因式分解培優(yōu)題(超全面、詳細分類)

1、精品文檔因式分解專題培優(yōu)把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解. 因式分解的方法多種多樣，現(xiàn)將初中階段因式分解的常用方法總結如下：因式分解的一般方法及考慮順序：1、基本方法：提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法2、常用方法與技巧：換元法、主元法、拆項法、添項法、配方法、待定系數(shù)法3、考慮順序：(1 )提公因式法；(2)公式法；(3 )十字相乘法；(4)分組分解法一、運用公式法在整式的乘、除中， 我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用， 即為因式分解中常用 的公式，例如：(1)a2 b2=(a+b)(a b) ；(2)a2± 2ab+b2=(a

2、77; b)2 ；(3)a3+b3=(a+b)(a2 ab+b2)；(4)a3 b3=(a b)(a2+ab+b2) 下面再補充幾個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3 3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2 ab bc ca) ；anbn=(ab)(an 1+an 2b+an 3b2+ Tabn 2+bn 1),其中 n 為正整數(shù)； (8)anbn=(a+b)(an 1 an 2b+an 3b2 Tabn 2bn 1),其中 n 為偶數(shù)； (9)an+bn=(a+b)(an 1 an 2b+an 3b2 一abn 2+bn

3、1),其中 n 為奇數(shù). 運用公式法分解因式時，要根據(jù)多項式的特點，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當?shù)剡x擇公式例題 1 分解因式：(1)2x5n1yn+4x3n1yn+22xn1yn+4；(2)x3 8y3 z3 6xyz；(3)a2+b2+c2 2bc+2ca 2ab；例題2 分解因式：a3+b3+c33abc.例題 3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1.對應練習題分解因式:2n n 121X x 9y -；(2) x10+x52(3)x4 2x2y2 4xy3 4x3y y2(4x2(4) (x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5(5) 9(a- b)2+12(a2-

4、b2)+4(a+b)2(6) (a- b)2- 4(a- b- 1)(x+y)3+2xy(1 xy)1二、分組分解法（一）分組后能直接提公因式例題 1 分解因式： am an bm bn分析： 從“整體” 看， 這個多項式的各項既沒有公因式可提， 也不能運用公式分解， 但從 “局部”看，這個多項式前兩項都含有a,后兩項都含有 b,因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系 . 此類型分組的關鍵：分組后，每組內(nèi)可以提公因式，且各組分解后，組與組之間又有公因式可以提.例題 2 分解因式： 2ax 10ay 5by bx對應練習題 分解因式：21、 a ab ac

5、bc2、 xy x y 1（二）分組后能直接運用公式例題3分解因式：x2y2ax ay例題4分解因式：a22ab b2 c2對應練習題 分解因式：222223、 x x 9y 3y4、 x y z 2yz綜合練習題 分解因式：3221 ) x x y xy222) ax2 bx2 bx ax a b3) x2 6xy 9y2 16a2 8a 1224) a2 6ab 12b 9b2 4a5) a4 2a3 a2 922226) 4a x 4a y b x b y227) x 2xy xz yz y228) a2 2a b2 2b 2ab 19) y(y 2) (m 1)(m 1)10) (a

6、c)(a c) b(b 2a)11) a2(b c) b2(a c) c2(a b) 2abc43223412) a 2a b 3a b 2ab b .2213) (ax by) (ay bx)333333314) xyz(x y z ) y z z x33 xy42215 ) x 2ax x a a3216) x 3x (a 2)x 2a17) (x 1)3 (x 3)3 4(3x 5)精品文檔 x2 y2 5x2y 6x22.2(6) m 4mn 4n 3m 6n 2三、十字相乘法1、十字相乘法(一)二次項系數(shù)為1的二次三項式2直接利用公式 x (p q)x pq (x p)(x q)進行

7、分解.特點：(1)二次項系數(shù)是1;(2)常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；(3) 一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和.例題1 分解因式：x2 5x 6例題2分解因式：x2 7x 6對應練習題分解因式： x2 14x 24(2)a2 15a 36 x2 4x 524222(4) x x 2(5) y 2y 15(6) x 10x(二)二次項系數(shù)不為1二次三項式ax2 bx c條件：(1) a a1a2a1, c1(2) c C1C2azCz(3) b ag a2Gb ag a2G分解結果：ax2 bx c =(a1x G)(a2x c2)例題3分解因式：3x2 11x 10 對應練習題分解因式:2 rc(2)

8、3x 7x 2一 2 一 "(1) 5x 7x 6（三）二次項系數(shù)為1的齊次多項式例題4 分解因式：a2 8ab 128b2分析：將b看成常數(shù)，把原多項式看成關于a的二次三項式，利用十字相乘法進行分解8b 16b8b+( 16b尸-8b對應練習題分解因式:22 x 3xy 2y22(2) m 6mn 8na2 ab 6b2（四）二次項系數(shù)不為1的齊次多項式 例題5分解因式：2x2 7xy 6y2例題6 分解因式：x2y2 3xy對應練習題分解因式:(1) 15x2 7xy 4y22 2(2) a x6ax 8綜合練習題分解因式:(1) 8x6 7x3 122(2) 12x 11xy

