學而思高中題庫完整版排列與組合.版塊七.排列組合問題的常用方法總結(jié)1.學生版

1、排列組合問題的常用方法總"W蚱知識內(nèi)容1 .根本計數(shù)原理加法原理分類計數(shù)原理：做一件事,完成它有n類方法,在第一類方法中有m界1不同的方法,在第二類方法中有m2種方法,在第n類方法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有Nm1m2Lmn種不同的方法.又稱加法原理.乘法原理分步計數(shù)原理：做一件事,完成它需要分成n個子步驟,做第一個步驟有mi種不同的方法,做第二個步驟有m2種不同方法,做第n個步驟有mn種不同的方法.那么完成這件事共有Nmim2Lmn種不同的方法.又稱乘法原理.加法原理與乘法原理的綜合運用如果完成一件事的各種方法是相互獨立的,那么計算完成這件事的方法數(shù)時,使用分類計數(shù)原理

2、.如果完成一件事的各個步驟是相互聯(lián)系的,即各個步驟都必須完成,這件事才告完成,那么計算完成這件事的方法數(shù)時,使用分步計數(shù)原理.分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理是推導排列數(shù)、組合數(shù)公式的理論根底,也是求解排列、組合問題的根本思想方法,這兩個原理十分重要必須認真學好,并正確地靈活加以應用.2 .排列與組合排列：一般地,從n個不同的元素中任取m(mwn)個元素,根據(jù)一定的順序排成一列,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.(其中被取的對象叫做元素)排列數(shù)：從n個不同的元素中取出m(mwn)個元素的所有排列的個數(shù),叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù),用符號A：表示.排列數(shù)公式：Amn(n1)(n

3、2)L(nm1),m,nN,并且m<n.全排列：一般地,n個不同元素全部取出的一個排列,叫做n個不同元素的一個全排列.n的階乘：正整數(shù)由1到n的連乘積,叫作n的階乘,用n!表示.規(guī)定：0!1.組合：一般地,從n個不同元素中,任意取出m(mwn)個元素并成一組,叫做從n個元素中任取m個元素的一個組合.組合數(shù)：從n個不同元素中,任意取出m(m<n)個元素的所有組合的個數(shù),叫做從n個不同元素中,任意取出m個元素的組合數(shù),用符號c：表示.組合數(shù)公式：n(n1)(n2)L(nm1)n!,m,nN,并且m<n.m!m!(nm)!組合數(shù)的兩個性質(zhì)：性質(zhì)1：cmcnm；性質(zhì)2：c,cmcm1

4、.規(guī)定co1排列組合綜合問題解排列組合問題,首先要用好兩個計數(shù)原理和排列組合的定義,即首先弄清是分類還是分步,是排列還是組合,同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法：1 .特殊元素、特殊位置優(yōu)先法元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求,再考慮其他元素；位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求,再考慮其他位置；2 .分類分步法：對于較復雜的排列組合問題,常需要分類討論或分步計算,一定要做到分類明確,層次清楚,不重不漏.3 .排除法,從總體中排除不符合條件的方法數(shù),這是一種間接解題的方法.4 .捆綁法：某些元素必相鄰的排列,可以先將相鄰的元素捆成一個元素,與其它元素進行排列,然后再給那幺捆元

5、素內(nèi)部排列.5 .插空法：某些元素不相鄰的排列,可以先排其它元素,再讓不相鄰的元素插空.6 .插板法：n個相同元素,分成mmwn組,每組至少一個的分組問題把n個元素排成一排,從n1個空中選m1個空,各插一個隔板,有cnm11.7 .分組、分配法：分組問題分成幾堆,無序.有等分、不等分、局部等分之別.一般地平均分成n堆組,必須除以n!,如果有m堆組元素個數(shù)相等,必須除以m!8 .錯位法：編號為1至n的n個小球放入編號為1到n的n個盒子里,每個盒子放一個小球,要求小球與盒子的編號都不同,這種排列稱為錯位排列,特別當n2,3,4,5時的錯位數(shù)各為1,2,9,44.關于5、6、7個元素的錯位排列的計算

6、,可以用剔除法轉(zhuǎn)化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題.1 .排列與組合應用題,主要考查有附加條件的應用問題,解決此類問題通常有三種途徑：元素分析法：以元素為主,應先滿足特殊元素的要求,再考慮其他元素；位置分析法：以位置為主考慮,即先滿足特殊位置的要求,再考慮其他位置；間接法：先不考慮附加條件,計算出排列或組合數(shù),再減去不符合要求的排列數(shù)或組合數(shù).求解時應注意先把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數(shù)原理還是分步計數(shù)原理；然后分析題目條件,防止選取時重復和遺漏；最后列出式子計算作答.2 .具體的解題策略有：對特殊元素進行優(yōu)先安排；理解題意后進行合理和準確分類,分類后要

