中考壓軸題二次函數(shù)與幾何綜合題

1、二次函數(shù)與幾何綜合題典例剖析【典例1】(2019?雅安)已知二次函數(shù) y=ax2 (aw0)的圖象過點(2, - 1),點P (P與O不重合)是圖 象上的一點，直線l過點(0, 1)且平行于x軸.PMH于點M,點F (0, - 1).(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)求證：點P在線段MF的中垂線上； .?.(3)設(shè)直線PF交二次函數(shù)的圖象于另一點Q, QN，l于點N,線段MF的中垂線交l于點R,求的?值；(4)試判斷點R與以線段PQ為直徑的圓的位置關(guān)系.(0：D fn”工<0, 1)【點撥】(1)把點(2, - 1)代入函數(shù)表達式，即可求解；(2 ) y1 = - 1 x12 , 即 x1

2、2 = - 4y1 , PM = |1 - y1| , 又 PF =，(?- 0)2 + (? + 1)2 = '-4? + ? + 2? + 1 = |y1- 1|=PM ,即可求解；(3)證PMRA PFR (SAS)、RtARFQ RtARNQ (HL),即 RN=FR,即 MR = FR=RN,即可求解；(4)在 4PQR 中，由(3)知 PR 平分/ MRF, QR 平分/ FRN,則/ PRQ= (/ MRF+/ FRN) =90° ,即可求解.【解答】解：(1) . y=ax2 (aw0)的圖象過點(2, 1),T = ax 22,即 a=-1y= - ；x2;

3、(2)設(shè)二次函數(shù)的圖象上的點P (Xi, y1),則M (xi, 1),yi= - 4xi2,即 xi2= - 4yi, PM = |1 - yi|,又 PF=，(?？- 0)2 + (? + 1)2 =，-4? + ? + 2? + 1 = |yi- 1|= PM ,即PF = PM, .點P在線段MF的中垂線上；(3)連接RF,R在線段 MF的中垂線上，. MR=FR,又. PM = PF, PR= PR, PMRA PFR (SSS, . / PFR=/PMR=90° ,. RFXPF,連接RQ,又在 RtA RFQ和RtA RNQ中，,.Q 在 y= - 4x2 的圖象上，由

4、(2)結(jié)論知. QF = QN, 1.RQ=RQ,RtARFQ RtA RNQ (HL),即 RN=FR,即 MR=FR=RN, .?= 1 ?'(4)在4PQR 中，由(3)知 PR 平分/ MRF , QR 平分/ FRN,，/PRQ= :(/MRF + /FRN) =90° , .點 R在以線段 PQ為直徑的圓上.【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到三角形全等、中垂線、圓的基本知識等，其中(3),證明PMRPFR (SAS)、RtA RFQ RtA RNQ (HL)是本題解題的關(guān)鍵.【典例2】(2019?資陽)如圖，拋物線y= - ；x2+bx+c過點A (3,

5、 2),且與直線y= - x+2交于B、C兩點， 點B的坐標(biāo)為(4, m).(1)求拋物線的解析式；(2)點D為拋物線上位于直線 BC上方的一點，過點 D作DEx軸交直線BC于點巳點P為對稱軸上一動點，當(dāng)線段 DE的長度最大時，求 PD+PA的最小值；(3)設(shè)點M為拋物線的頂點，在 y軸上是否存在點 Q,使/ AQM = 45° ?若存在，求點 Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【點撥】(1)將點B的坐標(biāo)為(4, m)代入y = - x+ 2, m= - 4+ 7 = - 2, B的坐標(biāo)為(4, - g),將A (3, 2), B (4, - 1-)代入 y= - 2x2+bx+c,解

6、得 b=1, c= 7,因此拋物線的解析式 y= - 1?2 + ?+ 2;(2)設(shè) D(m, - 2?2+ ?+ g),則 E(m, - m+ 2),DE= (- 2?2 + ?+ 2) - ( - m+ Z) = - 2 ?2 + 2?=-1 (m-2) 2+2,當(dāng)m= 2時，DE有最大值為2,此時D (2, 7),作點A關(guān)于對稱軸的對稱點 A',連 接A'D,與對稱軸交于點 P. PD + PA=PD+FA'= A'D,此時PD+PA最?。?3)作 AHy 軸于點 H,連接 AM、AQ、MQ、HA、HQ,由 M (1, 4), A (3, 2),可得 AH

