高一數(shù)學集合與函數(shù)知識點總結(jié)

1、高中課程復習專題數(shù)學集合與函數(shù)專題一、集合相關概念1、集合中元素的特性 元素的確定性：組成集合的元素必須是確定的。 元素的互異性：集合中不得有重復的元素。 元素的無序性：集合中元素的排列不遵循某種順序，是隨意排列的。2、集合的表示方法 列舉法：將集合中元素一一列出。 描述法：將集合中元素的公共屬性用語言描述出來。 解析法：用解析式的方式描述出集合元素的公共屬性。 圖示法：用韋恩圖直觀的畫出集合中的元素。3、集中特殊數(shù)集的表示方法 自然數(shù)集： N 正整數(shù)集：N+ 整數(shù)集：Z 有理數(shù)集：Q 實數(shù)集：R 空集：二、集合間的基本關系子集與真子集1、自反性任何一個集合都是它本身的子集：AA。2、如果AB

2、 且 AB，則，A是B的真子集。3、傳遞性：如果AB，BC，則AC。4、如果AB且BA，則A=B。5、空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。6、有n 個元素的集合，有 2n 個子集，有2n-1 個真子集。三、集合間的運算運算類型交集并集補集定義由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合稱為A和B的交集（AB）。即AB=xxA且xB由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合稱為A和B的并集（AB）。即AB=xxA或xB設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中不屬于A的元素組成的集合稱為S中A的補集（CSA）。即CSA = xxS且xA 圖示性質(zhì)AA=AA=AB=BAABAABBA

3、A=AA=AAB=BAAABBABCSA CSB= CS（AB）CSACSB= CS（AB）ACSA=SACSA=四、函數(shù)的相關概念 1、函數(shù)：設A、B為非空集合，如果按照某個特定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)，寫作y=f(x)，xA，其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域，與x相對應的y的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合B=f(x)xA 叫做函數(shù)的值域。 2、函數(shù)定義域的解題思路： 若x處于分母位置，則分母x不能為0。 偶次方根的被開方數(shù)不小于0。 對數(shù)式的真數(shù)必須大于0。 指數(shù)對數(shù)式

4、的底，不得為1，且必須大于0。 指數(shù)為0時，底數(shù)不得為0。 如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的，那么，它的定義域是各個部分都有意義的x值組成的集合。 實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義。3、相同函數(shù) 表達式相同：與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。 定義域一致，對應法則一致。4、函數(shù)值域的求法 觀察法：適用于初等函數(shù)及一些簡單的由初等函數(shù)通過四則運算得到的函數(shù)。 圖像法：適用于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)已經(jīng)分段函數(shù)。 配方法：主要用于二次函數(shù)，配方成 y=(x-a)2 +b 的形式。 代換法：主要用于由已知值域的函數(shù)推測未知函數(shù)的值域。5、函數(shù)圖像的變換 平移變換：在x軸上的變

5、換在x上就行加減，在y軸上的變換在y上進行加減。 伸縮變換：在x前加上系數(shù)。 對稱變換：高中階段不作要求。6、映射：設A、B是兩個非空集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于A中的任意儀的元素x，在集合B中都有唯一的確定的y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的映射。 集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。 集合A中的不同元素，在集合B中對應的象可以是同一個。 不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。7、分段函數(shù) 在定義域的不同部分上有不同的解析式表達式。 各部分自變量和函數(shù)值的取值范圍不同。 分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集。8、

6、復合函數(shù)：如果（uM），u=g(x) （xA）,則，y=fg(x)=F(x) （xA），稱為f、g的復合函數(shù)。五、函數(shù)的性質(zhì) 1、函數(shù)的局部性質(zhì)單調(diào)性 設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對應定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個變量x1、x2，當x1< x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；當x1< x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么那么y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)，D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。 函數(shù)區(qū)間單調(diào)性的判斷思路 在給出區(qū)間內(nèi)任取x1、x2，則x1、x2D，且x1< x2。

7、 做差值f(x1)-f(x2)，并進行變形和配方，變?yōu)橐子谂袛嗾摰男问健?判斷變形后的表達式f(x1)-f(x2)的符號，指出單調(diào)性。 復合函數(shù)的單調(diào)性 復合函數(shù)y=fg(x)的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關，其規(guī)律為“同增異減”；多個函數(shù)的復合函數(shù)，根據(jù)原則“減偶則增，減奇則減”。 注意事項 函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間，不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成并集，如果函數(shù)在區(qū)間A和B上都遞增，則表示為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A和B，不能表示為AB。 2、函數(shù)的整體性質(zhì)奇偶性 對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x) =f(-x)，則f(x)就

