2018年高考全國一卷理科數(shù)學(xué)答案及解析

1、2018 年普通高等學(xué)招生全國統(tǒng)一考試（全國一卷）理科數(shù)學(xué)參考答案與解析一、選擇題：本題有12 小題，每小題5 分，共 60 分。1、設(shè)z=，則 |z|=A、 0B、C、 1D、【答案】C【解析】由題可得z （- i ） 2i i ，所以 |z|=1【考點(diǎn)定位】復(fù)數(shù)2、已知集合A=x|x 2-x-2>0 ，則A=A、 x|-1<x<2B、 x|-1 x 2C、 x|x<-1 x|x>2D、 x|x-1 x|x2【答案】B【解析】由題可得CRA=x|x 2-x-2 0，所以 x|-1 x 2【考點(diǎn)定位】集合3、某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)

2、現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是：A、新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少。B、新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上。C、新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍。D、新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半?！窘馕觥坑深}可得新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入37%*200%=74%>60， %【考點(diǎn)定位】簡(jiǎn)單統(tǒng)計(jì)4、記Sn為等差數(shù)列an的前n 項(xiàng)和，若3S3=S2+S4， a1=2，則a5=A、 -12B、 -10C、 10D、 12【答案】B【解析】3*（a1+a1+d+a1+2d）=（

3、a1+a1+d） （a1+a1+d+a1+2d+a1+3d） ，整理得:2d+3a1=0 ; d=-3 a5=2+（5-1）*（-3）=-10【考點(diǎn)定位】等差數(shù)列求和5、設(shè)函數(shù)f （ x） =x3+（a-1）x 2+ax，若f （ x）為奇函數(shù)，則曲線y=f （ x）在點(diǎn)（0， 0）處的切線方程為：A、 y=-2xB、 y=-xC、 y=2xD、 y=x【答案】D【解析】f（ x）為奇函數(shù)，有f（ x） +f（ -x） =0整理得 :f （ x） +f （ -x ） =2*（a-1）x 2=0 a=1f （ x） =x3+x求導(dǎo) f （ x） =3x2+1f （ 0 ） =1 所以選 D【考點(diǎn)

4、定位】函數(shù)性質(zhì)：奇偶性；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)6、在ABC中，AD為 BC邊上的中線，E 為 AD的中點(diǎn)，則=A、A11AD為 BC邊上的中線AD= AB AC22111E 為 AD的中點(diǎn)AE= AD AB AC2441131EB=AB-AE= AB -（ABAC）AB AC44447、某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如右圖，圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為11A，圓柱表面上的點(diǎn)N 在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為1【解析】將圓柱體的側(cè)面從A點(diǎn)展開：注意到B點(diǎn)在 圓周處。4AAB最短路徑的長(zhǎng)度為AB= 22 + 42:圓柱體的展開圖形，最短路徑8. 設(shè)

5、拋物線C： y2=4x 的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)(-2 ， 0)且斜率為的直線與C交于M， N兩點(diǎn)，則·=A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】拋物線C： y2=4x 的焦點(diǎn)為F(1,0)2直線MN的方程: y ( x2)3消去 x 整理得：y2-6y+8=0 y=2 或 y=4M、 N 的坐標(biāo)(1， 2) ， ( 4， 4)則·=(0,2) · (3,4)=0*3+2*4=8【考點(diǎn)定位】拋物線焦點(diǎn)向量的數(shù)量積如果消去，計(jì)算量會(huì)比較大一些，您不妨試試。9. 已知函數(shù)f(x)=g(x)=f(x)+x+a，若g(x)存在2 個(gè)零點(diǎn)，則a 的取值范圍是A. -1， 0)B.

6、 0 ， +)C. -1 ， +)D. 1 ， +)【答案】C【解析】根據(jù)題意：f(x)+x+a=0 有兩個(gè)解。令M(x)=-a,?+ ? ? 0N(x)=f(x)+x = ?+?+? ?> 00?+ 1 > 0? 0分段求導(dǎo)：N (x)=f(x)+x = 1說明分段是增函數(shù)?？紤]極限位置，圖形如下：+ 1 > 0?> 0M(x)=-a 在區(qū)間 (- ，+1上有 2個(gè)交點(diǎn)。 a 的取值范圍是C. -1 ， +)【考點(diǎn)定位】分段函數(shù)、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、分離參數(shù)法10. 下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為。直角三角形ABC的斜

7、邊BC，直角邊AB， AC. ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為，黑色部分記為，其余部分記為。在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自，的概率分別記為p1， p2， p3，則A. p1=p2B. p1=p3C. p2=p3D. p1=p2+p3A整個(gè)區(qū)域的面積：S 1+S半圓BC=S 半圓AB+S半圓AC+S ABC根據(jù)勾股定理，容易推出S 半圓BC=S 半圓AB+S 半圓AC S1=S ABC故選A【考點(diǎn)定位】古典概率、不規(guī)則圖形面積11. 已知雙曲線C：漸近線的交點(diǎn)分別為A.B.3-y 2=1， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn) 為 C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條M， N. 若OMN為直角三角形，則MN =C.D.4

