二次根式的概念及乘除法運算

1、教學課題二次根式的概念及乘除法運算教學目標1 .理解二次根式的概念.2 .理解聲(a>0)是一個非負數,(Ji)=a(a>0),JO2=a(a>0).理解JS-Jb=JOb(a>0,b>0),JOb=ja/(a>0,b>0),并利用它們進行計算和化簡3 .理解里一良(a>0,b>0)和+fa=Ha(a>0,b>0)及利用它們進行運算.而7bVbVb4 .理解最簡二次根式的概念,并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式.教學重點與難點重點：1 .一次根式ja(a>0)的內涵.ja(a>0)是一個非負數；(JW)-a

2、(a>0);&2=a(a>0)及其運用.2 .-Ta-Jb=Tab(a>0,b>0),Vab=Va瓜(a>0,b>0)及它們的運用.3 .理解?=5(a>0,b>0),Jang(a>0,b>0)及利用它們進行計算和化簡.4 .最簡二次根式的運用.難點：1 .對ja(a>0)是一個非負數的理解；對等式(ja)-a(a>0)及J=a(a>0)的理解及應用.2 .發(fā)現規(guī)律,導出J&Vb=Vab(a>0,b>0).3 .發(fā)現規(guī)律,歸納出二次根式的除法規(guī)定.4 .會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式

3、.教學過程一、復習引入今天我們要學習的是二次根式的概念及它的一些性質,其實前面我們已經學過平方根,而二次根式其實就是平方根的其中正的那一個,也就是算術平方根.今天我們主要需要掌握二次根式的幾個運算性質：1 .形如7a(a>0)的式子叫做二次根式；2 .>/a(a>0)是一一個非負數；3 .(>/a)2=a(a>0).4 .Oq=a(a>0).(學生活動)請同學們獨立完成以下三個問題：3問題1:反比例函數y=,那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是.x問題2:在直角三角形ABC中,AC=3,BC=1,/C=90°,那么AB邊的長是.問題3:

4、甲射擊6次,各次擊中的環(huán)數如下：8、7、9、9、7、8,那么甲這次射擊的方差是S2,那么S=.老師點評:問題1:橫、縱坐標相等,即x=y,所以x2=3.由于點在第一象限,所以x=J3,所以所求點的坐標(國,問題2:由勾股定理得AB=.10問題3:由方差的概念得S=.4.很明顯J3、回、J4",都是一些正數的算術平方根.像這樣一些正數的算術平方根的式子,我們就把它稱二次根式.因此,一般地,我們把形如由(a>0)的式子叫做二次根式,“、廠稱為二次根號.(學生活動)議一議：1.-1有算術平方根嗎2.0的算術平方根是多少3.當a<0,«有意義嗎4.請你憑著自己已有的知識

5、,說說對二次根式'a的熟悉！老師點評：1.表示a的算術平方根2.a可以是數,也可以是式.3.形式上含有二次根號4.a>0,Va>0(雙重非負性)5.既可表示開方運算,也可表示運算的結果.例1.以下式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式：J2、M3、1、JX(x>.)、J0、北、X-石、-1、&y(x>0,y>0).xy分析：二次根式應滿足兩個條件：第一,有二次根號“«；第二,被開方數是正數或0.解：二次根式有：J2、Vx(x>0)、J0、-J2、jx_y(x>0,y>0);不是二次根式的有：3/3、工、底、,xxy例2.

6、當x是多少時,J3XF在實數范圍內有意義義.W0.分析：由二次根式的定義可知,被開方數一定要大于或等于_,m1解：由3x-1>0,得：x>-31當x>_時,J3xi在實數范圍內有意義.30,1例3.當x是多少時,1J2x3+在實數范圍內有意義x11分析：要使V2x+在實數范圍內有意義,必須同時滿足x1所以3x-1>0,?J3XF才能有意2,'112a72x3中的>0和1,中的x+1x1.,2x30解：依題意,得x10一一3由得：x>-2由得：XW-13.1當x>-2且xw-1時,J2x3+,在實數范圍內有意義.2x1求二次根式中字母的取值范圍的

