(c)AB=A2、逆矩陣(1)定義：設(shè)AwMn,若有BwMn,使得AB=BA=E(單位陣)，則稱矩陣A是可逆的，B是A的逆陣，記作(2)方陣A可逆之B,使BA=E。(3)逆陣的性質(zhì)(a)若A可逆，則-1o豐0y有B,使AB=E有_1ra_1-1aA1也可逆，且(AbA(b)若A可逆，則AT也可逆,一T一1-1T且ata1(c)若A可逆，k#0,則kA也可逆，且

6、-11.1kAA1k(d)若A,-i均可逆，則A,也可逆，且AB(4)伴隨矩陣：設(shè)AM_*.A的伴隨陣A定義為T(AJ,(其中Aj是A中(i,j)元的代數(shù)余子式伴隨陣的性質(zhì)：(a)AA=AA=AE*(b)若A，0,則A一1=二A*,A*=AA一1|A|,*-=A1AA(c)若|A卜0,則(A)=(A*n-1(d) A=A/、T*t(e) AT=A3、克拉默法則的矩陣表示若|a|#0,則方程組Ax=b有唯一解_i1*x=Ab=rAb。A第三章矩陣的初等變換與線性方程組本章重點是要熟練掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形和行最簡形的方法，并熟練掌握用矩陣初等行變換求解線性方程組的方法。理解矩陣的秩的

7、概念，并掌握用矩陣初等變換求矩陣的秩的方法。理解非齊次線性方程組無解、有唯一解或無窮多解的充要條件和齊次線性方程組有非零解的充要條件。1、定義初等行變換：ri-。；父k;n+k。）；初等列變換：（G修cj;g父k;g十kq）；初等變換：AB,即A與B等價，秩相等。2、矩陣的秩（1）矩陣A的最高階非零子式的階數(shù)r,稱為矩陣A的秩，記作R（A）=r。（2）R（A）=r=A的最簡形含r個非零行二A的標(biāo)準(zhǔn)形F=；Er。）。0°mn（3）矩陣的秩的性質(zhì)：（a） 0工R（AmMn）£minm,M。（b） R（AT）=R（A）。(c)ARAR(d)若p,q可逆,則R(PAQ)=R(A)3

8、、線性方程組理論（1） n元非齊次線性方程組Ax=b有解的充要條件是R（A）=R（A,b）,當(dāng)R（A）=R（A,b）=n時有唯一解；當(dāng)R（A）=R（A,b）n時有無窮多解；無解的充要條件是R（AXR（A,b）o（2） n元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是R（A）父n；只有零解的充要條件是R（A）=n。(3)矩陣方程AX=B有解的充要條件是RA,第四章向量組的線性相關(guān)性在本章學(xué)習(xí)中，要特別注意方程語言、矩陣語言、幾何語言三者之間的轉(zhuǎn)換一突出的典型問題是對g,A,，b)=(a”a2,.,am)KmX1,(B=AK)所作的解釋：矩陣語言：B是A與K的乘積矩陣；方程語言：K是矩陣方程AX=B

9、的一個解；幾何語言：向量組B能由向量組A線性表示，K是這一表示的系數(shù)矩陣。理解向量組線性組合以及一個向量(或向量組)能由一個向量組線性表示的概念，特別地，要熟悉這些概念和線性方程組的聯(lián)系。理解向量組線性相關(guān)和線性無關(guān)的概念，并熟悉它們與齊次線性方程組的聯(lián)系。理解向量組的最大無關(guān)組和向量組的秩的概念，會用矩陣的初等變換求向量組的最大無關(guān)組和秩。本章的另一個重點是理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的概念，并能熟練地求出基礎(chǔ)解系，理解齊次與非齊次線性方程組通解的構(gòu)造。1、n維向量、向量組n個有次序的數(shù)4啟2,，an構(gòu)成的有序數(shù)組稱為n維向量，記作aiIIa2Ta=,a=ai,a2,.,a11ana與aT分

10、別稱為列向量和行向量，也就是列矩陣和行矩陣。若干個同維數(shù)的列（行）向量所組成的集合叫做向量組。含有有限個向量的向量組可以構(gòu)成一個矩陣。2、線性組合與線性表示（1）向量b能由向量組A:a1,a2,.,am線性表示«方程組x1al+x2a2+.+xmam=b（Ax=b）有解二R（ai,a2，.,am）=R（a1,a2，.,am,b）（定理1）向量組B:bb,.,b能由向量組A:a1,a2,.,am線性表示二矩陣方程）有解a1,a2,.,amX;b1,b2,.,bAX二RAR（定理2）（3）向量組a與向量組B等價（能相互線性表示）-RAR=RA,（4）若向量組B能由向量組A線性表示，則產(chǎn)R

