第一講有限元基本理論

1、第一講第一講有限元基本理論有限元基本理論元計(jì)算技術(shù)部 本講給出有限元方法的思想，求解問題的流程，以及采用有限元方法時(shí)用到的方程弱形式、形函數(shù)等內(nèi)容，目的在于介紹有限元的基本理論。 有限元分析目的和概念有限元分析目的和概念 有限單元法的基本思想有限單元法的基本思想 有限元分析的基本流程有限元分析的基本流程 有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理 偏微分方程的弱解形式偏微分方程的弱解形式 插值函數(shù)與單元類型插值函數(shù)與單元類型 有限元分析目的和概念有限元分析目的和概念 有限元分析的目的有限元分析的目的：針對(duì)具有任意復(fù)雜幾何形狀變形體，完整獲取在復(fù)雜外力作用下它內(nèi)部的準(zhǔn)確力學(xué)信息，即求取該變形體的三

2、類力學(xué)信息（位移、應(yīng)變、應(yīng)力）。從而在準(zhǔn)確進(jìn)行力學(xué)分析的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)師就可以對(duì)所設(shè)計(jì)對(duì)象進(jìn)行強(qiáng)度、剛度等方面的評(píng)判，以便對(duì)不合理的設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行修改，以得到較優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案，然后再次進(jìn)行方案修改后的有限元分析，以進(jìn)行最后的力學(xué)評(píng)判和校核，確定出最后的設(shè)計(jì)方案。 有限元方法：有限元方法：是基于“離散逼近”的基本策略，可以采用較多數(shù)量的簡(jiǎn)單函數(shù)的組合來“近似”代替非常復(fù)雜的原函數(shù) ，這樣就使有限元方法可以針對(duì)具有任意復(fù)雜幾何形狀的結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析，并能夠得到準(zhǔn)確的結(jié)果。有限單元法的基本思想有限單元法的基本思想 有限元法的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個(gè)、按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合體。

3、由于單元能按不同的聯(lián)結(jié)方式進(jìn)行組合，而且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復(fù)雜的求解域 。 有限單元法作為數(shù)值分析方法的另一個(gè)重要特點(diǎn)是利用在每一個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片的表示全求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)。單元內(nèi)近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在單元的各個(gè)節(jié)點(diǎn)的數(shù)值和其插值函數(shù)來表示。這樣以來，一個(gè)問題的有限元分析中，未知場(chǎng)函數(shù)或其導(dǎo)數(shù)在各個(gè)節(jié)點(diǎn)上的數(shù)值就成為新的未知量（也即自由度），從而使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成場(chǎng)函數(shù)的近似值，從而得到整個(gè)求解域上的近似解。 有限元分析的基本流程有限元分析的基本流程 (1) 結(jié)構(gòu)或求解域的離散化。 (2) 選擇適當(dāng)?shù)牟逯的Ｊ?(3) 單元

4、分析 (4) 總體合成。 (5) 引入約束條件 (6) 方程求解 (7) 計(jì)算其它參數(shù)。 有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理 虛位移原理 工程或物理中許多問題，通常是以偏微分方程和對(duì)應(yīng)的邊界條件的形式提出來的，可以一般地表示為未知函數(shù)u滿足偏微分方程組：,0)()()(21內(nèi)）（在uAuAuA 其中域 可以是體積域、面積域等，如圖所示。同時(shí)未知函數(shù)u還應(yīng)滿足邊界條件：上）（在0)()()(21uBuBuB(1)(2)由于偏微分方程組(1)在域中每一點(diǎn)為零，因此就有：1122( )( )( )0TV A u dv A uv A ud 12vVv其中V是向量函數(shù)，稱為試探函數(shù)或虛位移函數(shù)，它