7、驗證是否不重不漏；對于抽出局部元素進行排列的問題一般是先選后排,以防出現(xiàn)重復；對于元素相鄰的條件,采取捆綁法；對于元素間隔排列的問題,采取插空法或隔板法；順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉(zhuǎn)化為直排問題處理；對于正面考慮太復雜的問題,可以考慮反面.對于一些排列數(shù)與組合數(shù)的問題,需要構(gòu)造模型.的岷?典例分析直接法(優(yōu)先考慮特殊元素特殊位置,特殊元素法,特殊位置法,直接分類討論)【例1】從5名外語系大學生中選派4名同學參加廣州亞運會譯、交通、禮儀三項義工活動,要求譯有2人參加,交通和禮儀各有1人參加,那么不同的選派方法共有.【例2】北京?財富?全球論壇期間,某高校有14名志愿者參加接待工作

8、.假設每天排早、中、晚三班,每班4人,每人每天最多值一班,那么開幕式當天不同的排班種數(shù)為A.c14C2c8B.C12A42A4C.1244C14C12C8a3D.C12C42c8A3【例3】在平面直角坐標系中,x軸正半軸上有5個點,y軸正半軸有3個點,將x軸上這5個點和y軸上這3個點連成15條線段,這15條線段在第一象限內(nèi)的交點最多有()A.30個B.35個C.20個D.15個【例4】一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球,6個不同的白球,從中任取4個球,紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？假設取一個紅球記2分,取一個白球記1分,從中任取5個球,使總分不少于7分的取法有多少種？【例5】一個口袋內(nèi)裝有大小相

9、同的7個白球和1個黑球.從口袋內(nèi)取出3個球,共有多少種取法？從口袋內(nèi)取出3個球,使其中含有1個黑球,有多少種取法？從口袋內(nèi)取出3個球,使其中不含黑球,有多少種取法?【例6】有12名劃船運發(fā)動,其中3人只會劃左舷,4人只會劃右舷,其余5人既會劃左舷也會劃右舷.從這12名運發(fā)動中選出6人平均分在左、右舷劃船參加比賽,有多少種不同的選法？【例7】假設xA,那么1A,就稱A是伙伴關系集合,集合M1,0,12,3,4的x32所有非空子集中,具有伙伴關系的集合的個數(shù)為A.15B.16C.28D.25【例8】從6名女生,4名男生中,按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學生組成課外小組,那么不同的抽取方法種數(shù)為.

10、a.c3c2B. C2C3C. C50D. A3A2【例9】某城市街道呈棋盤形,南北向大街北角,路程最短的走法有多少種.3條,東西向大街4條,一人欲從西南角走到東【例10】某幢樓從二樓到三樓的樓梯共11級,上樓可以一步上一級,也可以一步上兩級,假設規(guī)定從二樓到三樓用7步走完,那么上樓梯的方法有種.【例11】亞、歐乒乓球?qū)官?各隊均有5名隊員,按事先排好的順序參加擂臺賽,雙方先由1號隊員比賽,負者淘汰,勝者再與負方2號隊員比賽,直到一方全被淘汰為止,另一方獲勝,形成一種比賽過程.那么所有可能出現(xiàn)的比賽過程有多少種？.板塊七.排列組合問題的常用方法總結(jié)1.題庫好學宮智【例12】設含有10個元素的

11、集合的全部子集數(shù)為S,其中由3個元素組成的子集數(shù)為T,那么T的值為SA20A.128B.生128C.12821D.128【例13】設坐標平面內(nèi)有一個質(zhì)點從原點出發(fā),沿x軸跳動,每次向正方向或負方向跳動一個單位,經(jīng)過5次跳動質(zhì)點落在點1,0允許重復過此點處,那么質(zhì)點不同的運動方法種數(shù)為.【例14】從10名男同學,6名女同學中選3名參加體能測試,那么選到的3名同學中既有男同學又有女同學的不同選法共有種用數(shù)字作答【例15在AOB的邊OA上有Ai,小,色,A4四點,OB邊上有Bi,B2,B3,B4,B5共9個點,連結(jié)線段ABj1wiw4,1wj<5,如果其中兩條線段不相交,那么稱之為一對“和睦線

