高中數(shù)學(xué)競賽平面幾何中的幾個重要定理80622

1、平面幾何中幾個重要定理及其證明一、 塞瓦定理 1塞瓦定理及其證明定理：在ABC內(nèi)一點(diǎn)P，該點(diǎn)與ABC的三個頂點(diǎn)相連所在的三條直線分別交ABC三邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F三點(diǎn)均不是ABC的頂點(diǎn)，則有 證明：運(yùn)用面積比可得根據(jù)等比定理有，所以同理可得，三式相乘得注：在運(yùn)用三角形的面積比時，要把握住兩個三角形是“等高”還是“等底”，這樣就可以產(chǎn)生出“邊之比”2塞瓦定理的逆定理及其證明定理：在ABC三邊AB、BC、CA上各有一點(diǎn)D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點(diǎn)，若，那么直線CD、AE、BF三線共點(diǎn)證明：設(shè)直線AE與直線BF交于點(diǎn)P，直線CP交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)塞瓦定理有

2、因?yàn)?，所以有由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合即得D、E、F三點(diǎn)共線注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命題順利獲證二、 梅涅勞斯定理G3梅涅勞斯定理及其證明定理：一條直線與ABC的三邊AB、BC、CA所在直線分別交于點(diǎn)D、E、F，且D、E、F均不是ABC的頂點(diǎn)，則有 證明：如圖，過點(diǎn)C作AB的平行線，交EF于點(diǎn)G因?yàn)镃G / AB，所以 （1）因?yàn)镃G / AB，所以 （2）由（1）（2）可得，即得注：添加的輔助線CG是證明的關(guān)鍵“橋梁”，兩次運(yùn)用相似比得出兩個比例等式，再拆去“橋梁”（CG）使得命題順利獲證4梅涅勞斯定理的逆定理及其證明定理：在ABC的邊AB、BC上各

3、有一點(diǎn)D、E，在邊AC的延長線上有一點(diǎn)F，若， 那么，D、E、F三點(diǎn)共線證明：設(shè)直線EF交AB于點(diǎn)D/，則據(jù)梅涅勞斯定理有因?yàn)?，所以有由于點(diǎn)D、D/都在線段AB上，所以點(diǎn)D與D/重合即得D、E、F三點(diǎn)共線注：證明方法與上面的塞瓦定理的逆定理如出一轍，注意分析其相似后面的規(guī)律三、 托勒密定理EM 5托勒密定理及其證明定理：凸四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形，則有 ABCD + BCAD = ACBD證明：設(shè)點(diǎn)M是對角線AC與BD的交點(diǎn)，在線段BD上找一點(diǎn)，使得DAE =BAM因?yàn)锳DB =ACB，即ADE =ACB，所以ADEACB，即得，即 （1）由于DAE =BAM，所以DAM =BAE，

4、即DAC =BAE。而ABD =ACD，即ABE =ACD，所以ABEACD即得 ，即 （2）由（1）+（2）得 所以ABCD + BCAD = ACBD注：巧妙構(gòu)造三角形，運(yùn)用三角形之間的相似推得結(jié)論這里的構(gòu)造具有特點(diǎn)，不容易想到，需要認(rèn)真分析題目并不斷嘗試6托勒密定理的逆定理及其證明定理：如果凸四邊形ABCD滿足ABCD + BCAD = ACBD，那么A、B、C、D四點(diǎn)共圓證法1（同一法）：在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得，則可得ABCD = BEAC （1）且 （2）則由及（2）可得于是有 ADBC = DEAC （3）由（1）+（3）可得 ABCD + BCAD = AC( BE

5、+ DE )據(jù)條件可得 BD = BE + DE，則點(diǎn)E在線段BD上則由，得，這說明A、B、C、D四點(diǎn)共圓 證法2（構(gòu)造轉(zhuǎn)移法） 延長DA到A/，延長DB到B/，使A、B、B/、A/四點(diǎn)共圓延長DC到C/，使得B、C、C/、B/四點(diǎn)共圓（如果能證明A/、B/、C/共線，則命題獲證） 那么，據(jù)圓冪定理知A、C、C/、A/四點(diǎn)也共圓 因此， 可得 . 另一方面，即 欲證=，即證 即 據(jù)條件有 ，所以需證， 即證，這是顯然的所以，即A/、B/、C/共線所以與互補(bǔ)由于，所以與互補(bǔ)，即A、B、C、D四點(diǎn)共圓7托勒密定理的推廣及其證明 定理：如果凸四邊形ABCD的四個頂點(diǎn)不在同一個圓上，那么就有 ABCD