7、 = MH = 2,1 ,H (1, 2)因為/ AQM = 45° , /AHM = 90° ,所以/ AQM = 22AHM，可知 AQM外接圓的圓心為 H，于是 QH = HA=HM = 2 設(shè) Q (0, t),則，(0 - 1)2+ (? 2) 2 = 2, t = 2+西或 2- v3,求得符合題意的點Q 的坐標(biāo)：Q1 (0, 2- v3)、Q2 (0, 2+v3).【解答】解：(1)將點B的坐標(biāo)為(4, m)代入y= - x+ 2，m= - 4+ 2 = - 2? ' B 的坐標(biāo)為(4, - 2),將 A (3, 2), B (4, - 1)代入 y=

8、 - 1x2+bx+c,-1 X 32+3?+?=27172.解得b= 1,c=7,，拋物線的解析式y(tǒng)= -AQM= y AHM ,可知 AQM外接圓的圓心為 H,設(shè) Q (0, t), ?2 + ?+ 7;-1x42+4?+?=-2222(2)設(shè) D (m, - 2?1+ ?+ 7),則 E (m, m+ (),1 O7、，7、1 C12DE= (- 2?+ ?+ 2) (m+ 7)= - 2?2+2?= - 2(m2) 2+2,當(dāng)m=2時，DE有最大值為2,此時D (2, 7),作點A關(guān)于對稱軸的對稱點 A',連接A'D,與對稱軸交于點 P.PD+PA= PD + RA&#

9、39; = A'D,此時 PD+PA 最小,- A (3, 2),A' ( - 1, 2),A'D= V(-1 - 2)2+ (2 -夕2= 2v5,即PD + PA的最小值為3 /5；QH = HA= HM = 2(3)作 AH，y 軸于點 H,連接 AM、AQ、MQ、HA、HQ, .拋物線的解析式y(tǒng)= - 2?3+ ?kg,M (1, 4),- A (3, 2),-.AH = MH=2, H (1, 2). / AQM =45° ,/AHM = 90° , 1貝U，(0- 1)2+ (? 2)2 = 2,t=2+ v3或 2- v3，符合題意的點

10、 Q的坐標(biāo)：Qi (0, 2- v3)、Q2 (0, 2+西).【點睛】本題考查了二次函數(shù)，熟練運用二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)與一次函數(shù)的性質(zhì)以及圓周角定理是解 題的關(guān)鍵.壓軸精練【精練1】(2019?百1. (2019?百色)已知拋物線 y=mx2和直線y=-x+b都經(jīng)過點M (-2, 4),點。為 坐標(biāo)原點，點P為拋物線上的動點，直線 y=- x+b與x軸、y軸分別交于A、B兩點.(1)求m、b的值；(2)當(dāng) PAM是以AM為底邊的等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)；(3)滿足(2)的條件時，求 sin/ BOP的值.【點撥】(1)根據(jù)點M的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求出m, b的值；(2)由(1)可得出拋

11、物線及直線 AB的解析式，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點A的坐標(biāo)，設(shè)點P的坐標(biāo)為(x, x2),結(jié)合點A, M的坐標(biāo)可得出FA2, PM2的值，再利用等腰三角形的性質(zhì)可得出 關(guān)于x的方程，解之即可得出結(jié)論；(3)過點P作PNy軸，垂足為點 N,由點P的坐標(biāo)可得出PN, PO的長，再利用正弦的定義即可求 出sin / BOP的值.【解答】解：(1)將M ( - 2, 4)代入y=mx2,得：4= 4m,m= 1;將 M ( 2, 4)代入 y= x+b,得：4= 2+b,b = 2.(2)由(1)得：拋物線的解析式為 y=x2,直線AB的解析式為y=-x+2.當(dāng) y = 0 時，-x+2

12、 = 0,解得：x=2,.點A的坐標(biāo)為(2,0), OA=2.設(shè)點 P 的坐標(biāo)為(x, x2),貝U PA2= (2 x) 2+ (0 x2) 2=x4+x2- 4x+4, PM2= ( 2-x) 2+ (4 x2) 2=x4-7x2+4x+20. PAM是以AM為底邊的等腰三角形，PA2= PM2,即 x4+x2 4x+4 = x4 7x2+4x+20 ,整理，得：x x- 2=0,解得：xi = - 1 , x2= 2，.二點 P 的坐標(biāo)為(-1,1)或(2, 4).?交v2,sin / BOP= -?/= 2" ；(3)過點P作PNy軸，垂足為點N,如圖所示.?專? T當(dāng)點 P