7、根本依據：被開方數不小于零;分母中字母時,要保證分母不為零.例4(1)y=J2_x+&2+5,求'的值.(答案:2)y(2)假設7a-7+Jb_7=0,求a2004+b2004的值.(答案：2)5議一議：學生分組討論,提問解答、aa>0是一個什么數呢老師點評：二次根式其實就是平方根的其中正的那一個,也就是算術平方根.所以我們得到:aa>0是一一個非負數.做一做：根據算術平方根的意義填空：占2=;12=;羽2=;翼2=老師點評：J4是4的算術平方根,根據算術平方根的意義,0是一個平方等于4的非負數,因此有J42=4.同理可得：點2=2,百2=9,煦2=3,'口

8、2=1,q/72=1,向2=0,所以.3322yja=aa>0例1計算1.22-35523.24.2分析：我們可以直接利用7a2=aa>0的結論解題.解：略例2計算1.(jx1)2(x>0)2.(陰)23.(4022a1)24.(“x212x9)2分析：(1)由于x>0,所以x+1>0;(2)a2>0;(3)a2+2a+1=(a+1)>0;(4)4x2-12x+9=(2x)2-2-2x-3+32=(2x-3)2>0.所以上面的4題都可以運用(點)2=a(a>0)的重要結論解題.解略例3在實數范圍內分解以下因式：(1)x2-3(2)x4-4(

9、3)2x2-3(學生活動)填空:(老師點評)：根據算術平方根的意義,我們可以得到:因此,一般地：02=a(a>0)例1化簡(1)向乂4)2(3)&5(4),、(3)2分析：由于(1)9=32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)2=32,所以都可運用Ta2=a(a>0)?去化簡.應用拓展例2填空：當a>0時,吁=；當a<0時,4az=,并根據這一性質答復以下問題.(1)假設J02=a,那么a可以是什么數(2)假設值2=-a,那么a可以是什么數(3)J02>a,那么a可以是什么數分析：=G'=a(a>0),.要填第一個空格可

10、以根據這個結論,第二空格就不行,應變形,使“()2中的數是正數,由于,當aw.時,702T(a)2,那么-a>0.(1)根據結論求條件；(2)根據第二個填空的分析,逆向思想；(3)根據(1)、(2)可知42=aI,而Ia要大于a,只有什么時候才能保證呢a<0.解：(1)由于ja2=a,所以a>0；由于ja2'=-a,所以aw0；(3)由于當a>0時Va2=a,要使Va2>a,即使a>a所以a不存在；當a<0時,Va2=-a,要使JI>a,即使-a>a,a<0綜上,a<0例3當x>2,化簡J(x2)2-J(12x)2

11、.1 .本節(jié)課應掌握：療=2(a>0)及其運用,同時理解當a<0時,J/=a的應用拓展.2 .(£)2與4a的區(qū)別：(1)從運算順序來看,(4)2先開方,后平方；Ta2先平方,后開方.(2)從取值范圍來看,(石)2a>0;次a取任何實數.(3)從運算結果來看：a(a>0)(石)2a0s=/a/=-a(a<0)二次根式的乘法一、復習引入學生活動請同學們完成以下各題.1 .填空1國乂如=,4§_；炳*屈=,J1625=.（3） 500檢=,110036=.參考上面的結果,用“、或=填空.44x99449,底乂屁625,7100x736000362

12、.利用計算器計算填空(1) 22x3376,2亞乂娓屈,75x76730,4/xV5V20,577x碗標.老師點評糾正學生練習中的錯誤總結規(guī)律：兩個二次根式的乘除等于一個二次根式,并且把這兩個二次根式中的數相乘,作為等號另一邊二次根式中的被開方數.一般地,對二次根式的乘法規(guī)定為/a=Tab-(a>0,b>0)反過來：Obb=Oa-7b(aO,b>0)例1.計算(1)衽x/gx木(3)99x277(4)/xV6分析：直接利用jaJb=Tab(a>0,b>0)計算即可.解：(1)乖乂77=735(2) *y/9=9=>/3(3)百x歷=J927,923=973(

13、4) 1x導?；6=«例2化簡(1) 9916(2)*681J81100(4)49x2y2(5)/54分析：利用<06=石Vb(a>0,b>0)直接化簡即可.解：(1).916=x716=3X4=12(2) #681=癡><期=4X9=36(3) 花1100二廟X/100=9><10=90(4) "9x2y2=/32"xJx2y2=/32"x4XxVy2=3xy(5) J54=96=、32x6=36例3.判斷以下各式是否正確,不正確的請予以改正：(1)、(4)(9)/419礙X必=4X屆*e=4卷X4=4屈=8展