11、(A)。（定理3）3、線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組A:a1,a2，,am線性相關(guān)=齊次線性方程組x1a1+x2a2+xmam=0（Ax=0）有非零解uR（ai,a2,.,am）<m（定理4）向量組aa?,.,am（mz2，線性相關(guān)的充要條件是存在某個向量aj（1至j£m）,它能由其它m-1個向量線性表示。4、向量組線性相關(guān)性的重要結(jié)論（1）向量組a”a2,.,as線性相關(guān)，則向量組ai,a2,.,as,a$f.,am也線性相關(guān)。（定理5-1）（2）m個n維向量組成的向量組，當(dāng)m>n,即個數(shù)大于維數(shù)時一定線性相關(guān)。（定理5-2）（3）設(shè)向量組A:a1,a2,.,am線性無關(guān)，而

12、向量組可且2,.,am,b線性相關(guān)，則向量b必能由向量組A線性表示，且表示式是唯一的。（定理5-3）5、向量組的最大無關(guān)組與向量組的秩(1)定義：如果在向量組中能選出r個向量ai,a2,a,滿足(a)向量組Ao:ai,a2,.,a線性無關(guān)；(b)向量組A中任意r+1個向量都線性相關(guān)，那么稱向量組A,是向量組A的一個最大無關(guān)組；最大無關(guān)組所含向量個數(shù)r稱為向量組A的秩，記作RAo只含零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，規(guī)定它的秩為0。(c)上述條件(b)可改為：向量組a中任一向量都能由向量組A0線性表示。(2)只含有限個向量的向量組A:a1,a2,.,am構(gòu)成矩陣A=(ai,a2,.,am),矩陣a的

13、秩等于向量組a的秩,即R(A)=R(a1,a2,.,am)=Ra。(定理6)6、齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系與通解設(shè)n元齊次線性方程組Amxnx=0的解集為S,則Rs=nr；解集S的一個最大無關(guān)組稱為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，其中含Rs=n-r個解向量。設(shè)1,2,.,'n-r為齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，則其通解為x=.rn.rq,c2,.rR7、非齊次線性方程組Ax=b的通解設(shè)非齊次線性方程組Ax=b的一個解為n,對應(yīng)的齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系為則非齊次方程組的通解為X=G1C22o8、向量空間(1)設(shè)V是n維向量的集合，如果V非空，且對向量的線性運算封閉，那么V就稱為向量

14、空間。向量空間V的最大無關(guān)組稱為V的基，向量空間V的秩R,稱為V的維，若&=r,則稱V為r維向量空間。設(shè)r維向量空間的一個基為jj，,j則任一向量g)總有唯一的一組有序數(shù)九1,7一2,.,%,使v=q+即2+.+7Jr,有序數(shù)組，%.a就稱為向量V在基j1,j2，.jr下的坐標(biāo)(2)給定n維向量組A:四包,.,3m,集合L31,a2,.,am是一個向量空間，稱為由向量組A所生成的向量空間向量組A與向量組B等價，則由它們所生成的向量空間相等第五章相似矩陣及二次型本章的重點特征值與特征向量的計算與矩陣的對角化，特別是對稱矩陣的對角化。而求得正交矩陣P,使PAP=PTAP=A=diag。&q

15、uot;%，,幾),既是相似，又是合同。學(xué)好本章的關(guān)鍵是掌握對稱矩陣正交相似對角化的原理和步驟，其它概念如向量的內(nèi)積、正交、施密特正交化方法、正交矩陣、特征值和特征向量等都圍繞正交相似對角化這一中心議題。要熟練地掌握特征值和特征向量的求法以及它們和正交矩陣的關(guān)系。1、向量的內(nèi)積、長度及正交性XiVi(1)設(shè)有n維向量x=X2,yV2_Xn一，n一則1X,y1=XiViX2V2'.XnVn=xTy被稱為向量x占y的內(nèi)積。(2)非負(fù)實數(shù)IIX=JX,X=/X；+x2十十X2被稱為向量X的一七度(或范數(shù))。當(dāng)|國=1時，稱X為單位向量。x=0u|x|=0o(3)當(dāng)X,y】=xTy=0時,稱向