13、 的坐標(biāo)為（-1, 1）時，PN=1, PO= VI2 + 12當(dāng)點 P 的坐標(biāo)為（2, 4）時，PN = 2, PO= VX + 42 =2不,sin/BOP=. 、萬、石滿足(2)的條件時，sin / BOP的值的值為；或-胤.彳曲【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理以及解直角三角形，解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出 m, b的值；(2)利用勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，找出關(guān)于x的方程；(3)通過解直角三角形，求出 sin/BOP的值.【精練2】(2019?濟南)如圖1,拋物線C

14、： y=ax2+bx經(jīng)過點A (- 4, 0)、B (- 1, 3)兩點，G是其頂點,將拋物線C繞點O旋車專180。，得到新的拋物線 C' .(1)求拋物線C的函數(shù)解析式及頂點 G的坐標(biāo)；(2)如圖2,直線l： y = kx- -5-經(jīng)過點A, D是拋物線C上的一點，設(shè) D點的橫坐標(biāo)為 m (mv-2),連接DO并延長，交拋物線 C'于點巳交直線l于點M,若DE = 2EM ,求m的值；(3)如圖3,在(2)的條件下，連接AG、AB,在直線DE下方的拋物線 C上是否存在點 P,使得/ DEP =/ GAB?若存在，求出點 P的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.圖1圖2圖3a和b的值

15、和【點撥】(1)運用待定系數(shù)法將 A (-4, 0)、B ( - 1, 3)代入y=ax2+bx中，即可求得拋物線C解析式，再利用配方法將拋物線C解析式化為頂點式即可求得頂點G的坐標(biāo)；(2)根據(jù)拋物線C繞點。旋轉(zhuǎn)180。，可求得新拋物線 C'的解析式，再將A ( - 4, 0)代入y=kx- 125中，即可求得直線l解析式，根據(jù)對稱性可得點 E坐標(biāo)，過點D作DH / y軸交直線l于H,過E作EK/y軸交直線l于K,由DE = 2EM,即可得？?= 1,再證明 MEKs MDH ,即可得 DH=3EK,建立 ?3方程求解即可;(3)連接 BG,易證4ABG 是 Rt, / ABG = 9

16、0° ,可得 tan/DEP = tan/GAB= 1,在 x 軸下方過點 O3作OH LOE,在OH上截取OH= 1OE= v2,過點E作ETy軸于T,連接EH交拋物線C于點P,點P3即為所求的點；通過建立方程組求解即可.【解答】解:(1)將 A (- 4,0)、B (T,3)代入y = ax2+bx中，得16?- 4?= 0?- ?= 3解得?: -4拋物線C解析式為：y= - x2 - 4x,配方，得：y= -x24x= ( x+2) 2+4,頂點為：G (2, 4);(2)二拋物線C繞點。旋轉(zhuǎn)180° ,得到新的拋物線 C'. 新拋物線C'的頂點為：

17、G' (2, -4),二次項系數(shù)為：a' = 1新拋物線 C'的解析式為：y= (x-2) 2- 4 = x2- 4x將A ( - 4, 0)代入y=kx-中，得0= - 4k-,解得k= - 3, 直線l解析式為y= - 3x-烏, 55555設(shè) D (m, - m24m), D、E 關(guān)于原點 O 對稱，. OD = OE-DE = 2EM . OM = 2OD ,過點D作DFx軸于F,過 M作MRx軸于R,OFD = / ORM,? ? ? . Z DOF =Z MOR.-.A ODFA OMR . .= =有?=2 . . OR= 2OA, RM = 2DF M

18、(-2m, 2m2+加).2次+刎=- |?(-2m)-號解得：m1=3, mv 2, m 的值為：3;BG2=2, AG2=20(3)由(2)知：m=- 3, D ( 3, 3), E (3, - 3), OE = 3V2,如圖 3,連接 BG,在 ABG 中，= AB2= ( 1+4) 2+ (30) 2=18,AB2+BG2= AG2 .ABG 是直角三角形，/ ABG = 90° , . . tan/GAB=底?：上2 = 1,? 3,23 . / DEP = Z GAB，tan/ DEP=tan/GAB= 1,3在x軸下方過點。作OHOE,在OH上截取OH=1oE=，2,3

