導(dǎo)數(shù)難題(含問題詳解)

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文檔、單選題1 .已知可導(dǎo)函數(shù) f(x )的導(dǎo)函數(shù)為f'(x), f (0)=2018,若對(duì)任意的xw R,都有f (x)> f'(x>則不等式f (x )<2018ex的解集為()A. 0,二 B.1I 2,二eC.D二,02.定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且當(dāng)x>0,xfX )+2f (x )< 0 .則()A.f e f -3B. 9f 3 f 1 C. :二D.9 ef e J -2)為定義在(0,y )上的可導(dǎo)函數(shù)，且f(x)>xf'(x )恒成立，則不等式x2fIx的解集為(A. 1,二B

2、. -二,1 C. 2,二 D. -二,2文案大全二、解答題4.已知函數(shù)f x - -ax2 lnx a R .(1)討論f (x)的單調(diào)性;(2)若存在xw(1,+g ) f (x)Aa,求a的取值范圍.5.設(shè)函數(shù) f (x )= 一x2 +ax + 2(x2 -x )lnx .(1)當(dāng)a = 2時(shí)，討論函數(shù)f (x )的單調(diào)性；(2)若xw (0,")時(shí)，f(x)0恒成立，求整數(shù) a的最小值.1 a6 .已知函數(shù) f (x )= xalnx, g (x )= (a=R).x若a=1,求函數(shù)f (x )的極值；設(shè)函數(shù)h(x )= f (x )g (x ),求函數(shù)h(x)的單調(diào)區(qū)間；

3、若在區(qū)間1,e(e =2.71828)上不存在x0,使得f (% )<g(%)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍7 .已知函數(shù) f (x)= (x a)lnx, a w R .(1)當(dāng)a =0時(shí)，求函數(shù)f(x)的極小值；(2)若函數(shù)f (x )在(0,+=c U為增函數(shù),求a的取值范圍8-已知函數(shù) f (x ) = (x2 ax a )ex.(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2)若aw (0,2),對(duì)于任意xi,x2 w 4,0，都有f (x1 )-f (x2 k 4e+mea恒成立，求m的取值范圍參考答1. A丘人f xf x ，一 f x【解析】令 g x =, g x =x ： 0, g 0

4、=2018ee一，,_x f x 一一因此 f (x )<2018e = <2018= g(x，g(0A x)0,選 A. e點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性，而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造f x輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行：如f(x)<f(x)構(gòu)造g ( x)=三, f(x)+f(x)<0構(gòu)造 ex,f x.3g(x)=e f( x， xf (x )< f (x)構(gòu)造 g (x )=, xf (x )+f (x )<0 構(gòu)造 g(x)= xf (x)等2. D【解析】根據(jù)題意，設(shè) g (x) =x2f (x),其導(dǎo)數(shù) g'

5、(x)= (x2)' f (x)+x2?f (x) =2xf (x)+x2? f (x) =x2f (x)+xf(x),又由當(dāng) x>0 時(shí)，有 2f(x) +xf(x)<0 成立，則數(shù) g' (x) =x2f (x)+xf(x)<0 ,則函數(shù)g (x)在(0, +8)上為減函數(shù)，若 g (x) =x2f (x),且 f (x)為偶函數(shù)，則 g (-x) = (-x ) 2f (-x) =x2f (x) =g (x),因?yàn)閒(x)為偶函數(shù),所以f(-2)=f(2),即g (x)為偶函數(shù)，所以 g(e)<g(2)即Ue-)<4所以f-A :二丫4 e故

6、選D點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，涉及函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù) (x)并分析g (x)的單調(diào)性與奇偶性.3. A丘上L 人f x.xf x - f x【解析】令g (x)= 1則g (x)= I J xxf x i > xf x xf x 廣 f (x )<0 ,即 g<x) =xf x - f x<0在(0,2 )上恒成立 g(x心(0," )上單調(diào)遞減- x2 f 1 - f x 0 xf x,即g xx1, , 一 < X ,即 x A1 X故選A點(diǎn)睛：本題首先需結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性

7、，再由函數(shù)的單調(diào)性和 函數(shù)值的大小關(guān)系，判斷自變量的大小關(guān)系.4. (1) f (X 座'o,- i上遞增，在 1, -He 上遞減.；(2) f-oo,-叵 JI 2)【解析】試題分析：(1)對(duì)函數(shù)f (x)求導(dǎo)，再根據(jù)a分類討論，即可求出f (x )的單調(diào)性；(2)將fx )>a 化簡(jiǎn)得a(x2 1 )lnx <0 ,再根據(jù)定義域 x三(1,收)，對(duì)a分類討論，a E0時(shí)，滿足題意，a>0時(shí), 構(gòu)造g (x ) = a(x2-1 )-lnx ,求出g(x)的單調(diào)性，可得 g(x)的最大值，即可求出 a的取值范圍.、.11 -2ax2試題解析：(1) f'(