9、15y(3) (x y)2 3(x y) 10， 一 2(4) (a b) 4a 4b 3精品文檔 x2 4xy 4y2 2x 4y 32222(8) 5(a b)2 23(a2 b2) 10(a b)2(9) 4x2 4xy 6x 3y y2 10_22(10) 12(x y) 11(x2_2y ) 2(x y)思考：分解因式:abcx2 (a2b2 c2)x abc2、雙十字相乘法定義：雙十字相乘法用于對Ax2Bxy Cy2 Dx Ey F型多項式的分解因式條件：(1) A a1a2,(2) a1c2 a2Gf1 f2E, a1f2a?f1即:B,讓c2 f1a1c2 a2 GE, a1f

10、2 a2 flD貝U Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F(ax Gyf1)(a2x Ryf?)例題7分解因式:(1) x2 3xy 10y2 x 9y 2 ，一、24 2一 一(2) x xy 6y x 13y 62-2 x xy 6y x 13y 6應用雙十字相乘法:33y23xy 2xy xy , 4y 9y 13y, 2x 3x x .原式=(x 2y 3)(x 3y 2)對應練習題分解因式:3、十字相乘法進階例題 8 分解因式： y(y 1)(x2 1) x(2y2 2y 1)例題 9 分解因式：ab(x2 y2) (a2 b2)(xy 1) (a2 b2)(x y)四、主元法例題

11、 分解因式： x2 3xy 10y2 x 9y 2對應練習題 分解因式：22(2) x xy 2y x 7y 622(1) x xy 6y x 13y 622(3) 6x 7xy 3y x 7y 222(4) a2 ab 6b25a 35b36并用一個新的字母替B.五、換元法換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰例題 1 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2) 12例題 2 分解因式：(x2 4x 8)2 3x( x2 4x 8) 2x2例題3分解因式：(x 1)(x 1)(x3)(x 5) 9分析：型如 abcd e 的多項式，

12、分解因式時可以把四個因式兩兩分組相乘例題4分解因式：(x2 7x6)(x2x 6) 56 .例題 5 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3) 90例題6分解因式：4(3x2 x1)(x22x 3) (4x2 x4)2提示 : 可設 3x2 x 1 A, x2 2x 3 B ，則 4x2 x 4 A例題 7 分解因式：x628x3 27例題 8 分解因式： (a b)4 (a b)4 (a2 b2)2例題 9 分解因式： (y 1)4 (y 3)4 272例題 9 對應練習 分解因式：a4 44(a 4)4例題 10 分解因式：(x2+xy+y2)2 4xy(x2 +y2) 分析 ：本

13、題含有兩個字母，且當互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式.對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令 u=x+y, v=xy,用 換元法分解因式例題 11 分解因式： 2x4x36x2 x 2分析 ：此多項式的特點是關于 x 的降冪排列，每一項的次數(shù)依次少1 ，并且系數(shù)成“軸對稱”. 這種多項式屬于“等距離多項式”方法：提中間項的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法.例題 11 對應練習 分解因式：6x4+7x3 36x2 7x+6 例題 11 對應練習 分解因式： x4 4x3 x2 4x 1對應練習題分解因式：(1) x4+7x3+14x2+7x+1(2) x4 2

14、x3 x(13) (a b 2ab)(a b 2) (1 ab) 1 2(xx2)(3) 2005x2 (2005 2 1)x 2005(4) (x 1)(x 2)(x 3)(x 6)x2(5) (x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 15(6) (a 1)(a 2)(a 3)(a 4) 24(7) (2a5)(a29)(2a 7)91(8) (x+3)(x2-1)(x+5)-20(9) (a21)2(a2 5)24(a23)2(10) (2x2 3x+1)2 22x2+33x 1(11) (a 2b c)3 (a b)3 (b c)3/ / c、12(12) xy(xy 1) (xy 3)

15、 2(x y -) (x y 1)六、添項、拆項、配方法因式分解是多項式乘法的逆運算 在多項式乘法運算時， 整理、 化簡常將幾個同類項合并為一項， 或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零 在對某些多項式分解因式時， 需要恢復那些被合并或相互抵消的項， 即把多項式中的某一項拆成兩項或多項， 或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項拆項、 添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解說明 用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點的觀察， 靈活變換， 因此拆項、 添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種例題1分解因式：x3 9

