關(guān)于正弦定理的第一個課時

1、關(guān)于正弦定理的第一個課時 衡東五中 羅江英1 教材解析正弦定理、余弦定理是關(guān)于任意三角形邊角之間關(guān)系的兩個重要定理.在初中，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過一些關(guān)于三角形邊角關(guān)系的定理，如大邊對大角，直角三角形中的邊角關(guān)系等.在學(xué)過任意角的三角函數(shù)的基礎(chǔ)上，利用向量工具推導(dǎo)出這個定理，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.利用這兩個定理可以解決測量、工業(yè)、幾何等方面的實際問題，同時這兩個定理也是反映如何利用代數(shù)方法解決幾何問題的典型內(nèi)容之一.通過本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，既可以提高學(xué)生解決實際問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時也可以向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)的一些基本數(shù)學(xué)思想方法.2 設(shè)計理念 長期以來，我們的課堂教學(xué)太過于重視結(jié)論， 輕視過程.

2、為了應(yīng)付考試，為了使對公式定理應(yīng)用達(dá)到所謂的“熟能生巧”，教學(xué)中不惜花大量的時間采用題海戰(zhàn)術(shù)進(jìn)行強(qiáng)化.在數(shù)學(xué)概念公式的教學(xué)中往往采用的所謂“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來把學(xué)生強(qiáng)化為只會套用公式的解題機(jī)器，這樣的學(xué)生面對新問題就會束手無策.數(shù)學(xué)是思維的體操，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力及創(chuàng)造能力的載體.新課程倡導(dǎo)：強(qiáng)調(diào)過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新知的體驗，不能再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，必須讓學(xué)生追求過程的體驗.基于以上認(rèn)識，在設(shè)計本節(jié)課時，教師本人所考慮的不是簡單地告訴學(xué)生正弦定理的內(nèi)容，而是創(chuàng)設(shè)一些數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)定理，證明定理.從發(fā)現(xiàn)定理的過程中讓學(xué)生體會到：定

3、理并不是憑空產(chǎn)生的，發(fā)現(xiàn)定理并不都是高不可攀的事情，通過我的努力，也可以做一些看似數(shù)學(xué)家才能完成的事情.在這個過程中，學(xué)生在課堂上的主體地位得到充分發(fā)揮，極大的激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也提高了他們提出問題、解決問題的能力，培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新能力，這正是新課程所倡導(dǎo)的教學(xué)理念.3 教學(xué)目標(biāo)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)讓學(xué)生掌握正弦定理及最簡單的應(yīng)用，掌握正弦定理的證明，進(jìn)一步體會向量的工具性作用.通過發(fā)現(xiàn)并證明定理，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和思維能力，向?qū)W生滲透一些基本的數(shù)學(xué)思想、方法，給學(xué)生成功的體驗，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.4 教學(xué)過程4.1 創(chuàng)設(shè)問題情境，提出問題如圖，上海市政建設(shè)公司為了建造崇海過江隧道，需要測量

4、長江兩岸的兩個出口處A與B點的距離，測量人員在B點所在一側(cè)選擇C點，測得BC長為0.15km，測得 ACB 103.4°，ABC 75.85°，由此能確定AB間的距離嗎？ABC45°30°圖形1 三角形T:這個問題可以轉(zhuǎn)化為什么樣的數(shù)學(xué)問題？S:能轉(zhuǎn)化為在ABC中，已知兩個內(nèi)角及夾邊，如何求另一邊.T：要由角和邊確定AB，只需要知道什么關(guān)系就可以了？S：三角形中邊角之間的等量關(guān)系.板書：探求三角形中邊角的等量關(guān)系讓學(xué)生明確方向T:以前研究過三角形中的邊角之間的等量關(guān)系嗎？S:在RtABC中有sinA sinB sinC1，cosA ，cosB cosC0

5、 T:請同學(xué)們找一找有沒有其他的關(guān)系式學(xué)生通過不斷的嘗試未必能一次發(fā)現(xiàn)，但這種嘗試更符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律S: （1）T:對一般的三角形上式也成立嗎?(請同學(xué)自己畫一個三角形,量出邊和角的大小,利用計算器進(jìn)行計算驗證此式.) 給學(xué)生一個做“數(shù)學(xué)實驗”的機(jī)會教師可以利用幾何畫板中的度量計算功能計算出所畫三角形的邊和角的數(shù)值,顯示 , , 的值,并不斷變化三角形的形狀,讓學(xué)生進(jìn)一步觀察三個比值的變化情況.T:大家發(fā)現(xiàn)在拖動的過程中,很多三角形都滿足(1)式,能不能就說對任意三角形(1)式都成立呢?S:不能. 要說明任意性必須證明,數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?實驗觀察不能代替理論證明,此時是培養(yǎng)學(xué)生思維嚴(yán)謹(jǐn)性的好機(jī)會