8、x)=2a+=,x x當(dāng)a E0時(shí)，f '(x)>0,所以f (x向(0,+=c)上遞增，,一. 一 1當(dāng) a >0 時(shí)，令 f (x) = 0,得 x = =,，2a11令 f (X)A0,得 xW 10,- I；令 f (X)<0 ,得 xW 1,y I, 2a. 2a所以f(x近b,二上遞增，在二，2上遞減.I 的 J(2)由 f (x )>-a,得 a(x2 -1 )-lnx <0 ,因?yàn)?x (1,y ),所以lnx，：；0,x2 1)0 ,22ax2 -1 八>0,x當(dāng)a E0時(shí)，a(x2 1 )lnx <0滿足題意，12.&quo

9、t;,時(shí)'設(shè)g(x)=a(x -)加心四二 所以g(x/(1,收 讓遞增，所以g(x )>g(1 )=0 ,不合題意,令 g'(x)<0,得1 一一 1.<a <一時(shí)，令 g x >0,得 x= ，依2. 2a所以g(X)max=g； >g =0'則 5X£(1+a°),g(x)<0,a的取值范圍是綜上,點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的單調(diào)性及恒成立問題，涉及函數(shù)不等式的證明，綜合性強(qiáng)，難度大，屬于難題.處理導(dǎo)數(shù)大題時(shí)，注意分層得分的原則.一般涉及求函數(shù)單調(diào)性時(shí)，比較容易入手，求導(dǎo)后注意分類討論， 對(duì)于恒成立問題一般要分

10、離參數(shù)，然后利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值或最小值，對(duì)于含有不等式的函數(shù)問題，一般要構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來解決，但涉及技巧比較多，需要多加體會(huì)5. (1) f (X)遞增區(qū)間為(0, 1), (1, +8),遞減區(qū)間為(1, 1); (2)1.22【解析】試題分析：(1)求出函數(shù)f (x)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；(2)問題轉(zhuǎn)化為a>x-2 (x-1 ) lnx恒成立，令g (x) =x-2 (x-1 ) Inx ,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 a的最小 值即可.試題解析：(1)由題意可得f (x)的定義域?yàn)?0, +8),當(dāng) a=2 時(shí)，f (x) = - x2+

11、2x+2 (x2-x) lnx , 百所以 f ' ( x) = - 2x+2+2 (2x - 1) lnx+2 (x2 - x) ?工=(4x - 2) lnx ,由 f (x) >0 可得：(4x-2) lnx >0,r 4x-2>0 /4量-2<0所以或|.1門寞<0 ,1解得x> 1或0V xv工；由 f (x) V0 可得：(4x-2) lnx <0,C 4x-2>0 &2<0所以或1門及。，工解得：2 <x< 1.綜上可知：f (x)遞增區(qū)間為(0,工)，(1, +°°),遞減區(qū)間

12、為(2，1).(2)若乂6(0, +8)時(shí)，f (x) >0 恒成立，即 a>x-2 (x- 1) lnx 恒成立，令 g (x) =x - 2 (x T) lnx ,貝U a>g (x) max.I a-11g因?yàn)?g' ( x) =1 2 (lnx+ £ ) = 2lnx 1+支，所以 g' (x)在(0, +8)上是減函數(shù)，且 g' (1) > 0, g' (2) <0,故存在x°C(1,2)使得g(x)在(0,x°)上為增函數(shù)，在(xc,+8)上是減函數(shù)，x=x0 時(shí)，g (x) max=g (

13、 x0) 0,，a>0,又因?yàn)?aCZ,所以 amin=1.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：(1)根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；(2)若f (x )>0就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 f (x)min >0 ,若f (x )<0恒成立，轉(zhuǎn)化為f (x"ax <0;(3)若 f (x)>g(x )恒成立，可轉(zhuǎn)化為 f (xmin )>g(xmax.e2 16. (1)極小值為 f (1 ) = 1 ; (2)見解析(3) -2 < a < e一1e -1【解析】試題分析：(1)先

14、求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定極值(2)先求導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，討論1+a與零大小，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)確定函數(shù)單調(diào)性(3)正難則反，先求存在一點(diǎn) x0,使得f (Xo )<g(Xo )成立時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍，由存在性問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題，結(jié)合(2)單調(diào)性可得實(shí)數(shù)a的取值范圍，最后取補(bǔ)集得結(jié)果x -1試題斛析：斛：(I)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=x lnx= f'(x)=:>0= x >1,列極值分布表xx 1 )x - 1a2x二. f (x )在(0,1 )上遞減，在(1 +8)上遞增，f (x )的極小值為f (1 )=1；1 a(II ) h(x