19、過點E作ET，y軸于T,連接EH交拋物線C于點P,點P即為所求的點;E (3, - 3),EOT=45,.Z EOH =90° .,/ HOT = 45° . H (-1, - 1),設(shè)直線 EH 解析式為 y= px+q,則3?+?=-3 解得?=-?+?= -1 ' g可?= -13解方程組"= - 2 - 2 ,得 ?= -?2 - 4?12,直線EH解析式為32-7- 質(zhì) _?=?=?= ?=1 2x-32,-7+不4_ ，點P的橫坐標(biāo)為:，73+5 - 87+ 質(zhì)7V73-7一一或44【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，

20、旋轉(zhuǎn)變換，相似三角形判定和性 質(zhì)，直線與拋物線交點，解直角三角形等知識點；屬于中考壓軸題型，綜合性強，難度較大.【精練3】(2019?營口)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax2+bx+c過點A (T, 0), B (3, 0),與y軸交于點C,連接AC, BC,將 OBC沿BC所在的直線翻折，得到 DBC ,連接OD .(1)用含a的代數(shù)式表示點 C的坐標(biāo).(2)如圖1,若點D落在拋物線的對稱軸上，且在 x軸上方，求拋物線的解析式.?2(3)設(shè) OBD的面積為Si, 4OAC的面積為S2,若=求a的值.?3國1備用國【點撥】(1)拋物線的表達式為：y=a (x+1) (x- 3) = a (x

21、2-2x- 3),即可求解;? ?而?=有?即可求解;、一一.？(2)證明 CPDA DQB,則一= ?2= 2，皿=等，HN=2DM=?Hoc5HN2=oNxBN=8=謂)2,即可求解.【解答】解：(1)拋物線的表達式為：y=a (x+1) (x-3) =a(x2-2x-3),即 c= - 3a,則點 C (0, -3a);(2)過點B作y軸的平行線BQ,過點D作x軸的平行線交y軸于點P、交BQ于點Q,. /CDP+/PDC = 90° , Z PDC + Z QDB = 90° , ./ QDB =Z DCP ,設(shè)：D (1, n),點 C (0, - 3a),/ CP

22、D=Z BQD = 90° ,.,.CPDA DQB ,?一? ?- ?其中：CP=n+3a, DQ = 3- 1=2, PD = 1, BQ=n, CD = - 3a, BD = 3,將以上數(shù)值代入比例式并解得:a<0,故 a=,5故拋物線的表達式為：y= - ?x2+2,5 十(3)如圖2,當(dāng)點C在x軸上方時，連接OD交BC于點H ,則DO，BC,過點H、D分別作x軸的垂線交于點 N、M13 一Si = Saobd= 2 XOBX DM = DM ,S2= Sa oac= 1xixm 而= 2?238 3'則 DM=等，HN= 1DM= ?= 1OC, 9299BN

23、= 1BO= 1,貝U ON = 3- 1933則 DOBC, HNXOB,則/ BHN = / HON ,貝U tan/ BHN = tan/ HON ,貝U HN2=ONX BN= 8 = (?) 2, 9'9解得：m=±6v2(舍去負(fù)值)，CO= |-3a|=6v2,解得：a =-2/ (不合題意值已舍去)，故：a= - 2v2 .當(dāng)點C在x軸下方時，同理可得： a= 2v2 ;故：a= - 2V2或a= 2V2【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、三角形相似、圖形的面積計算等，其中(3)用幾何方法得出：HN2=ONXBN= 8= (=)2,是本題解題的

24、關(guān)鍵.99【精練4】(2019?撫順)如圖，拋物線 y=ax2+bx-3與x軸交于A ( - 1, 0), B (3, 0)兩點，與y軸交于 點C,點D是拋物線的頂點.(1)求拋物線的解析式.(2)點N是y軸負(fù)半軸上的一點，且 ON= v2,點Q在對稱軸右側(cè)的拋物線上運動，連接QO, QO與拋物線的對稱軸交于點 M,連接MN,當(dāng)MN平分/ OMD時，求點Q的坐標(biāo).(3)直線BC交對稱軸于點E, P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點，請直接寫出PCE與4ACD全等時點P的坐標(biāo).備用國【點撥】(1)用待定系數(shù)法，直接將 AB代入解析式即可求解.(2)由MN平分/ OMD, MD平行ON即可求出OM=ON= v2,繼

