高中數(shù)學(xué)論文：巧解外接球的問題

1、巧解外接球問題如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的接多面 體，這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是 高考考查的一個(gè)熱點(diǎn).考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球 問題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元 素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作 用.一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1 （2006年高考題）若棱長為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積 為 .解析：要求球的表面積，只要知道球的半徑即可.因?yàn)檎?/p>

2、體接于球，所以它的體對(duì)角 線正好為球的直徑，因此，求球的半徑可轉(zhuǎn)化為先求正方體的體對(duì)角線長，再計(jì)算半徑.故 表面積為27乃.例2 一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24,則該球 的體積為.解析：要求球的體積，還是先得求出球的半徑，而球的直徑正好是正方體的體對(duì)角線, 因此，由正方體表面積可求出棱長，從而求出正方體的體對(duì)角線是2g所以球的半徑為小. 故該球的體積為46r.2、求長方體的外接球的有關(guān)問題例3 （2007年高考題）一個(gè)長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱 長分別為L2,3,則此球的表面積為解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因?yàn)殚L方體接于球，所以它的體對(duì)角線

3、正好為球的直徑。 長方體體對(duì)角線長為故球的表面積為14尸.例4、（2006年全國卷I）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積為（A. 16加D. 327r解析：正四棱柱也是長方體。由長方體的體積16及高4可以求出長方體的底面邊長為 2,因此，長方體的長、寬、高分別為2, 2, 4,于是等同于例3,故選C.3.求多面體的外接球的有關(guān)問題例5. 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同9一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為底面周長為3,則這個(gè)球的體積為解設(shè)正六棱柱的底面邊長為X,6x = 3,9人也九-=6x x h,高為力，則有1841&#

4、39; - 25h = 5/3.1, W正六棱柱的底面圓的半徑5,球心到底面的距離 2 .，外接球的半徑1/44R = F不= ?小結(jié) 本題是運(yùn)用公式店=/+/求球的半徑的，該公式是求球的半徑的常用公式.二、構(gòu)造法(補(bǔ)形法)1、構(gòu)造正方體例5 (2008年高考題)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長均為則其外接 球的表面積是.解析：此題用一般解法，需要作出棱錐的高，然后再設(shè)出球心，利用直角三角形計(jì)算球 的半徑.而作為填空題，我們更想使用較為便捷的方法，所以三條側(cè)棱兩兩垂直，使我們很 快聯(lián)想到長方體的一個(gè)角，馬上構(gòu)造長方體，且側(cè)棱長均相等，所以可構(gòu)造正方體模型，如 圖1,則AC=BC=CD =

5、J§,那么三棱錐的外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，故所求表面積是9%.(如圖1)例3若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長均為正，則其外接球的表面積是.解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，把這個(gè)三棱卷可以補(bǔ)成一個(gè)棱長為 、存的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球.)9口 (2R=(一 +(一 + (.=9 R-設(shè)其外接球的半徑為R,則有' f J /.4.故其外接球的表面積5=4乃=9%.小結(jié) 一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長度分別為。、區(qū)。，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，于是長方體的體對(duì)角線的長就是該三棱錐的外接球的直 徑.設(shè)其外接球的半徑

6、為R,則有2/? =，？+?+?.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長方體?！驹怼浚洪L方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為，則體對(duì)角線長為，幾何體的外 接球直徑為體對(duì)角線長即【例題】：在四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長度分別為，若該四面體的四個(gè) 頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L方體外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線長由于所有棱長都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個(gè)正方體,再尋找棱長相等的四面體，如圖2,四面體4一8£應(yīng)滿足條件，即AB二AD=AE=BD=DE = BE = J凌，由此可求得正方體的棱長為1,體對(duì)角線為6,從 而外接球的直徑也

7、為近，所以此球的表面積便可求得，故選A.（如圖2）例7 （2006年高考題）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2, NDAB=60。，E為AB的中點(diǎn)，將AADE與ABEC分布沿ED、EC向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P,則三棱錐P-DCE的外接球的體積為（）A.27B. 2瓜兀 TCC. 8D. 24解析：（如圖 3）因?yàn)?AE=EB=DC=1, ZDAB=ZCBE=ZDEA=60° t 所以AD = AE=EB=BC=DC=DE=CE= 11即三棱錐P-DCE為正四面體，至此，這與例6就完全相同了，故選C例 8 （2008 年高考題）已知球。的面一、B、C、D, DAJHhlABC,

8、 AB_L8C, 圖3DA二AB=BC=JJ,則球0的體積等于解析：本就同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求出球的半徑.而利用長方體模型很快便可找到球的直徑，由于DA_L平面ABC, ABXBC,聯(lián)想長方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造如圖4所示的長方體，又因?yàn)镈A=AB=BC二,則此長方體為正方體，所以CD長9一71即為外接球的直徑，利用直角三角形解出CD=3 .故球。的體積等于2 .（如圖4）解析：首先可聯(lián)想到例8,構(gòu)造下面的長方體，于是AD為球的直徑，。為球心,OB=OC=4為半徑，要求七C兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出N3OC即可，在用中,三.多面體幾何性質(zhì)法例2已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱

9、的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面 積是A. 167r b. 20% C. 24/ d. 32笈解 設(shè)正四棱柱的底面邊長為x,外接球的半徑為R,則有4/=16,解得x = 2.2R = V22 +22 +4- = 2>/6,=亞.這個(gè)球的表面積是44店=24萬.選c.小結(jié)本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.四.尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐S-A38的底面邊長和各側(cè)棱長都為衣,點(diǎn)S、A、B、C、。都 在同一球面上，則此球的體積為解 設(shè)正四棱錐的底面中心為°外接球的球心為°,如圖1所示.由球的截面的性質(zhì)，可得°。1，平面A

10、8C°又SOi _L平面A8C。，.球心O必在SOi所在的直線上./. MSC的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在 A4SC 中，由 SA = SC = " AC = 29 得以2+5。2=4。2 AASC是以AC為余|邊的RtA AC t1Z 4 乃=1V球=二. 2是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故3 .小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截 面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球 半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問題

11、 轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).五.確定球心位置法例5在矩形48。中，AB = 4,BC = 3沿AC將矩形A8CO折成一個(gè)直二面角B-AC-D,則四面體A88的外接球的體積為125125125125萬乃冗A. 12B. 9C. 6D. 3解 設(shè)短形對(duì)角線的交點(diǎn)為0,則由矩形對(duì)角線互相平分，可知0A = 08 = = 8.點(diǎn)0到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、。的距離相等，即點(diǎn)°為四面體的外接球的球心，R = OA = 球=± 冗 R =冗如圖2所示. 外接球的半徑2 .故 36 .選c.出現(xiàn)兩個(gè)垂直關(guān)系，利用直角三角形結(jié)論?！驹怼浚褐苯侨切涡边呏芯€等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)。【例題】：已知三棱