16、x+8例題2 分解因式：(1)x9+x6+x3 3；(2)(m222) x2 2(a b)x 3a2 10ab 3b24) x4 x2 2ax 1 a26) 2a2b2 2a2c2 2b2c2 a4 b4 c48) x4 11x2y2+y210) x4 12x+32312) x3 11x 20； 1)(n2 1)+4mn；(3)(x+1)4+(x21)2+(x1)4；對應練習題 分解因式：( 1 ) x3 3x2 4(3) x4 7x2 1(5) x4 y4 (x y)4( 7) x3+3x2 4( 9) x3+9x2+26x+24( 11) x4 x2 1；13 ) a5 a 1(14)x2

17、 y2 4x 6y 5(4)a3b ab3+a2+b2+1 (15) (1 a 2)(1 b 2) 4ab七、待定系數(shù)法例題 1 分解因式： x2 xy 6y2 x 13y 6分析：原式的前3項x2 xy 6y2可以分為(x 3y)(x 2y),則原多項式必定可分為(x 3y m)(x 2y n)對應練習題 分解因式：2） 2x2 3xy 9y2 14x 3y 204） x2 3xy 2y2 5x 7y 6（1 ） 6x2 7xy 3y2 x 7y 2（3） x2 3xy 10y2 x 9y 2例題 2( 1)當 m 為何值時，多項式x2 y2 mx 5y 6 能分解因式，并分解此多項式.32

18、(2)如果x ax bx 8有兩個因式為x 1和x 2,求a b的值.(3) 已知：x2 2xy 3y2 6x 14y p 能分解成兩個一次因式之積， 求常數(shù) p 并且分解因式.(4) k為何值時，x2 2xy ky2 3x 5y 2能分解成兩個一次因式的乘積，并分解此多項式.八、余式定理(試根法)1、f x的意義：已知多項式 f x ,若把x用c帶入所得到的值，即稱為 f x在x = c的 多項式值，用f c表布.2、被除式、除式、商式、余式之間的關系：設多項式f x除以g x所得的商式為q x ,余式為 rx,則：fx=gxxqx+rx- b3、余式定理：多項式f(x)除以x b之余式為f

19、(b)；多項式f(x)除以ax b之余式f (-).a例如：當 f(x)=x2+x+2 除以(x -1)時，則余數(shù)=f(1)=1 2+1+2=4.211、21、 一 人當 f(x) 9x 6x 7 除以(3x 1)時，則余數(shù)=f( )9()6(-)78.3334、因式定理：設a,b R, a 0, f (x)為關于x的多項式，則x b為f(x)的因式_ bf (b) 0； ax b為 f(x)的因式f(一) 0.a整系數(shù)一次因式檢驗法：設f(x)=gxn Cnxn 1c1x C0為整系數(shù)多項式，若ax七為f(x)之因式(其中a , b為整數(shù)，a 0 ,且a , b互質(zhì))，則（1） aCn, b

20、C0(2) ( a) f(1), (a b) f ( 1)例題1設f(x) 3x3 2x2 19x 6,試問下列何者是f(x)的因式？(1)2x -1 , (2) xN (3) 3x-1, (4) 4x+ 1, (5) x T, (6) 3xY例題2 把下列多項式分解因式:3 x 5x 43,2-（2） x 4x x 6- 3_ 2 3x 5x(4) x4 9x3-453x -x 64x 225x2 27x 101 211x x 一2 23課后作業(yè)分解因式：（ 1 ） x4 4（3） 4x3 31x 15（ 3 ） 3x3 7x 10（ 4 ） x3 41x 30（ 5 ） x3 4x2 9（

21、6） x3 5x2 18（7） x3 6x2 11x 6（ 8 ） x3 3x2 3x 7（ 9 ） x3 11x2 31 x 21（10） x4 1987x2 1986x 1987（11） x4 1998x2 1999x 1998（12） x4 1996x2 1995x 1996（ 13 ） x3 3x2y 3xy2 2y3（ 1412 ） x3 9ax2 27a2x 26a32（15） 4（x 5）（x 6）（x 10）（ x 12） 3x2（16） （x26x 8）（x2 14x48）12（17） （x2 x 4）2 8x（x2 x 4） 15x2（18） 2（x26x 1）2 5（x2

22、6x1）（ x21） 2（x2 1）2（ 19 ） x4 x2y2 y4（ 20 ） x4 23x2y2 y4（ 21 ） a3 b3 3（a2 b2） 3（a b） 2（22） a3 b3 12ab 64（23） a3bab3a2 b2 1 .（24） （ab）2（ab 1）1（25） x42（a2b2）x2（a2b2）2（26） （aybx）3 （axby）3（a3b3）（x3y3 ）（27） x6 19x3y3 216y6（28） 28 ） x2y y2z z2x x2z y2x z2y 2xyz（29） 3x5 10x4 8x3 3x2 10x 8因式分解的應用1、證明：四個連續(xù)整數(shù)的的乘積加1是整數(shù)的平方.2、2n- 1和2n+1表示兩個