25、而得出 M點坐標(biāo)，由直線 OM解析式即可求出與拋物線交點坐標(biāo)Q即可.(3) ACD三點的坐標(biāo)可得 ACD三角形三邊長，由 CE坐標(biāo)可得， PCE和4ACD中CD = CE,則另兩組邊對應(yīng)相等即可，設(shè)P點坐標(biāo)為(x, v)；利用兩點間距離公式即列方程求解.【解答】解：(1)二拋物線y=ax2+bx- 3經(jīng)過A(T,0), B (3, 0)兩點，? ? 3= 0.19?+ 3?- 3=0'解得：筐2，拋物線的解析式為：y=x2-2x-3.(2)如圖1,設(shè)對稱軸與x軸交于點H, MN 平分/ OMD , ./ OMN =/ DMN ,又 DM / ON, ./ DMN =Z MNO , ./

26、 MNO = Z OMN , .OM = ON=亞.在 RtAOHM 中，/ OHM = 90° , OH = 1. .?=，?- ?= V( v2) 2 - 1 = 1 ,，M1 ( 1, 1); M2 (1 , T).當(dāng)M1 (1, 1)時，直線OM解析式為：y=x,依題意得：x= x2-2x- 3.解得：？=?+m, ?=3-/,點Q在對稱軸右側(cè)的拋物線上運動,?叱3+ 212)當(dāng)M2 (1 ,1）時，直線OM解析式為：y= - x,同理可求：？（1+0，綜上所述：點q的坐標(biāo)為：？（亭，3+m）, ?（上干，-三3），(3)由題意可知：A ( 1, 0), C (0, - 3)

27、, D (1, 4),l- AC=，(-1 - 0)2 + (0 + 3)2 = a/o",AD= V(-1 - 1)2 + (0 + 4)2 = 2 V5 ,CD= a/(0- 1)2 + (-3 + 4)2 = v2 , 直線 BC 經(jīng)過 B (3, 0), C (0, - 3),直線BC解析式為y= x- 3, 拋物線對稱軸為 x= 1,而直線BC交對稱軸于點E, .E 坐標(biāo)為(1, - 2); 1- CE= a/(0- 1)2 + (-2 + 3)2 = v2 ,設(shè)P點坐標(biāo)為(x, y),貝U CP2= (x 0) 2+ (y+3) 2,貝U EP2= (xT) 2+ (y+

28、2) 2. CE=CD,若 PCE與AACD全等，有兩種情況，I. PC=AC, PE = AD,即PCEMCD.(?- 0)2 + (?+ 3)2 = 10(?- 1)2 + (?+ 2)2 = 20'? = -3) = -1斛倚：?= -4，? = -6，即P點坐標(biāo)為Pi （ - 3, 4), P2 ( 1,6).n. PC=AD, PE = AC,即PCEMCD.(?- 0)2 + (?+ 3)2 = 20.Y(?- 1)2+ (?+ 2)2 = 10'解彳曰 i ? = 2 i ? = 4斛G ? = 1, ?= -i '即 P 點坐標(biāo)為 P3 (2, 1),

29、P4 (4, T).故若 PCE與 AACD 全等，P 點有四個，坐標(biāo)為 P1 (-3,-4),P2( - 1, -6),P3(2,1),P4 (4,1 ) .【點睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng).要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系.【精練5】(2019?鞍山)在平面直角坐標(biāo)系中， 過點A (3,4)的拋物線y= ax2+bx+4與x軸交于點B(- 1,0),與y軸交于點 C,過點A作ADx軸于點D.圖1圖2(1)求拋物線的解析式.(2)如圖1,點P是直線AB上方拋物線上的一個動點，連接

30、PD交AB于點Q,連接AP,當(dāng)S“qd= 2saapq時，求點P的坐標(biāo).(3)如圖2, G是線段OC上一個動點，連接 DG ,過點G作GM LDG交AC于點M ,過點M作射線 MN,使/ NMG = 60° ,交射線 GD于點N;過點G作GH，MN ,垂足為點H ,連接BH .請直接寫出線段BH的最小值.【點撥】(1)利用待定系數(shù)法求解可得；(2)作PE / x軸，交AB于點E,由SaAQD= 2Saapq且 AQD與 APQ是等高的兩個三角形知 -?=? 2證PaEs DQB得竺?= 竺?=1,據(jù)此求得PE=2,求得直線AB的解析式為y= x+1 ,設(shè)E (x,x+1), ? ?