14、解：(1)不正確.改正：J(4)(9)=""9=y/4x79=2X3=6(2)不正確.改正：412x回二112xV25=J11225=V172=J167=4用,25.25,25二次根式的除法(學生活動)請同學們完成以下各題：1.寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式.2.填空.利用計算器計算填空(1)3=,(3)2=.5148規(guī)律:.3.4般地,對二次根式的除法規(guī)定:b>0),反過來,(a>0,b>0)卜面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目.(4)、648分析：上面4小題利用(a>0)b>0便可直接得出答案.百4=px=2p分析：直接利用(a>

15、;0,b>0)就可以到達化簡之目的.例3.的值.公9x一,罕T,且x為偶數,求(1+x)x6分析:式子,只有a>0,b>0時才能成立.因此得到9-x>0且x-6>0,即6<xW9,又由于x為偶數,所以x=8.9x0x9解：由題意得,即x60x66<xw9x為偶數x=8,原式=(1+x)(x4)(x1)(x1)(x1)=(1+x)x_4_=J(1x)(x4),.(x1)',當x=8時,原式的值=J49=6.最簡二次根式1.計算(1)里,(2)31,(3)算、5272a3.153.1,682a老師點評：-=,-=,-=55'273.2aa2

16、.現在我們來看本章引言中的問題：如果兩個電視塔的高分別是h1km,h2km,?那么它們的傳播半徑的比是.它們的比是W.；2Rh2總結：觀察上面計算題1的最后結果,可以發(fā)現這些式子中的二次根式有如下兩個特點：1.被開方數不含分母;.被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.我們把滿足上述兩個條件的二次根式,叫做最簡二次根式.那么上題中的比是否是最簡二次根式呢如果不是,把它們化成最簡二次根式.答：不是.j2Rh=2R.怔ThhT,2Rh2、2Rh2h2h2.例1.化簡以下二次根式3一;x2y4x4y2;(3)；8x2y3例2.如圖,在RtABC中,/C=90°,AC=BC=6cm求AB的長.

17、解：由于AB2=AC2+BC2所以AB=2.5262=(5716、平?(cm：因此AB的長為.例3.觀察以下各式,通過分母有理數,把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式:11(、21)、21-/=-=-5=-7=-=v2-1,21(21)(*21)211_=1褥應眼衣=.戶廣,32J3、2.3、232-''1同理可得：_L_=J4-J3,43'從計算結果中找出規(guī)律,并利用這一規(guī)律計算+_1l+l1l+1=72002+1的值.2132、432002.2001分析：由題意可知,此題所給的是一組分母有理化的式子,因此,分母有理化后就可以到達化簡的目的.解：原式=J2-1+J3-

18、J2+J4-J3+V2002-V2001xJ2002+1=0002-1J2002+1=2002-1=2001課后作業(yè)一、選擇題1 .以下式子中,是二次根式的是A.-<7B.3/7C.7XD.x2 .以下式子中,不是二次根式的是a.44b.5A6c,V8d.1X3 .一個正方形的面積是5,那么它的邊長是A.5B.J5C.1D,以上皆不對54 .a>0時,后、J(a)2、-j7,比擬它們的結果,下面四個選項中正確的選項是().A-402=J(a)2>-4aB-4a>J(a)2>-Va2C7a2-<&a)2<-4aD.-7a2>y/a2=4(a

19、)2二、填空題1 .形如的式子叫做二次根式.2 .面積為a的正方形的邊長為.3 .負數平方根.4 .(-J3)2=.2.JX1有意義,那么x+1是一個數.5 .-J0.0004=.6 .假設J20m是一個正整數,那么正整數m的最小值是.三、綜合提升題3.1 .某工廠要制作一批體積為1m的產品包裝盒,其高為,按設計需要,底面應做成正方形,試問底面邊長應是多少2 .當x是多少時,2X3+x2在實數范圍內有意義x3 .假設J3x+JT_3有意義,那么Jx1.4 .使式子J(x5)2有意義的未知數乂有()個.A.0B.1C.2D,無數5 .a、b為實數,且7OF+2J102a=b+4,求a、b的值.6 .計算(1)(聲)2(2)-(73)2(3)(176)2(4)(-31)27 .把以下非負數寫成一個數的平方的