15、) = x-alnx+x當(dāng) a w1 時(shí)，h'(x )>01 h(x)在(0,+9)上遞增;當(dāng) a >1 時(shí)，h'(x )>03 x >1 +a , h(x/(0,1+a)上遞減，在(1 + a,收)上遞增；(III )先解區(qū)間1,e 上存在一點(diǎn) 刈，使得f (x0 )<g(x0 )成立u h(x)=f(x)g(x)<0 在 1,e】上有解 u 當(dāng) xw 1,e】時(shí)，h(x)min <0由(II )知當(dāng) a w1 時(shí)，h(x)在1,e上遞增，: hmin =h(1 ) = 2 + a<0= a<-2，a<2當(dāng)a>

16、1時(shí)，h(x )在(0,1 + a)上遞減，在(1+a, )上遞增當(dāng)-1 <a E0 時(shí)，h(x )在 1,e上遞增，hmin =h(1 )=2+a<0= a <-2 - a 無解當(dāng)a主e1時(shí)，h(x )在1,e】上遞減.1 a 八 e2 1e2 1hmin =h(e)=ea+0口 a), - a >ee -1e -1當(dāng)0<a<e1時(shí)，h(x )在1,1+a】上遞減，在(1 + a,e)上遞增hmin =h 1 a =2 a - aln 1 a21二-：二 0a 1 a2 a - aln 1a 2令 F(a 尸2 2+1In (1+a),則 F'(a

17、 尸2二 F(a )在(0,e-1 速減，, F(a)>F(e 1 尸>0 ,二 F(a)<0無解, e-1即 hmin =2 + aaln(1+a)<0無解;綜上：存在一點(diǎn)x0,使得f (x0 )<g(x0 )成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為：a<-2或所以不存在一點(diǎn)xo,使得f (xo )< g(Xo )成立，實(shí)數(shù)a的取值范圍為爐一】.點(diǎn)睛：函數(shù)單調(diào)性問題，往往轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)符號(hào)是否變號(hào)或怎樣變號(hào)問題，即轉(zhuǎn)化為方程或不等式解的 問題(有解，恒成立，無解等)，而不等式有解或恒成立問題，又可通過適當(dāng)?shù)淖兞糠蛛x轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù) 最值問題.1 ,、17. (D (2)

18、 I 0°, 2 e . e【解析】試題分析：(1)當(dāng)a=0時(shí)，得出函數(shù)的解析式，求導(dǎo)數(shù)，令f'(x) = 0,解出x的值，利用導(dǎo)數(shù)值的正負(fù)來求其單調(diào)區(qū)間進(jìn)而求得極小值；(2)求出f'(x),由于函數(shù)f(x )在(0,收 押增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為 f'(x)之0對(duì)任意xw(0,y)恒成立，分類參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù) g(x)=xlnx + x的最小值，即可求實(shí)數(shù) a的取值范圍.試題解析：(1)定義域?yàn)?0,收當(dāng) a=0時(shí)，f (x )=xlnx , f'(x)=lnx+1.一，r1令 f'(x) = 0,得 x=，. ef (x)為減函數(shù);當(dāng) x w ：0,l

19、 I時(shí)，f '(x )<0 , ,ef '(x )>0 ,f (x )為增函數(shù).所以函數(shù)f (x )的極小值是f ' - 1= -1.e e(2)由已知得f '(x )=lnx+工 . x因?yàn)楹瘮?shù)f(x )在(0,2 促增函數(shù)，所以f'(x)20對(duì)任意xW (0,2)恒成立，x - a由f (乂)之0得m*+>0 ,即xlnx + x2a對(duì)任意的x= (0,)恒成立.x設(shè)g (x ) = xlnx +x ,要使“ xlnx +x至a對(duì)任意x (0,)恒成立"，只要a工g(x )min.1因?yàn)?g (x) = lnx+2,令 g

20、 (x ) = 0,得 x=7. et 1 1 K -，-當(dāng) x.0w 時(shí)，g'(x)<0, g(x)為減函數(shù)；I e Jg'(x)>0, g(x)為增函數(shù).所以g(X)的最小值是g匚21= _J2.e e故函數(shù)f(x用(0,+oc9增函數(shù)時(shí)，實(shí)數(shù) a的取值范圍是/_笛,_J21e點(diǎn)睛：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，解答中涉及到利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值與最值等知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，這屬于教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，應(yīng)熟練掌握，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題，解答中把函數(shù)f(X )在(0,+B)是增函數(shù)，所以f'(XQ0對(duì)任意XJ0,")恒成立是解答的關(guān)鍵.1，e28. (1)見解析；(2) m >.3e【解析】試題分析：(1)求出f '(X),分三種情況討論，分別令f'(X)A0求得X的范圍，可得函數(shù)f(x)增區(qū)間，f'(X)<0