8、為偶函數(shù)； 對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(x) =-f(x)，則f(x)就為奇函數(shù)。 奇函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì) 無論函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，只要函數(shù)具有奇偶性，該函數(shù)的定義域一定關于原點對稱。 奇函數(shù)的圖像關于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關于y軸對稱。 函數(shù)奇偶性判斷思路 先確定函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不關于原點對稱，則為非奇非偶函數(shù)。 確定f(x) 和f(-x)的關系： 若f(x) -f(-x)=0，或f(x) /f(-x)=1，則函數(shù)為偶函數(shù)； 若f(x)+f(-x)=0，或f(x)/ f(-x)=-1，則函數(shù)為奇函數(shù)。 3、函數(shù)的最值問題 對于二次函數(shù)，利用配方法，將函數(shù)化

9、為y=(x-a)2 +b的形式，得出函數(shù)的最大值或最小值。 對于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù)，畫出圖像，從圖像中觀察最值。 關于二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題 判斷二次函數(shù)的頂點是否在所求區(qū)間內(nèi)，若在區(qū)間內(nèi)，則接，若不在區(qū)間內(nèi)，則接。 若二次函數(shù)的頂點在所求區(qū)間內(nèi)，則在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a>0時，頂點為最小值，a<0時頂點為最大值；后判斷區(qū)間的兩端點距離頂點的遠近，離頂點遠的端點的函數(shù)值，即為a>0時的最大值或a<0時的最小值。 若二次函數(shù)的頂點不在所求區(qū)間內(nèi)，則判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性 若函數(shù)在a，b上遞增，則最小值為f(a)，最大值為f(b)；若函數(shù)在a，b上遞

10、減，則最小值為f(b)，最大值為f(a)。六、指數(shù)和對數(shù) 1、指數(shù)的性質(zhì) 根式：如果xn=a，則x叫做a的n次方根，記作 （n>1，nN+） 負數(shù)沒有偶次方根。 0的任何次方根都是0。 當n為奇數(shù)時=a ，當n是偶數(shù)時= a 分數(shù)指數(shù)冪 = （a>0，m、nN+，n>1） 負指數(shù)冪 = （a>0，m、nN+，n>1） 0的正分數(shù)指數(shù)冪為0,0的負指數(shù)冪沒有意義。 實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)ar as = ar+s (a>0，r、sR)(ar)s = ars (a>0，r、sR)(ab)r = arbr (a、b>0，rR) 2、對數(shù)的性質(zhì) 對數(shù)：如果a

11、x=N (a>0，a1)，那么，x叫做以a為底N的對數(shù)，記住：logaN=x，其中a為底數(shù)，N為真數(shù)。 注意底數(shù)a的取值范圍：a>0且a1。 常數(shù)對數(shù)：以10為底的對數(shù) lgN； 自然對數(shù)：以e=2.71828為底的對數(shù)lnN。 對數(shù)的運算性質(zhì)：如果a>0且a1，M>0，N>0loga(MN)=logaM + logaNloga=logaM logaN logaMn = nlogaM (NR) 對數(shù)的換底公式 logab = logcb / logca (a>0且a1, c>0且c1，b>0) 則 = logab = 1/ logba七、基本初等

12、函數(shù) 1、指數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=ax (a>0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)a 的取值a>10<a<1圖像定義域xRxR值域y(0，+)y(0，+)單調(diào)性全定義域單調(diào)遞增全定義域單調(diào)遞減奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)過定點（0,1）（0,1）注意： 由函數(shù)的單調(diào)性可以看出，在閉區(qū)間a,b上，指數(shù)函數(shù)的最值為： a>1時，最小值f(a)，最大值f(b)；0<a<1時，最小值f(b)，最大值f(a)。 對于任意指數(shù)函數(shù)y=ax (a>0且a1)，都有f(1)=a。 2、對數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=logax(a>0且a1)，叫做對數(shù)函數(shù)a 的取值a>10<a<1圖像定義域x(0，+)x(0，+)值域yRyR單調(diào)性全定義域單調(diào)遞全定義域單調(diào)遞減奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)過定點(1,0)(1,0) 3、冪函數(shù)：函數(shù)y=xa (aR)，高中階段，冪函數(shù)只研究第I象限的情況。 所有冪函數(shù)都在(0，+)區(qū)間內(nèi)有定義，而且過定點(1,