8、【答案】B【解析】右焦點(diǎn) ,OF= 3 + 1=2，漸近線方程y=± 3xNOF= MOF =30°3在 Rt OMF中，OM=OF*co s MOF=2*cos=3°0在 Rt OMN中，MN=O?Mtan ?=? 3*tan(30【考點(diǎn)定位】雙曲線漸近線、焦點(diǎn)概念清晰了，秒殺！ 有時(shí)簡(jiǎn)單的 “解三角”計(jì)算量很大。3°+ 30°)=3也行， 甚至雙曲線都不用畫出來。如果用解方程，12. 已知正方體的棱長(zhǎng)為1 ，每條棱所在直線與平面 所成的角都相等，則 截此正方體所得截面面積的最大值為A.C.D.【答案】A【解析】GH=22如圖平面 截正方體所

9、得截面為正六邊形，此時(shí)，截面面積最大，其中邊長(zhǎng)截面面積S=6× 3 ×（2） 2=42截面3ABD交集為3， AC交集為34，選A二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13. 若 x， y 滿足約束條件則 z=3x+2y 的最大值為【答案】6z=3x+2y 經(jīng)過點(diǎn)（2， 0）時(shí)，Zmax=3*2+0=6n 項(xiàng)和 . 若 Sn=2an+1，則S6=.14. 記 Sn為數(shù)列an的前【答案】-63S1=2a1+1=a1 a1 =-1n>1 時(shí)，Sn=2an +1， Sn-1 =2an-1 +1 兩式相減：Sn-S n-1 =an=2an-2a n-1 an

10、=2an-1an=a1× 2n-1= ( -1 )×2n-1S6=( -1 )×( 2 -1 ) =-6315. 從 2 位女生，4 位男生中選3 人參加科技比賽，且至少有1 位女生入選，則不同的選法共有種 . （用數(shù)字填寫答案）【答案】16C21C42 + C22C14=2× 6+1× 4=16【考點(diǎn)定位】排列組合16. 已知函數(shù)f（ x） =2sinx+sin2x ，則f（ x）的最小值是.【答案】- 32 3 f( x) =2sinx+sin2x=2sinx+2sinxcosx=2sinx(1+cosx)考慮到 f （ x）為奇函數(shù)，可以

11、求f （ x）最大值. 將 f（ x）平方：f2( x) =4sin 2x(1+cosx) 2=4(1-cosx)(1+cosx)3=4/3(3-3cosx)(1+cosx)3 (4/3) × ( ( 3-3cosx )4 464 27+ 3(1+cosx)/4 )= 3 × ( 4 ) = 4當(dāng) 3-3cosx=1+cosx 即 cosx = 12時(shí)，f2（ x）取最大值f（ x） min= 2【考點(diǎn)定位】三角函數(shù)的極值，基本不等式的應(yīng)用【其他解法】：求導(dǎo)數(shù)解答f（ x） =2sinx（1+cosx） 看成單位圓中一個(gè)三角形面積求解。. 解答題：共 70 分。 解答應(yīng)寫出

12、文字說明、證明過程或演算步驟。第 17 21 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、 23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。60 分。17. （ 12分）AB=2， BD=5.在平面四邊形ABCD中，ADC=90°，A=45°，1）求cos ADB；2）若DC= ，求 BC.（ 1 ）在ABD中，由正弦定理得BDABsin ? sin ?2sin ADB=ABsin ADB/BD=5ADB<90°cos ?=?1 - 225= 2532（2）由題設(shè)及（1 ）可知cos BDC=s in AD=B5在BCD中，由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BD&#

13、215; DC× cos BDC2=25+8-2× 5×× 2=255BC=518. （ 12 分）如圖，四邊形ABCD為正方形，E， F 分別為AD， BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把 ?DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且 PF BF.（ 1）證明：平面PEF平面ABFD；（ 2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.【答案】【解析】 （ 1 ）由已知可得PF BF ， BF EF BF平面PEF又 BF在平面ABFD上平面PEF平面ABFD（2）PH EF，垂足為H，由（1 ）可得，PH平面ABFD DP與平面ABFD所成角就是PDH.CD2=PD2=DH

14、2 +PH2=DE2+EH2+PH2=DE2+（ EF-HF） 2 +PH2CF2=PF2=HF2+PH2設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為 2. 上面兩個(gè)等式即是：22=12+（ 2-HF） 2+PH212=HF2+PH2解方程得HF=1 PH= 32233在 Rt PHD中 ,sin PDH=PH/PD=/2= .【考點(diǎn)定位】立體幾何點(diǎn)、直線、面的關(guān)系19、 （ 12分）設(shè)橢圓C：+y2=1 的右焦點(diǎn)為F， 過 F 的直線 l 與 C交于A， B兩點(diǎn)，點(diǎn) M的坐標(biāo)為（2， 0） .（ 1）當(dāng)l 與 x 軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；（ 2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：OMA= OMB.【答案】【解析】 （

15、1 ）由已知可得F（ 1， 0） ，直線 l 的方程為x=1由已知可得,點(diǎn) A的坐標(biāo)為（1， 22）或（1， 22）直線AM的方程為y= 2 x+ 2或 y= 2 x 2（2）當(dāng) l 與 x 軸重合，. OMA= OM=B00當(dāng) l 與 x軸垂直，OM 為 AB的垂直平分線，所以 OMA= OMB當(dāng) l 與 x軸不重合且不垂直，設(shè)直線l 的方程為y=k（x-1） （k 0）點(diǎn) A（x1,y1）,B（x2,y2） ， x1<2,X2<2,則直線MA、 MB 的斜率之和?1?2?(?1?- 1) ?(?2?- 1) 2?1?2?- 3?1+ ?2? +4?KMA+KMB=?1- 2+?