12、,和睦線的對數(shù)共有：A.60B.80C.120D.160【例16】從7名男生5名女生中,選出5人,分別求符合以下條件的選法種數(shù)有多少種？A、B必須中選；A、B都不中選；A、B不全中選；4至少有2名女生中選；選出5名同學,讓他們分別擔任體育委員、文娛委員等5種不同工作,但體育委員由男生擔任,文娛委員由女生擔任.【例17】甲組有5名男同學,3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學.假設從甲、乙兩組中各選出2名同學,那么選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有A.150種B.180種C.300種D.345種【例18】從10名大學畢業(yè)生中選3人擔任村長助理,那么甲、乙至少有1人入選,而丙沒有入選的不同

13、選法的種數(shù)為A.85B.56C.49D.28【例19】4人參加某次社區(qū)效勞,如果要求至少有1某班級要從4名男生、2名女生中選派名女生,那么不同的選派方案種數(shù)為A.14B.24C.28D.48【例20】要從10個人中選出4個人去參加某項活動,其中甲乙必須同時參加或者同時不參力口,問共有多少種不同的選法？【例21】有四個停車位,停放四輛不同的車,有幾種不同的停法？假設其中的一輛車必須停放在兩邊的停車位上,共有多少種不同的停法？【例22】某班5位同學參加周一到周五的值日,每天安排一名學生,其中學生甲只能安排到周一或周二,學生乙不能安排在周五,那么他們不同的值日安排有A.288種B.72種C.42種D

14、.36種【例23】某班有30名男生,30名女生,現(xiàn)要從中選出5人組成一個宣傳小組,其中男、女學生均不少于2人的選法為221A. C30C20C46C.c5.C30c20C30c20B. C50C30C20D-C30c20C30c20【例24】用1,2,3,4,5,6這6個數(shù)字組成無重復的四位數(shù),試求滿足以下條件的四位數(shù)各有多少個數(shù)字1不排在個位和千位數(shù)字1不在個位,數(shù)字6不在千位.【例25】甲、乙、丙、丁、戊5名學生進行講笑話比賽,決出了第一到第五的名次,甲、乙兩名參賽者去詢問成績,答復者對甲說：“很遺憾,你和乙都未拿到冠軍,對乙說:“你當然不會是最差的.從這個答復分析,5人的名次排列共有用數(shù)

15、字作答種不同情況.【例26】某高校外語系有8名奧運會志愿者,其中有5名男生,3名女生,現(xiàn)從中選3人參加某項好運北京測試賽的譯工作,假設要求這3人中既有男生,又有女生,那么不同的選法共有A.45種B.56種C.90種D.120種【例27】用5,6,7,8,9組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù),其中恰好有一個奇數(shù)夾在兩個偶數(shù)之間的五位數(shù)的個數(shù)為A.120B.72C.48D.36【例28】某電視臺連續(xù)播放5個不同的廣告,其中有3個不同的商業(yè)廣告和2個不同的奧運宣傳廣告,要求最后播放的必須是奧運宣傳廣告,且兩個奧運宣傳廣告不能連續(xù)播放,那么不同的播放方式有A.120種B.48種C.36種D.18種【例29】從6

16、人中選4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽,要求每個城市有一人游覽,每人只游覽一個城市,且這6人中,甲、乙兩人不去巴黎游覽,那么不同的選擇方案共有種用數(shù)字作答.【例30】從4名男生和3名女生中選出3人,分別從事三項不同的工作,假設這3人中至少有1名女生,那么選派方案共有A.108種B.186種C.216種D.270種【例31】甲組有5名男同學,3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學.假設從甲、乙兩組中各選出2名同學,那么選出的4人中恰有1名女同學的不同選法共有A.150種B.180種C.300種D.345種【例32】將4名大學生分配到3個鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當村官,每個鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,那么不同的分

17、配方案有種用數(shù)字作答【例33】用數(shù)字1,2,3,4,5可以組成沒有重復數(shù)字,并且比20000大的五位偶數(shù)共有A.48個B.36個C.24個D.18個【例34】一生產(chǎn)過程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序,第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人,第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人,那么不同的安排方案共有()A.24種B.36種C.48種D.72種【例35】2位男生和3位女生共5位同學站成一排.假設男生甲不站兩端,3位女生中有且只有兩位女生相鄰,那么不同排法的種數(shù)為()A.36B.42C.48D.60【例36】從6名女生,4名男生中,按性別