31、2知P (x-2, x+1),將點P坐標(biāo)代入y= - x2+3x+4求得x的值，從而得出答案；(3)證/ GHM =90° ,再證點 C、G、H、M共圓得/ GCH = /GMH=60° ,據(jù)此知點 H在與y軸夾角為60°的定直線上，從而得BHXCH時，BH最小，作HPx軸，并延長PH交AC于點Q,證/ BHP、一，_v3_=/ HCM =30 ，設(shè) OP = a，知 CQ = a，從而得 QH=百a,BP= 1 + a,在 RtABPH 中，得出 HP= v3(a+1),BH=2 (1 + a),根據(jù)QH + HP = AD = 4可求得a的值，從而得出答案.【

32、解答】解：(1)將點 A (3, 4), B (- 1, 0)代入 y = ax2+bx+4,得：9?+4=4,解得?=-1，. y=_x2+3x+4；?- ?+ 1 = 0?= 3(2)如圖1,過點P作PE/x軸，交AB于點E,卻 A (3, 4) , ADx軸,D (3, 0),- B ( - 1, 0),BD = 3- (- 1) = 4,. Saaqd= 2Saapq, AQD與 APQ是等高的兩個三角形,? 1一=一, ? 2 PE/ x軸,PQEA DQB ,? ? 1- = 1? ? 2? 1一=", 42PE= 2,，可求得直線 AB的解析式為y=x+1,設(shè) E (x

33、, x+1),則 P (x-2, x+1),將點 P 坐標(biāo)代入 y= - x2+3x+4 得-(x+2) 2+3 (x+2) +4= x+1 ,解得 x1=3+v2, x2= 3- v2,當(dāng) x = 3+ v2 時，x 2 = 3+ v2 - 2=1+ v2, x+1 =3+ v2 +1=4+ v2, 點 P (1+ v2, 4+ ；當(dāng) x = 3- v2時，x 2 = 3- v2 - 2= 1- v2, x+1 =3- v2 +1=4- v2,P (1- v2, 4- v2), 點P是直線AB上方拋物線上的一個動點，-1V x- 2V 3,.點P的坐標(biāo)為(1+/，4+ 0)或(1- v2,

34、4-遮)；(3)由(1)得，拋物線的解析式為 y=- x2+3x+4, C (0, 4), A (3, 4), .AC/ x軸, ./ OCA= 90° , GHXMN , ./ GHM =90° ,在四邊形 CGHM 中，/ GCM+Z GHM = 180° , 點 C、G、H、M 共圓，如圖2,連接CH,則/ GCH =Z GMH = 60° ,，點H在與y軸夾角為60°的定直線上,當(dāng)BHXCH時，BH最小，過點 H作HP，x軸于點P,并延長PH交AC于點Q, . / GCH =60° , ./ HCM =30° ,又

35、BHXCH, ./ BHC= 90° , ./ BHP = Z HCM =30設(shè) OP = a,則 CQ = a,.QH =- B ( - 1, 0),.OB = 1,BP= 1 + a,? 一在 RJBPH 中，HP= ?30V3( a+1),_? 一 ,、BH =?3020(1+a), QH+HP = AD= 4,v3"33+ v3 ( a+1) = 4,解得a=粵3-，BH 最小=2 (1 + a) = W+1【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用等知識點.【精練6】(2019?柳州)

36、如圖，直線y=x-3交x軸于點A,交y軸于點C,點B的坐標(biāo)為(1, 0),拋物線 y=ax2+bx+c (aw0)經(jīng)過A, B, C三點，拋物線的頂點為點 D,對稱軸與x軸的交點為點 E,點E關(guān)于 一 ,一 1原點的對稱點為F,連接CE,以點F為圓心，2CE的長為半徑作圓，點P為直線y=x - 3上的一個動點.(1)求拋物線的解析式；(2)求 BDP周長的最小值；(3)若動點P與點C不重合，點Q為。F上的任意一點，當(dāng) PQ的最大值等于3CE時，過P, Q兩點的直線與拋物線交于 M, N兩點(點M在點N的左側(cè))，求四邊形ABMN的面積.【點撥】(1)直線y=x- 3,令x= 0,則y= - 3,

