人教版高數(shù)必修二第10講：點、直線的距離和對稱(教師版)

1、點、直線的距離和對稱、距離問題1 .設(shè)平面上兩點p(Xi,yi)B(x2,y2),那么PP2=(Xi-X2)2+(yi-y2)為兩點間距離2 .點Rxo,yo)到直線Ax+By+C=0(A2+E2w0)的距離d=一.3 .兩條平行直線li：Ax+By+G=0與I2：Ax+By+G=0的距離d=.、對稱問題1 .關(guān)于點對稱問題(i)點關(guān)于點對稱點M辰于點P(a,b)的對稱點是(2ax0,2by0).特別地,點M(%,丫.)關(guān)于原點的對稱點為(x0,y0).(2)線關(guān)于點對稱_2_2I的萬程為：Ax+By+C=0(A+B=0)和點P(凡).),那么I關(guān)于P點的對稱直線萬一r、r''

2、'.'.''.程.設(shè)P(x,y)是對稱直線I上任意一點,它關(guān)于P(x01yo)的對稱點(2x°-x,2y0-y)在直線I上,代入得A(2x0-x)+B(2y0-y)+C=0.此直線即為所求對稱直線.2 .關(guān)于線對稱問題(i)點關(guān)于線對稱點M(x0,y0),直線I:Ax+By+C=0(Ab=0),設(shè)點M關(guān)于直線I的對稱點為N(x0,y°),那么由KmnLKi=-1得到一個關(guān)于m,n的方程,又線段MN的中點在直線I得到另一個關(guān)1于m,n的方程,解方程組?aIBm-x0即可求出點N(x0,y0上SbC=0一22特別說明:點M(x0,y0)關(guān)于x軸對

3、稱的點的坐標(biāo)是(x0,-y0),關(guān)于y軸對稱點的坐標(biāo)是(-,y0)點M(x°,y0)關(guān)于直線y=x的對稱點坐標(biāo)是(丫0?0),關(guān)于y=x對稱點為(y0,x°)(2)線關(guān)于線對稱l1：Ax+Ry+C1=0,l:Ax+By+C=0,求直線11關(guān)于直線I對稱直線如右圖所示,在直線上任取不同于I與l1交點P的任一點M,先求出點M關(guān)于直線I的對稱點N的坐標(biāo),再由N,P在上,用兩點式求出直線I2的方程.常見的對稱結(jié)論有：設(shè)直線l:Ax+By+C=0.l關(guān)于x軸的對稱的直線是：Ax+B(y)十C=0;l關(guān)于y軸的對稱的直線是：A(x)+By+C=0；l關(guān)于原點的對稱的直線是：A(-x)+

4、B(-y)+C=0;l關(guān)于y=x的對稱的直線是：Ay+Bx+C=0;l關(guān)于y=x的對稱的直線是：A(y)+B(x)+C=0;類型一點到直線的距離例1:求點P(3,2)到以下直線的距離：(1)3x-4y1=0;(2)y=6;(3)y軸.解析：此題主要考查點到直線的距離公式的應(yīng)用,直接代入點到直線的距離公式即可.答案：(1)由點到直線的距離公式可得|3X3-4X-2-1|16y0=3x0+3.,A(3,2)、B(-1,5),IAB=5-22+T-32=5.1 ,一設(shè)C到AB的距離為d,那么2dIAB=10,d=4.又直線AB的方程為y-2x-352=-1-3,即3x+4y17=0,.,_|3xo+

5、43x0+3-17|-d223+4|15x.一5|J5-L=|3x.1|=4.3x°1=±4,解得x0=1或金.3一一5一當(dāng)x0=1時,y0=0；當(dāng)x0=不時,3y0=8.C點坐標(biāo)為(一1,0)或(|,8).3練習(xí)1:求經(jīng)過點P(1,2)的直線,且使答案：解法一：當(dāng)直線斜率不存在時,即A(2,3),x=1,R0,-5)到它的距離相等的直線方程.顯然符合題意,當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)所求直線的斜率為k,即直線方程為y-2=k(x-1),由條件得|2k-3-k+2|5-k+2|k2+1#2+1k=4,故所求直線方程為x=1或4xy2=0.解法二：由平面幾何知識知l/AB或l過AB中

6、點.kAB=4,假設(shè)l/AB,那么l的方程為4x-y2=0.假設(shè)l過AB中點(1,1),那么直線方程為x=1,所求直線方程為：x=1或4xy2=0.練習(xí)2：假設(shè)動點RM,%),F2(x2,y2)分別在直線l1:xy5=0,l2:x-y-15=0上移動,那么PP2的中點P到原點的距離的最小值是()1522D.15.2答案：B類型二兩條平行線之間的距離例3:求兩平行線h:3x+4y=10和l2：3x+4y=15的距離.解析：由題目可獲取以下主要信息：直線l1與l2的方程；l1與l2平行.解答此題可轉(zhuǎn)化為點到直線的距離或直接利用兩平行線間的距離公式或利用原點到兩平行線距離的差,從而求解.答案：解法一