6、 + BCAD ACBD證明：如圖，在凸四邊形ABCD內(nèi)取一點(diǎn)E，使得，則可得ABCD = BEAC （1）且 （2）則由及（2）可得于是 ADBC = DEAC （3）由（1）+（3）可得 ABCD + BCAD = AC( BE + DE )因?yàn)锳、B、C、D四點(diǎn)不共圓，據(jù)托勒密定理的逆定理可知ABCD + BCADACBD所以BE + DEBD，即得點(diǎn)E不在線段BD上，則據(jù)三角形的性質(zhì)有BE + DE BD所以ABCD + BCAD ACBD四、 西姆松定理8西姆松定理及其證明定理：從ABC外接圓上任意一點(diǎn)P向BC、CA、AB或其延長線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線證

7、明：如圖示，連接PC，連接 EF 交BC于點(diǎn)D/，連接PD/因?yàn)镻EAE，PFAF，所以A、F、P、E四點(diǎn)共圓，可得FAE =FEP因?yàn)锳、B、P、C四點(diǎn)共圓，所以BAC =BCP，即FAE =BCP所以，F(xiàn)EP =BCP，即D/EP =D/CP，可得C、D/、P、E四點(diǎn)共圓所以，CD/P +CEP = 1800。而CEP = 900，所以CD/P = 900，即PD/BC由于過點(diǎn)P作BC的垂線，垂足只有一個，所以點(diǎn)D與D/重合，即得D、E、F三點(diǎn)共線注：（1）采用同一法證明可以變被動為主動，以便充分地調(diào)用題設(shè)條件但需注意運(yùn)用同一法證明時的唯一性（2）反復(fù)運(yùn)用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，要

8、掌握好四點(diǎn)共圓的運(yùn)用手法五、 歐拉定理9歐拉定理及其證明定理：設(shè)ABC的重心、外心、垂心分別用字母G、O、H表示則有G、O、H三點(diǎn)共線（歐拉線），且滿足 證明（向量法）：連BO并延長交圓O于點(diǎn)D。連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接OE和OC則 因?yàn)?CDBC，AHBC，所以 AH / CD同理CH / DA所以，AHCD為平行四邊形從而得而，所以因?yàn)椋?由得： 另一方面，而，所以 由得：結(jié)論得證注：（1）運(yùn)用向量法證明幾何問題也是一種常用方法，而且有其獨(dú)特之處，注意掌握向量對幾何問題的表現(xiàn)手法；（2）此題也可用純幾何法給予證明又證（幾何法）：連接OH，AE，兩線段相交于點(diǎn)G/；

9、連BO并延長交圓O于點(diǎn)D；連接CD、AD、HC，設(shè)E為邊BC的中點(diǎn)，連接OE和OC，如圖 因?yàn)?CDBC，AHBC，所以 AH / CD同理CH / DA所以，AHCD為平行四邊形可得AH = CD而CD = 2OE，所以AH = 2OE因?yàn)锳H / CD，CD / OE，所以AH / OE可得AHG/EOG/所以由，及重心性質(zhì)可知點(diǎn)G/就是ABC的重心，即G/與點(diǎn)G重合所以，G、O、H三點(diǎn)共線，且滿足六、 蝴蝶定理10蝴蝶定理及其證明定理：如圖，過圓中弦AB的中點(diǎn)M任引兩弦CD和EF，連接CF和ED，分別交AB于P、Q，則PM = MQ證明：過點(diǎn)M作直線AB的垂線l，作直線CF關(guān)于直線l的對

10、稱直線交圓于點(diǎn)C/、F/，交線段AB于點(diǎn)Q/連接FF/、DF/、Q/F/、DQ/據(jù)圓的性質(zhì)和圖形的對稱性可知：MF/Q/ =MFP，F(xiàn)/Q/M =FPM；且FF/ / AB，PM = MQ/因?yàn)镃、D、F/、F四點(diǎn)共圓，所以 CDF/ +CFF/ = 1800，而由FF/ / AB可得Q/PF +CFF/ = 1800，所以CDF/ =Q/PF，即MDF/ =Q/PF又因?yàn)镼/PF =PQ/F/，即Q/PF =MQ/F/所以有MDF/ =MQ/F/這說明Q/、D、F/、M四點(diǎn)共圓，即得MF/Q/ =Q/DM因?yàn)镸F/Q/ =MFP，所以MFP =Q/DM而MFP =EDM，所以EDM =Q/D

11、M這說明點(diǎn)Q與點(diǎn)Q/重合，即得PM = MQ此定理還可用解析法來證明：想法：設(shè)法證明直線DE和CF在x軸上的截距互為相反數(shù)證：以AB所在直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，M點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)直線DE、CF的方程分別為x = m1 y + n 1，x = m2 y + n 2；直線CD、EF的方程分別為 y = k1 x ，y = k2 x 則經(jīng)過C、D、E、F四點(diǎn)的曲線系方程為 (y k1 x )(y k2 x)+(x m1 yn1)(x m2 y n2)=0整理得(+k1k2)x 2+(1+m1m2)y 2(k1+k2)+(m1+m2)xy (n1+n2)x+(n1m2+n2m1)y+n1n2=0由于C、D、E、F四點(diǎn)在一個圓上，說