考研數(shù)學(xué)一試題及解析

1、2006年碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一試題及答案解析一、 填空題：16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（1） 【分析】 本題為未定式極限的求解，利用等價(jià)無(wú)窮小代換即可.【詳解】 . （2） 微分方程的通解是【分析】 本方程為可分離變量型，先分離變量，然后兩邊積分即可【詳解】 原方程等價(jià)為，兩邊積分得，整理得.（）（3）設(shè)是錐面的下側(cè)，則.【分析】 本題不是封閉曲面，首先想到加一曲面：，取上側(cè)，使構(gòu)成封閉曲面，然后利用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】 設(shè)：，取上側(cè)，則 .而，.所以.（4）點(diǎn)到平面的距離.【分析】 本題直接利用點(diǎn)到平面距離公式進(jìn)

2、行計(jì)算即可.其中為點(diǎn)的坐標(biāo)，為平面方程.【詳解】 . （5）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則 2 .【分析】 將矩陣方程改寫為的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】 由題設(shè)，有 于是有 ，而，所以.（6）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則 .【分析】 利用的獨(dú)立性及分布計(jì)算.【詳解】 由題設(shè)知，具有相同的概率密度.則.【評(píng)注】 本題屬幾何概型，也可如下計(jì)算，如下圖：則.二、選擇題：714小題，每小題4分，共32分. 每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（7）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對(duì)

3、應(yīng)的增量與微分，若，則(A) . (B) .(C) . (D) . 【分析】 題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】 由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當(dāng)時(shí)，故應(yīng)選(). （8）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于（）. （B）.(C).(D) . 【分析】 本題首先由題設(shè)畫出積分區(qū)域的圖形，然后化為直角坐標(biāo)系下累次積分即可.【詳解】 由題設(shè)可知積分區(qū)域如右圖所示，顯然是型域，則原式.故選（）.（9）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)(A) 收斂 . （B）收斂.(C) 收斂. (D) 收斂. 【分析】 可以通過(guò)舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來(lái)判定.【詳解】 由收斂知收斂，所以級(jí)數(shù)收斂，故應(yīng)選().或利

4、用排除法：取，則可排除選項(xiàng)（），（）；取，則可排除選項(xiàng)（）.故（）項(xiàng)正確.（10）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是(A) 若，則. (B) 若，則. (C) 若，則. (D) 若，則. 【分析】 利用拉格朗日函數(shù)在（是對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】 作拉格朗日函數(shù)，并記對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值為，則 ， 即 .消去，得 ,整理得.（因?yàn)椋?，若，則.故選（）.（11）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是(A) 若線性相關(guān)，則線性相關(guān). (B) 若線性相關(guān)，則線性無(wú)關(guān). (C) 若線性無(wú)關(guān)，則線性相關(guān). (D) 若線性無(wú)關(guān)，則線性無(wú)關(guān). C 【分析】

5、 本題考查向量組的線性相關(guān)性問(wèn)題，利用定義或性質(zhì)進(jìn)行判定.【詳解】 記，則.所以，若向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應(yīng)選().（12）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（）.（）.（）.（）.【分析】 利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】 由題設(shè)可得，而，則有.故應(yīng)選（）.（13）設(shè)為隨機(jī)事件，且，則必有(A) (B) (C) (D) B 【分析】 利用事件和的運(yùn)算和條件概率的概念即可.【詳解】 由題設(shè)，知 ，即.又.故應(yīng)選().（14）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(A) (B) (C) (D

6、) D 【分析】 利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】 由題設(shè)可得，則，即.其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.故選(A).三 、解答題：1523小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）設(shè)區(qū)域， 計(jì)算二重積分 【分析】 由于積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，故可先利用二重積分的對(duì)稱性結(jié)論簡(jiǎn)化所求積分，又積分區(qū)域?yàn)閳A域的一部分，則將其化為極坐標(biāo)系下累次積分即可.【詳解】 積分區(qū)域如右圖所示.因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)是變量的偶函數(shù)，函數(shù)是變量的奇函數(shù).則 ，故. （16）（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足（）證明存在，并求該極限；（）計(jì)算. 【

7、分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來(lái)證明數(shù)列極限的存在. （）的計(jì)算需利用（）的結(jié)果.【詳解】 （）因?yàn)椋瑒t.可推得，則數(shù)列有界.于是，（因當(dāng)）， 則有，可見(jiàn)數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設(shè)，在兩邊令，得，解得，即.（）因，由（）知該極限為型，令，則，而，又.（利用了的麥克勞林展開(kāi)式）故.（17）（本題滿分12分） 將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù). 【分析】 利用常見(jiàn)函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式.【詳解】 ，比較兩邊系數(shù)可得，即.而，故.（18）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式.（I）驗(yàn)證；（II）若，求函數(shù)的表達(dá)式. 【分析】 利用復(fù)合函

8、數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法求出代入即可得（I）.按常規(guī)方法解（II）即可.【詳解】 （I） 設(shè)，則.，.將代入得.（II） 令，則，兩邊積分得，即，亦即.由可得.所以有，兩邊積分得，由可得，故.（19）（本題滿分12分）設(shè)在上半平面內(nèi)，函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的都有.證明：對(duì)內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線，都有.【分析】 利用曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的條件. 【詳解】 兩邊對(duì)求導(dǎo)得.令 ，則.設(shè)，則.則由可得.故由曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的定理可知，對(duì)內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線，都有.（20）（本題滿分9分）已知非齊次線性方程組有3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解.（）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；（）求的值及方程組的通解.【

9、分析】 （I）根據(jù)系數(shù)矩陣的秩與基礎(chǔ)解系的關(guān)系證明；（II）利用初等變換求矩陣的秩確定參數(shù)，然后解方程組.【詳解】 （I） 設(shè)是方程組的3個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，其中 .則有.則是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的解，且線性無(wú)關(guān).（否則，易推出線性相關(guān)，矛盾）.所以，即.又矩陣中有一個(gè)2階子式，所以.因此.（II） 因?yàn)?又，則 .對(duì)原方程組的增廣矩陣施行初等行變換，故原方程組與下面的方程組同解.選為自由變量，則.故所求通解為，為任意常數(shù).（21）（本題滿分9分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個(gè)解.()求的特征值與特征向量；()求正交矩陣和對(duì)角矩陣,使得.【分析】 由矩陣的各行元素之和均

10、為3及矩陣乘法可得矩陣的一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.將的線性無(wú)關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣.【詳解】 ()因?yàn)榫仃嚨母餍性刂途鶠?，所以，則由特征值和特征向量的定義知，是矩陣的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量.對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，其中為不為零的常數(shù).又由題設(shè)知，即，而且線性無(wú)關(guān)，所以是矩陣的二重特征值，是其對(duì)應(yīng)的特征向量，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，其中為不全為零的常數(shù).()因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，所以與正交，所以只需將正交.取，.再將單位化，得，令，則，由是實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化，得.（22）（本題滿分9分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，令為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).()求的概率密度().【分析】 求一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導(dǎo)得相應(yīng)的概率密度或利用公式計(jì)算.【詳解】 （I）設(shè)的分布函數(shù)為，即，則1) 當(dāng)時(shí)