16、2- 2= ?1?- 2 + ?2- 2 =(?1- 2)( ?2- 2)將 y=k(x-1) 代入橢圓C的方程得：( 2k2+1) x2-4k2x+(2k 2-2)=04?22?2- 2x1 +x2=2?2+1,x 1x2=2?2+14?3- 4?-12?3+8 ?3+4 ?2?1?2 - 3?1 + ?2 + 4?=2= 02?2+1從而KMA +KMB=0MA、 MB 的傾斜角互補(bǔ)， OMA= OMB綜上所述，OMA = OMB【考點(diǎn)定位】圓錐曲線20、 （ 12 分）某工廠的某、種、 產(chǎn)品成箱包裝，每箱 200 件， 每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合

17、格品，檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20 件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為P（ 0<P<1） ，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立。（ 1 ）記 20 件產(chǎn)品中恰有2 件不合格品的概率為f（ P） ， f（ P）求f（ P）的最大值點(diǎn)。（ 2）現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20 件，結(jié)果恰有2 件不合格品，以（1 ）中確定的作為 P 的值， 已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2 元， 若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付 25 元的賠償費(fèi)用。（ i ） 若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX：（ i

18、i ） 以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？【答案】【解析】 （ 1） f（P）=C220P2（1-P）18=811C220（9P）2（1-P）18811C220×（9P?2+（210-P）?18） 20=811C220×1902019 ×9 18當(dāng) 9P=1-P，即f（ P）的最大值點(diǎn)P0=0.1.f（ 0.1 ） =191×9019（2）令 Y表示余下的180 件產(chǎn)品中不合格品件數(shù)，依題意可知Y-B（180,0.1）,X=20*2+25Y=40+25Y EX=E（40+25Y）=40+25EY=490（ii）如

19、果開箱檢驗(yàn)，檢驗(yàn)費(fèi)=200*2=400 元EX>400,應(yīng)該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)。、數(shù)學(xué)期望【考點(diǎn)定位】隨機(jī)變量及分布：二項(xiàng)分布最值（基本不等式）21、 （ 12 分）已知函數(shù).（ 1 ）討論的單調(diào)性；（ 2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn), 證明：.【答案】【解析】 （ 1 ） f（ x）的定義域?yàn)椋?， +）1? ?2-?+1（ x）=- ?2 - 1 + ? -?22 =a -4（i） 若 a 2, 則 f （x）0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2,x=1 時(shí) f （x）=0，f（x）在（0，+）單調(diào)遞減。?± ?2- 4?=2?- ? 2- 4 x(0，?- ?2? - 4)(?+ ?2- 4

20、+）時(shí)，f ( x) <0x(?- ?2- 42?+ ?2- 42)時(shí)，f( x) >0（1） 若 a>2, 令 f （ x） =0得到，?- ?2- 4?+ ?2- 4?- ?2- 4 ?+ ?2- 4f(x)在x(0，?- ?2?-4) ,(?+ ?2?-4，+) 單調(diào)遞減,在(?- ?2?-4,?+?2?- 4)單調(diào)遞增。(2)由 (1)可得f(x)存在2 個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)a>2由于f(x)的極值點(diǎn)x1,x2 滿足 x2-ax+1=0 所以 x1x2=1 不妨設(shè)x1<x2,則x2>1 由于f x1 - f(x2 )x1 - x2?1?-? ?2?1?-

21、? ?2?- 2?2?- 1 + ?= - 2 + ?= - 2 + ?x1x2 -x1 - x2 -x1 - x2 -1/x2 - x2在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C?的方程為y=k x +2. 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C?的極坐標(biāo)方程為p2+2p-3=0.（ 1） 求C?的直角坐標(biāo)方程:（ 2） 若C?與C?有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C?的方程.【答案】【解析】 （ 1 ）由x=cos ,y=sin 得到C?的直角坐標(biāo)方程：x2+y2 +2x-3=0即 （x+1） 2+y2=4（2）由（1）可知C2是圓心為A（ -1,0） ，半徑為2 的圓。由題設(shè)可知，C1 是過點(diǎn)B（ 0， 2）且關(guān)于Y軸對(duì)稱的兩條射線，且?+? 2 ?> 0 C1： =1-?+ 2? 0顯然， K=0時(shí)， C1與C2相切，只有一個(gè)交點(diǎn)。K>0 時(shí)，C1 與C2沒有交點(diǎn)。 C1 與 C2有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，則必須滿足K<0且 y=kx+2（x&g