18、采用分層抽樣的方法抽取那么不同的抽取方法種數(shù)為.a.c3c2B. C2C3C. C505名學生組成課外小組,D. A3A2【例37】7名志愿者中安排6人在周六、周日兩天參加社區(qū)公益活動.假設每天安排3人,那么不同的安排方案共有種(用數(shù)字作答).【例38】給定集合An1,2,3,L,n,映射f:AnA滿足：當i,jA,ij時,f(i)f(j)；任取mAn,假設m>2,那么有mf(1),f(2),L,f(m).那么稱映射f:AnAn是一個優(yōu)映射.例如：用表1表示的映射f:AA3是一個優(yōu)映射表1表2If(i)I1234f(I)3表2表示的映射f:兒A4是一個優(yōu)映射,請把表2補充完整只需填出一個

19、滿足條件的映射；假設映射f:A0A.是優(yōu)映射,且方程fII的解恰有6個,那么這樣的優(yōu)映射的個數(shù)是.I1234f(I)2314【例39】將7個不同的小球全部放入編號為2和3的兩個小盒子里,使得每個盒子里的球的個數(shù)不小于盒子的編號,那么不同的放球方法共有種.【例40】將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里,使得放入每個盒子里的球的個數(shù)不小于該盒子的編號,那么不同的放球方法有A.10種B.20種C.36種D.52種【例41】一個口袋內(nèi)有4個不同的紅球,6個不同的白球,從中任取4個球,紅球的個數(shù)不比白球少的取法有多少種？假設取一個紅球記2分,取一個白球記1分,從中任取5個球,使總分不少

20、于7分的取法有多少種？【例42正整數(shù)aia2LanLa2n2a2ni(nN,n1)稱為凹數(shù),如果aia2Lan,且a2n1a2n2Lan,其中ai0,1,2,L,9(i1,2,L),請答復三位凹數(shù)ala2a3(ala3)共有個(用數(shù)字作答).【例43】2021年廣州亞運會組委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五名志愿者中選派四人分別從事譯、導游、禮儀、司機四項不同工作,假設其中小張和小趙只能從事前兩項工作,其余三人均能從事這四項工作,那么不同的選派方案共有A.36種B.12種C.18種D.48種【例44】某地奧運火炬接力傳遞路線共分6段,傳遞活動分別由6名火炬手完成.如果第一棒火炬手只能從甲、

21、乙、丙三人中產(chǎn)生,最后一棒火炬手只能從甲、乙兩人中產(chǎn)生,那么不同的傳遞方案共有種.用數(shù)字作答【例45】某人手中有5張撲克牌,其中2張為不同花色的2,3張為不同花色的A,有5次出牌時機,每次只能出一種點數(shù)的牌但張數(shù)不限,此人有多少種不同的出牌方法？【例46】從7人中選派5人到10個不同交通崗的5個中參加交通協(xié)管工作,那么不同的選派方法有A.C7A10A5種B.A7C10P5種C.C10C7種D.C7A10【例47】12名同學分別到三個不同的路口進行車流量的調(diào)查,假設每個路口4人,那么不同的分配方案共有444A.C：2C：c4種B,3c：2C4c4種C.C：2C：a3種D,C12c8c4種A3【例

22、48】袋中裝有分別編號為1,2,3,4的4個白球和4個黑球,從中取出3個球,那么取出球的編號互不相同的取法有A.24種28種C.32種36種.【例49】現(xiàn)有男、女學生共8人,從男生中選2人,從女生中選1人分別參加數(shù)學、物理、化學三科競賽,共有90種不同方案,那么男、女生人數(shù)分別是A.男生2人,女生6人B.男生3人,女生5人C.男生5人,女生3人D.男生6人,女生2人.【例50】將4個小球任意放入3個不同的盒子中,假設4個小球各不相同,共有多少種放法？假設要求每個盒子都不空,且4個小球完全相同,共有多少種不同的放法?假設要求每個盒子都不空,且4個小球互不相同,共有多少種不同的放法?【例51】將7

23、個小球任意放入4個不同的盒子中,每個盒子都不空,假設7個小球完全相同,共有多少種不同的放法？假設7個小球互不相同,共有多少種不同的放法？【例52】四個不同的小球,每球放入編號為1、2、3、4的四個盒子中.隨便放可以有空盒,但球必須都放入盒中有多少種放法？四個盒都不空的放法有多少種？恰有一個空盒的放法有多少種？恰有兩個空盒的放法有多少種？甲球所放盒的編號總小于乙球所放盒的編號的放法有多少種？【例53】設坐標平面內(nèi)有一個質(zhì)點從原點出發(fā),沿x軸跳動,每次向正方向或負方向跳1個單位,假設經(jīng)過5次跳動質(zhì)點落在點3,0處(允許重復過此點),那么質(zhì)點不同的運動方法共種；假設經(jīng)過m次跳動質(zhì)點落在點n,0處(允