16、量X與y正交。零向量與任何向量都正交。2、正交向量組：一組兩兩正交的非零向量稱為正交向量組。正交向量組一定線性無關(guān)。給定一個線性無關(guān)的向量組A,尋求一個與A等價的正交向量組，稱為把向量組A正交化。施密特正交化過程：設(shè)向量組A：孤a2,.,均線性無關(guān)，令b=a1；.b,a213二比一KT|b；b,ar,甌ar,br，a*問瓜VF-b27tT2.一瓦"ibr則向量組b,b2,.,"兩兩正交，且與A組等價。設(shè)n維向量e,e2,.,er是向量空間V(VuRn)的一個基，如果ei,e2，.,er兩兩正交，且都是單位向量，則稱ei,e2,.,er為V的一個規(guī)范正交基。3、正交矩陣如果n

17、階矩陣A滿足ATA=E,則稱A為正交矩陣，簡稱正交陣。(1) ATA=Euaat=e；(2) A可逆，且A-At;(3) A的行(列)向量組兩兩正交，且都是單位向量。4、特征值與特征向量(1)設(shè)A是n階矩陣，若有數(shù)九和n維非零向量x使關(guān)系式Axrx,則稱九為方陣A的特征值,非零向量x稱為A的對應(yīng)于特征值人的特征向量。(2)九的n次多項式f（九）=A-XEaii-'a2lai2a22一,an1an2alna2nann一稱為n階矩陣A的特征多項式，|AE|=0稱為矩陣A的特征方程，特征方程的根就是A的特征值。在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)恒有解，n階矩陣A有n個特征值(重根按重數(shù)計算)。設(shè)方陣A的特征值為”

18、2，./、，則有1 )A+%+.+%=a1+a22+十a(chǎn)nn；2 )上1上2.n=A3)若九是方陣A的特征值，則九卜是人卜的特征值；華是矩陣多項式巴A)的特征值(其中中口)=ao+研九+.+am?；A)=a0+現(xiàn)A+.+amAm)0(3)設(shè)是方陣A的一個特征值，則齊次方程|A-£E|=0的全部非零解就是方陣A對應(yīng)于特征值？.的全部特征向量，而該齊次方程的基礎(chǔ)解系就是對應(yīng)于特征值的全體特征向量的最大無關(guān)組。(4)設(shè)入1&，鼻是方陣A的r個特征值，對應(yīng)的特征向量依次為P1,P2,.-Pr,如果中2,一“各不相等，UP，P2,.-Pr線性無關(guān)5、相似矩陣（1）對于n階矩陣A和B,若

19、有可逆矩陣P,使得P，AP=B，則稱A與B相似，把A化成B的運算，稱為對A進(jìn)行相似變換，可逆矩陣P稱為把A變成B的相似變換矩陣。若矩陣A與B相似，則A與B的特征多項式相同，從而有相同的特征值。（2）若矩陣A與對角陣相似（此時，稱矩陣A能相似對角化），即若有可逆矩陣P,使得PAP=A=diag（%,%,.,%；則1） £%.，£是A的n個特征值；2） P的第i個列向量p是A的對應(yīng)于九i的特征向量；3）矩陣a能相似對角化的充分必要條件是A有n個線性無關(guān)的特征向量。6、對稱矩陣的對角化（1）對稱矩陣的性質(zhì)1）對稱矩陣的特征值都是實數(shù)；2）對應(yīng)不同特征值的特征向量正交；3）給定對稱

20、陣a,存在正交陣p,使1 T.PAP=PAP=A=diag(九，九2,，K)o(2)對稱陣A對角化的步驟1)求出A的全部互不相等的特征值%,.%,它們的重數(shù)依次為k1,.,ks(k1+.+ks=n2)對每個K重特征值，求方程(A-Ejx=0的基礎(chǔ)解系，得K個線性無關(guān)的特征向量。再把它們規(guī)范正交化，得K個兩兩正交的單位特征向量。因ki+.+ks=n,故總共得到n個兩兩正交的單位特征向量。3)把這n個兩兩正交的單位特征向量構(gòu)成正交陣P,便有PAP=PtAP=Ao7、二次型化標(biāo)準(zhǔn)形(1)二次齊次函數(shù)222f(Xi,X2,Xn)=aiiXia22X2.annXn2a12XiX22a13XiX32an,nXnXn稱為二次型。令aji=aij,A=a),X=(X1,X2,.,Xn),把二次型記作f=XTAx,對稱矩陣a稱為二次型f的矩陣，并規(guī)定二次型f的秩為矩陣A的秩。(2)二次型研究的主要問題是：尋求可逆變換X