7、：假設(shè)在直線l1上任取一點A(2,1),那么點A到直線l2的距離,即是所求的平行線間的距離.如圖所示,|3X2+4X115|32+42=1.解法二：設(shè)原點到直線l1、l2那么由圖可知,|OEf|OF即為所求.|15|10|,|OE|of=|_=1,即兩平行線間的距離為1.,3+4,3+4解法三：直線11、l2的方程可化為3x+4y10=0,3x+4y-15=0,那么兩平行線間的距離為|一1032+425=練習(xí)1：兩平行直線答案:-200x+3y4=0與2x+6y9=0的距離是練習(xí)2：平行線8. 2,-21 1D.二2'22x+3y3=0與2x+3y9=0,那么與它們等距離的直線方程是A

8、.2x+3y12=0B.2x+3y6=0C.2x+3y=0D.2x+3y+3=0答案：B類型三對稱問題例4：點R1,1關(guān)于直線axy+b=0的對稱點是Q3,1,那么a、b的值依次是A.2,211C32解析：設(shè)PQ的中點為M那么由中點坐標(biāo)公式得M1Q,點M在直線axy+b=0上,a+b=0.又PQ在直線與直線axy+b=0垂直,-1-1-3-1'a=T,a=2.故b=-2.答案：B練習(xí)1直線l:y=3x+3,求點R4,5)關(guān)于直線l的對稱點坐標(biāo).答案：設(shè)點A(x,y)是點P關(guān)于直線l的對稱點,A、P的中點在直線l上,y+5X+4口nc-2 =3X2+3,即3x-y+13=0又AP與直線l

9、垂直,y5_小-7*3=1,即x+3y19=0x-4解、組成的方程組可得x=-2,y=7,即所求點的坐標(biāo)為(一2,7).練習(xí)2：P(a,b)和Q(b-1,a+1)是關(guān)于直線l對稱的兩點,那么直線l的方程為()A.x+y=0B.xy=0C.x+y+1=0D.xy+1=0答案：D例5:在直線l:3xy1=0上求一點P,使得:(1) P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；(2) P到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小.解析：設(shè)點B關(guān)于l的對稱點為B',AB與l的交點P滿足(1);點C關(guān)于l的對稱點為C',AC與l的交點P滿足(2).事實上,對于(1),假設(shè)P'是

10、l上異于P的點,那么|P'A|P'日|=|P'A|P'B'|<|AB|=|PA|PB|=|PA|PB|；C'|>|AC|=|PA+|PC.對于(2),假設(shè)P'是l上異于P的點,那么|P'A|+|P'C=|P'A|+|P'答案：(1)如下圖,設(shè)點B關(guān)于直線l的對稱點B'的坐標(biāo)為(a,b),那么kBB-kl=1,即3,-=-1.aa+3b12=0.abI-4.又由于線段BB的中點坐標(biāo)為A(2,2),且在直線l上,一ab+4r_小3x221=0,即3ab6=0.解得a=3,b=3,B'

11、(3,3).一I一、一r、,y1x4于是AB的方程為"=即2x+y9=0.3134J由3x-y-1=0gx+y-9=0=2即直線l與AB的交點坐標(biāo)為(2,5)點P(2,5)為所求.(2)如下圖,設(shè)點C關(guān)于直線l的對稱點為C',求出點C'的坐標(biāo)為(*24).55二.AC所在直線的方程為19x+17y93=0,1126AC和1的交點坐標(biāo)為(了,不).1126、,一、故P點坐標(biāo)為(彳,y),為所求.練習(xí)1：人(4,58(2,15),直線1:3*4丫+4=0cA.(2)在1上求一點Q,使QAQB的值最小.(1)在1上求一點P,使PA+|PB的值最小;答案:(1)設(shè)點A關(guān)于直線

12、1的對稱點A(x0,y0),y0-54=(2)x033-4心2解得4=0yoA3,-3由兩點式可得AB的方程為18x+y51=0又點P應(yīng)是A,B和1的交點幺、工18xy-5=0/口x=8,解萬程組/y得«33x-4y4=0°yy-3kAB=2AB的方程為y=2x+11由于直線AB與1的交點Q即為所求3x-4y4=0解方程組yy=2x11得x二一8y二一5所求點Q-8,-5練習(xí)112：假設(shè)動點P(x1,y),P2(X2,y2)分別在直線:xy5=012:x-y-15=0上移動,那么PP2的中點P到原點的距離的最小值是()15、22答案：B當(dāng)堂檢測1 .點A(1,3、B(2,6