24、許重復過此點),其中m>n,且mn為偶數(shù),那么質(zhì)點不同的運動方法共有種.【例54】設集合I1,2,3,4,5,選才iI的兩個非空子集A和B,要使B中最小的數(shù)大于A中最大的數(shù),那么不同的選擇方法共有()A.50種B.49種C.48種D.47種【例55】f是集合M1,2,3,4到集合N1,2,3的映射,g是集合N到集合M的映射,那么不同的映射f的個數(shù)是多少？g有多少？滿足f(a)f(b)f(c)f(d)8的映射f有多少？滿足fg(x)x的映射對(f,g)有多少？【例56】排球單循壞賽,勝者得1分,負者0分,南方球隊比北方球隊多9支,南方球隊總得分是北方球隊的9倍,設北方的球隊數(shù)為x.試求北方

25、球隊的總得分以及北方球隊之間比賽的總得分；證實：x6或x8;證實：冠軍是一支南方球隊.【例57】集合A1,2,3,4,函數(shù)fx的定義域、值域都是A,且對于任意iA,fii.設ai,a2,a3,a4是1,2,3,4的任意的一個排列,定義數(shù)表為a2a3a4f(q)f(a2)f(a3)g,假設兩個數(shù)表的對應位置上至少有一個數(shù)不同,就說這是兩張不同的數(shù)表,那么滿足條件的不同的數(shù)表的張數(shù)為A.216B.108C.48D.24間接法直接求解類別比擬大時【例58】有五張卡片,它的正反面分別寫0與1,2與3,4與5,6與7,8與9,將它們?nèi)我馊龔埐⑴欧旁谝黄鸾M成三位數(shù),共可組成多少個不同的三位數(shù)？【例59】從

26、0,2,4中取一個數(shù)字,從1,3,5中取兩個數(shù)字,組成無重復數(shù)字的三位數(shù),那么所有不同的三位數(shù)的個數(shù)是A.36B.48C.52D.54【例60】以三棱柱的頂點為頂點共可組成個不同的三棱錐.【例61】設集合S1,2,3,L,9,集合Aai,a2,a3是S的子集,且a-a2,a3滿足aia2a3,a3a2w6,那么滿足條件的子集A的個數(shù)為A.78B.76C.84D.83【例62】將甲、乙、丙、丁四名學生分到三個不同的班,每個班至少分到一名學生,且甲、乙兩名學生不能分到同一個班,那么不同分法的種數(shù)為A.18B.24C.30D.36【例63】某高校外語系有8名奧運會志愿者,其中有5名男生,3名女生,現(xiàn)

27、從中選3人參加某項好運北京測試賽的譯工作,假設要求這3人中既有男生,又有女生,那么不同的選法共有A.45種B.56種C.90種D.120種【例64】對于各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組i1,i2,inn是不小于2的正整數(shù),如果在pq時有ipiq,那么稱“ip與iq是該數(shù)組的一個“順序,一個數(shù)組中所有“順序的個數(shù)稱為此數(shù)組的“順序數(shù).例如,數(shù)組2,4,3,1中有順序“2,4,“2,3,其“順序數(shù)等于2.假設各數(shù)互不相等的正數(shù)數(shù)組a1,a2,a3,a4,a§的“順序數(shù)是4,那么為,a,a3,a2,Q的“順序數(shù)是.【例65】集合A5,B1,2,C1,3,4,從這三個集合中各取一個元素構(gòu)成空間直角坐標系中點的坐標,那么確定的不同點的個數(shù)為A.33B.34C.35D.36【例66】甲、乙、丙3人站到共有7級的臺階上,假設每級臺階最多站2人,同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置,那么不同的站法種數(shù)是用數(shù)字作答.【例67】設有編號為1,2,3,4,5的五個球和編號為1,2,3,4,5的五個盒子,現(xiàn)將這五個球放入5個盒子內(nèi),只有一個盒子空著,共有多少種投放方法？沒有一個盒子空著,但球的編號與盒子編號不全相同,有多少種投放方法？每個盒子內(nèi)投放一球,并且至少有兩個球的編號與盒子編號是相同的,有多少種投放方法？【例68】在排成44的方陣的