6、.4.2 定理說明T:如何來證明呢?(可引導(dǎo)學(xué)生從特殊的簡單的情形開始,如當(dāng)三角形為直角三角形時.)證明1 過C作AB邊上的高,如圖2所示ABCDABCD圖2 三角形圖利用bsinACD，asinB CD，得bsinAasinB ，同時，因此，證明2 對 變形 bcsinAacsinBabsinC，利用面積相等證明.以上兩種證法是正弦定理的傳統(tǒng)證法，新教材中沒有采用，引導(dǎo)學(xué)生用這兩種方法來證明，可培養(yǎng)學(xué)生的化歸意識.此外，從證法二可發(fā)現(xiàn)三角形面積的又一個計算公式，可謂一舉兩得.T:還有其他能反映角度和長度的量嗎？S:向量的數(shù)量積.T:在三角形ABC中如何構(gòu)造出這些向量呢？S:向量 AB , A

7、C, BC S: AC + CB = AB （2）T:對此式如何處理才能得到要證明的等式呢？ABBCABS1:A是 與 的夾角，對（2）式兩邊同乘以 得AB·（AC + CB）= AB·ABbcosA + acosB = c (射影定理) 雖然沒有如愿以償，但也有所收獲.S2:對（2）式兩邊平方，得到b2+a2-2abcosC=c2.又一次“失敗”，卻意外發(fā)現(xiàn)了余弦定理，為余弦定理的學(xué)習(xí)打下伏筆.引導(dǎo)學(xué)生反思以上兩名同學(xué)的做法，向量的數(shù)量積與向量的夾角的余弦值有關(guān)，而現(xiàn)在我們要證明是正弦有關(guān)的等式.ABCDABCD圖3 三角形圖T: sinA可改寫成什么式子？S: sinA

8、 = cos ( - A )T:哪兩個向量的夾角是 - A 呢？S1:過A點作一個向量j與AB垂直，這兩個向量的夾角就是 - A .S2：CD與CA的夾角也是 - A. T：請大家在（2）式兩邊同乘以j或CD，看一看會出現(xiàn)什么結(jié)果？作出這樣的向量是問題的關(guān)鍵所在，但課本沒有展開這個過程，如何引導(dǎo)學(xué)生作出這樣的向量是教師的主要任務(wù)，從這個過程中學(xué)生還發(fā)現(xiàn)這個向量只有與AB垂直就行，不一定要按照刻板的方法.這樣就可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神4.3 定理證明完以后，給出課題，并解決引例中的問題c4.4 問題的延拓T:在RtABC中 ，那么在一般三角形中，設(shè) k，那么這個k會等于多少呢？告訴我們，對ABC而

9、言，當(dāng)A與邊a確定時，比值k即確學(xué)生的思維再次被激活，有些同學(xué)可能聯(lián)系到外接圓，但更多的同學(xué)可能有困難.T: 定，此時ABC的形狀唯一確定嗎？S:不確定，頂點A可以動.T:看看點A的運動軌跡是什么？教師可利用幾何畫板演示作法如下：1作一個圓O；2作圓的內(nèi)接ABC；3度量A的大小及BC的長； 4建立一個顯示/隱藏按鈕，將圓O隱藏； 5拖動A點在平面內(nèi)運動，A大小不變，利用軌跡跟蹤功能可發(fā)現(xiàn)圓A的軌跡是一段圓弧.S:A的運動軌跡是一個圓弧.T:是哪個圓上的一段弧呢？S: ABC的外接圓，（顯示ABC的外接圓）此時，顯示外接圓學(xué)生感到很自然，定理、公式本來不是天上掉下來的.T:比值k與外接圓有什么關(guān)系呢？S:比值k等于外接圓的半徑.T:如何證明？引導(dǎo)學(xué)生證明這個結(jié)論已不是一件困難的事情，真正困難的事情在于發(fā)現(xiàn)外接圓.至此學(xué)生對正弦定理有了更完整的認(rèn)識.4.5 課堂小結(jié)1）正弦定理的內(nèi)容2）正弦定理的證明方法注 向量是熟悉中處理空間有關(guān)圖形長度和角度的有效手段，課本有向量法證明正弦定理體現(xiàn)了向量的工具性作用.3）在發(fā)現(xiàn)正弦定理過程中用了觀察、實驗、猜想等數(shù)學(xué)方法，體現(xiàn)了由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.在證明