考研數(shù)學一試題及解析

1、2006年碩士研究生入學考試數(shù)學一試題及答案解析一、 填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1） 【分析】 本題為未定式極限的求解，利用等價無窮小代換即可.【詳解】 . （2） 微分方程的通解是【分析】 本方程為可分離變量型，先分離變量，然后兩邊積分即可【詳解】 原方程等價為，兩邊積分得，整理得.（）（3）設是錐面的下側(cè)，則.【分析】 本題不是封閉曲面，首先想到加一曲面：，取上側(cè)，使構(gòu)成封閉曲面，然后利用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標進行計算即可.【詳解】 設：，取上側(cè)，則 .而，.所以.（4）點到平面的距離.【分析】 本題直接利用點到平面距離公式進

2、行計算即可.其中為點的坐標，為平面方程.【詳解】 . （5）設矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 2 .【分析】 將矩陣方程改寫為的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進行計算即可.【詳解】 由題設，有 于是有 ，而，所以.（6）設隨機變量相互獨立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 .【分析】 利用的獨立性及分布計算.【詳解】 由題設知，具有相同的概率密度.則.【評注】 本題屬幾何概型，也可如下計算，如下圖：則.二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).（7）設函數(shù)具有二階導數(shù)，且，為自變量在點處的增量，分別為在點處對

3、應的增量與微分，若，則(A) . (B) .(C) . (D) . 【分析】 題設條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】 由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當時，故應選(). （8）設為連續(xù)函數(shù)，則等于（）. （B）.(C).(D) . 【分析】 本題首先由題設畫出積分區(qū)域的圖形，然后化為直角坐標系下累次積分即可.【詳解】 由題設可知積分區(qū)域如右圖所示，顯然是型域，則原式.故選（）.（9）若級數(shù)收斂，則級數(shù)(A) 收斂 . （B）收斂.(C) 收斂. (D) 收斂. 【分析】 可以通過舉反例及級數(shù)的性質(zhì)來判定.【詳解】 由收斂知收斂，所以級數(shù)收斂，故應選().或利

4、用排除法：取，則可排除選項（），（）；取，則可排除選項（）.故（）項正確.（10）設均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個極值點，下列選項正確的是(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. 【分析】 利用拉格朗日函數(shù)在（是對應的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】 作拉格朗日函數(shù)，并記對應的參數(shù)的值為，則 ， 即 .消去，得 ,整理得.（因為），若，則.故選（）.（11）設均為維列向量，為矩陣，下列選項正確的是(A) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (B) 若線性相關(guān)，則線性無關(guān). (C) 若線性無關(guān)，則線性相關(guān). (D) 若線性無關(guān)，則線性無關(guān). C 【分析】

5、 本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進行判定.【詳解】 記，則.所以，若向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應選().（12）設為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）.（）.（）.（）.【分析】 利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】 由題設可得，而，則有.故應選（）.（13）設為隨機事件，且，則必有(A) (B) (C) (D) B 【分析】 利用事件和的運算和條件概率的概念即可.【詳解】 由題設，知 ，即.又.故應選().（14）設隨機變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(A) (B) (C) (D

6、) D 【分析】 利用標準正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】 由題設可得，則，即.其中是標準正態(tài)分布的分布函數(shù).又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.故選(A).三 、解答題：1523小題，共94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）設區(qū)域， 計算二重積分 【分析】 由于積分區(qū)域關(guān)于軸對稱，故可先利用二重積分的對稱性結(jié)論簡化所求積分，又積分區(qū)域為圓域的一部分，則將其化為極坐標系下累次積分即可.【詳解】 積分區(qū)域如右圖所示.因為區(qū)域關(guān)于軸對稱，函數(shù)是變量的偶函數(shù)，函數(shù)是變量的奇函數(shù).則 ，故. （16）（本題滿分12分）設數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計算. 【

7、分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準則來證明數(shù)列極限的存在. （）的計算需利用（）的結(jié)果.【詳解】 （）因為，則.可推得，則數(shù)列有界.于是，（因當）， 則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設，在兩邊令，得，解得，即.（）因，由（）知該極限為型，令，則，而，又.（利用了的麥克勞林展開式）故.（17）（本題滿分12分） 將函數(shù)展成的冪級數(shù). 【分析】 利用常見函數(shù)的冪級數(shù)展開式.【詳解】 ，比較兩邊系數(shù)可得，即.而，故.（18）（本題滿分12分）設函數(shù)在內(nèi)具有二階導數(shù)，且滿足等式.（I）驗證；（II）若，求函數(shù)的表達式. 【分析】 利用復合函

8、數(shù)偏導數(shù)計算方法求出代入即可得（I）.按常規(guī)方法解（II）即可.【詳解】 （I） 設，則.，.將代入得.（II） 令，則，兩邊積分得，即，亦即.由可得.所以有，兩邊積分得，由可得，故.（19）（本題滿分12分）設在上半平面內(nèi)，函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)，且對任意的都有.證明：對內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線，都有.【分析】 利用曲線積分與路徑無關(guān)的條件. 【詳解】 兩邊對求導得.令 ，則.設，則.則由可得.故由曲線積分與路徑無關(guān)的定理可知，對內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線，都有.（20）（本題滿分9分）已知非齊次線性方程組有3個線性無關(guān)的解.（）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；（）求的值及方程組的通解.【

9、分析】 （I）根據(jù)系數(shù)矩陣的秩與基礎(chǔ)解系的關(guān)系證明；（II）利用初等變換求矩陣的秩確定參數(shù)，然后解方程組.【詳解】 （I） 設是方程組的3個線性無關(guān)的解，其中 .則有.則是對應齊次線性方程組的解，且線性無關(guān).（否則，易推出線性相關(guān)，矛盾）.所以，即.又矩陣中有一個2階子式，所以.因此.（II） 因為.又，則 .對原方程組的增廣矩陣施行初等行變換，故原方程組與下面的方程組同解.選為自由變量，則.故所求通解為，為任意常數(shù).（21）（本題滿分9分）設3階實對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.()求的特征值與特征向量；()求正交矩陣和對角矩陣,使得.【分析】 由矩陣的各行元素之和均

10、為3及矩陣乘法可得矩陣的一個特征值和對應的特征向量；由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所對應的特征向量.將的線性無關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣.【詳解】 ()因為矩陣的各行元素之和均為3，所以，則由特征值和特征向量的定義知，是矩陣的特征值，是對應的特征向量.對應的全部特征向量為，其中為不為零的常數(shù).又由題設知，即，而且線性無關(guān)，所以是矩陣的二重特征值，是其對應的特征向量，對應的全部特征向量為，其中為不全為零的常數(shù).()因為是實對稱矩陣，所以與正交，所以只需將正交.取，.再將單位化，得，令，則，由是實對稱矩陣必可相似對角化，得.（22）（本題滿分9分）設隨機變量的概率密度為，令為二維隨機變量的分布函數(shù).()求的概率密度().【分析】 求一維隨機變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導得相應的概率密度或利用公式計算.【詳解】 （I）設的分布函數(shù)為，即，則1) 當時