13、),那么AB的長及中點坐標(biāo)分別是(C.2>/3f-1,2A.-3%/2,(-1,9)B.3問1,9答案：B2 .假設(shè)點A(a,6)到直線3x4y=2的距離等答案：D3.過點C.46.2或竺3A(-1,2戶與原點的距離等于-2的直線方程是(2x+y1=0或7x+y+5=0x-y-1=0或7x+y+5=0答案：C4 .假設(shè)點P到點P(0,1),F2(7,2)及x軸的距離相等,那么P的坐標(biāo)是(A.(3,5)B.(17,145)C.(3,5)或(17,145)D,以上全不對答案：C5 .兩平行線4x+3y1=0與8x+6y+3=0之間的距離是()2IC1C.51B.101DI答案：D6 .假設(shè)點

14、P(x,y)在直線x+y4=0上,O為原點,那么|OP|的最小值是A.10C.6答案：BB.D.7 .平行四邊形相鄰兩邊所在的直線方程是11：x2y+1=0和對角線的交點是(2,3),那么平行四邊形另外兩邊所在直線的方程是(12：3xy2=0,此四邊形兩條)A.B.C.D.2xy+7=0和x-3y-4=0x2y+7=0和3x-y4=0x2y+7=0和x-3y-4=02xy+7=0和3x-y-4=0答案：B8 .兩平行直線x+3y5=0與x+3y10=0的距離是.答案：/029 .正方形中央G(1,0),一邊所在直線方程為x+3y5=0,求其他三邊所在直線方程.11516答案：正方形中央GE1,

15、0)到四邊距離相等,均為.設(shè)與直線平行的一邊所在直線方程為x+3y+c=0,|1+C1|一10一10C1=5(舍去)或C1=7.',C+C2|故與直線平行的一邊所在直線方程為x+3y+7=0.設(shè)另兩邊所在直線方程為3x-y+C2=0.6,倚C2=9或C2=-3.10,另兩邊所在直線方程為3xy+9=0或3xy3=0.綜上可知另三邊所在直線方程分別為：x+3y+7=0,3x-y+9=0或3xy3=0.根底穩(wěn)固1.點A(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,那么a=()B. 2-721 D.2+1C2.過點(1,2)且與原點距離最大的直線方程是()A.x+2y-5=0

16、B.2x+y4=0C.x+3y-7=0D.3x+y-5=0答案：A3 .P、Q分別為3x+4y12=0與6x+8y+5=0上任一點,那么|PQ|的最小值為()9A.518B.石D.29529C.10答案：C4 .過點A(3,1)的直線中,與原點距離最遠(yuǎn)的直線方程為答案：3x-y+10=0水平提升5 .直線7x+3y21=0上到兩坐標(biāo)軸距離相等的點的個數(shù)為()A.3B.2C.1D.0答案：B6 .兩平行直線l1,h分別過點P(1,3)、Q(2,1),它們分別繞P、Q旋轉(zhuǎn),但始終保持平行,那么l1,l2之間的距離的取值范圍是()A.(0,+oo)B.0,5C. (0,5D.0,V17答案：C7.a

17、、b、c為某一直角三角形的三邊長,c為斜邊,假設(shè)點P(m,n)在直線ax+by+2c=0上,那么m2+n2的最小值為答案：48 .與三條直線li：xy+2=0,I2：xy3=0,I3：x+y5=0,可圍成正方形的直線方程為答案：x+y10=0或x+y=09 .4ABC的三個頂點是A(1,4)、B(-2,1)、C(2,3).(1)求BC邊的高所在直線的方程；(2)求ABC的面積S.答案：(1)設(shè)BC邊的高所在直線為l,.3一一由題息知kBc=1,2/.那么kl=1,kBC即x+y-3=0.即xy+1=0,22,又點A(1,4)在直線l上,所以直線l的方程為y4=1x(x+1),(2)BC所在直線

18、方程為y+1=1X(x+2),|141|點A(-1,4)到BC的距離d='2-1又|BC=.2匕+1o=4心,=24啦X2/=8.10.直線l經(jīng)過點A(2,4),且被平行直線li：xy+1=0與I2：xy1=0所截得的線段的中點M在直線x+y3=0上.求直線l的方程.答案：解法一：點M在直線x+y3=0上,設(shè)點M坐標(biāo)為(t,3t),那么點M到l1、l2的距離相等,11-3-t+1|一|t-3-t-1|3解得t=2,M33.IM2,2.3X23?2-25xy6=0.又l過點A(2,4),3y2由兩點式得-=342即5x-y-6=0,故直線l的方程為|C1|解法二：設(shè)與l1、12平行且距離相等的直線13：x-y+c=0,由兩平行直線間的距離公式得Lc-L="十解得c=0,即l3：xy=0.由題意得中點MB13上,又點M在x+y3=0上.yy=0解方程組|x+y-3=03X=2'得3y=2Mj|,2；又過點A(2,4),i的斜率必存在,故由兩點式得直線l的方程為5xy6=0.解法三：由題意