37、令y=0,則x=3,故點A、C的坐標(biāo)為(3, 0)、(0,-3),即可求解；(2)過點B作直線y=x- 3的對稱點B',連接BD交直線y=x-3于點P,直線B' B交函數(shù)對稱軸 與點G,則此時 BDP周長=BD+PB+PD = BD+B' B為最小值，即可求解；(3)如圖2所示，連接PF并延長交圓與點 Q,此時PQ為最大值，即可求解.【解答】解：(1)直線y= x- 3,令x=0,則y= 3,令y= 0,則x= 3,故點A、C的坐標(biāo)為(3, 0)、(0, -3),則拋物線的表達式為：y= a (x-3) (x- 1) = a (x2-4x+3),則 3a= - 3,解得

38、：a= - 1,故拋物線的表達式為：y= - x2+4x-3；(2)連接DB'交于直線于P;即點G是BB'的中點，過點 B' ( 3, - 2), BDP周長最小值= BD + B' B= v2+ V而；(3)如圖2所示，連接PF并延長交圓與點 Q,此時PQ為最大值,點 A、B、C、E、F 的坐標(biāo)為(3, 0)、(1, 0)、(0, 3)、(2, 0)、( 2, 0),則 CE= v13, FQ= ；CE,則 PF= 3CE- 1CE= V13, 22'設(shè)點 P (m, m3),點 F (2, 0),PF2=13= (m-2) 2+ (m-3) 2,解得

39、：m=1,故點 P (1, - 2),將點P、F坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達式并解得：直線PF的表達式為：y= - 2x- 433聯(lián)立并解得:x=7±v34-26-2*4),26+8 ，34故點 M、N的坐標(biāo)分別為：(7卷4 , -26+2 "4 )、 39過點M、N分別作x軸的垂線交于點 S、R,貝 U S 四邊形 ABMN= S 梯形 NRSM Sa ARN- Sa SBM=【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、點的對稱性、圖形的面積計算等，其中(3),確定PQ最值時，通?？紤]直線過圓心的情況，進而求解.【精練7】(2019?常州)如圖，二次函數(shù)y=- x2+b

40、x+3的圖象與x軸交于點A、B,與y軸交于點C,點A的坐標(biāo)為(-1, 0),點D為OC的中點，點P在拋物線上.(1) b=2 ；(2)若點P在第一象限，過點 P作PHx軸，垂足為H, PH與BC、BD分別交于點 M、N.是否存在 這樣的點P,使得PM = MN = NH?若存在，求出點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；(3)若點P的橫坐標(biāo)小于3,過點P作PQLBD,垂足為Q,直線PQ與x軸交于點R,且Sapqb=2SaQRB,求點P的坐標(biāo).【點撥】(1)把點A坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即求得b的值.(2)求點B、C、D坐標(biāo)，求直線 BC、BD解析式.設(shè)點 P橫坐標(biāo)為t,則能用t表示點P、M、N、H

41、 的坐標(biāo)，進而用含t的式子表示PM、MN、NH的長.以PM=MN為等量關(guān)系列得關(guān)于 t的方程，求得t 的值合理(滿足 P在第一象限)，故存在滿足條件的點 P,且求得點P坐標(biāo).(3)過點P作PF，x軸于F,交直線BD于E,根據(jù)同角的余角相等易證/ EPQ = /OBD,所以cos/EPQ = cos/ OBD= "，即在 RtA PQE 中，cos/ EPQ=吧? 2-5;在 RtA PFR 中，cos/ RPF= ?=空,5?5? 5進而得PQ= 25-5-PE, PR=弁F.設(shè)點P橫坐標(biāo)為t,可用t表示PE、PF,即得到用t表示PQ、PR.又由S*QB= 2saQRB易得PQ=2QR.要對點P位置進行分類討論得到 PQ與PR的關(guān)系，即列得關(guān)于 t的方程.求得t的值要注意是否符合各種情況下 t的取值范圍.【解答】解：(1)二.二次函數(shù)y= - x2+bx+3的圖象與x軸交于點A ( 1, 0)，一1 b+3 = 0解得：b=2故答案為：2.(2)存在滿足條件呢的點P,使得PM=MN = NH.,一二次函數(shù)解析式為 y= - x2+2x+3當(dāng) x= 0 時 y= 3,.C (0, 3)當(dāng) y = 0 時，-x2+2x+3=