5、是一組和偏微分方程個(gè)數(shù)相等的任意函數(shù)。 p 假如A(u)是一光滑函數(shù)，可以斷言，若積分方程(3)對(duì)于任意的V都能成立，則原偏微分方程必然在域內(nèi)任一點(diǎn)都得到滿足。 (3)p 假如A(u)在域內(nèi)某些點(diǎn)或部分子域中不滿足，即出現(xiàn)A(u) 0,馬上可以找到適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)V使(3)的積分形式亦不等于零,可見當(dāng)A(u)是一光滑函數(shù)時(shí)，式(3)和(1)是等價(jià)的 。 在很多情況下可以對(duì)(3)式進(jìn)行分部積分得到另一種形式 0)()()()(duFvEduDvCTT 其中C、D、E、F是微分算子，它們中所包含的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的階數(shù)較(3)式的微分算子A底，這樣對(duì)函數(shù)u只需要求較低階的連續(xù)性就可以了，這種降低對(duì)函數(shù)u連續(xù)

6、性要求的作法在近似計(jì)算中，尤其是在有限元方法中十分重要 。 式式(3)(3)是偏微分方程組是偏微分方程組(1)(1)的弱解積分形式或的弱解積分形式或“弱弱”形式，或稱之為虛位移原理。形式，或稱之為虛位移原理。 偏微分方程的弱解形式偏微分方程的弱解形式 本小節(jié)通過一個(gè)熱傳導(dǎo)的穩(wěn)態(tài)問題，來說明將偏微分方程化為其弱解積分形式的一般過程。對(duì)于二維直角坐標(biāo)系，穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程如下：內(nèi)）（在0)(QyukyxukxuA 邊界條件如下：上）（在上）（在quqnukuuuB00)(00 這里u表示溫度，k表示熱傳導(dǎo)系數(shù)，u0和q0是邊界上溫度和熱流的給定值 ，Q是熱源密度乘以材料密度 。0dQyukyxukx對(duì)

7、方程兩邊乘一標(biāo)量函數(shù)v，并對(duì)方程兩邊進(jìn)行積分得到：對(duì)上式進(jìn)行分部積分得到：dnukdQdyyukxxuk利用方程的邊界條件，上式可變?yōu)椋篸nukdqdQdyyukxxukuq0特別指出對(duì)于強(qiáng)制邊界條件（即第一類邊界條件），這時(shí)未知函數(shù)在此類邊界上的值已確定，可以選取虛位移函數(shù)在此類邊界上的值為0，則“弱”形式可略去沿此類邊界上的邊界積分項(xiàng)（ )。0qq d對(duì)于一般問題推導(dǎo)其微分方程弱形式的步驟如下：對(duì)于一般問題推導(dǎo)其微分方程弱形式的步驟如下：先將偏微分方程化為其積分形式；利用分部積分公式將其積分形式化為“弱”形式；利用邊界條件將“弱”形式化為更簡(jiǎn)潔的表達(dá)式。插值函數(shù)與單元類型插值函數(shù)與單元類型

8、 關(guān)于單元插值函數(shù)的形式，有限元方法采用不同階次冪函數(shù)所構(gòu)成的多項(xiàng)式，因?yàn)樗鼈儽阌谶\(yùn)算并且容易滿足收斂性。下面結(jié)合有限元方法經(jīng)常使用的Lagrange插值函數(shù)討論一維單元插值函數(shù)的具體構(gòu)造。一維Lagrange單元： 對(duì)于具有n個(gè)節(jié)點(diǎn)的一維單元，如果它的節(jié)點(diǎn)參數(shù)中只含有場(chǎng)函數(shù)的節(jié)點(diǎn)值，則單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)可插值表示為：1ni iiN其中插值函數(shù)Ni(xj)具有下列性質(zhì)：(),ijijN x1( ) 1,niiN xij是Kronecker函數(shù)。對(duì)于n個(gè)節(jié)點(diǎn)的一維單元， Ni(xj)可采用n-1次Lagrange插值多項(xiàng)式)(1xlni，即令：11,( )( ),njniijj iijxxN xlx

9、xx如果n=2，函數(shù)的插值表示如下：2(1)1( ) ,iiilx其中：212) 1 (1)(xxxxxl121) 1 (2)(xxxxxl，為了使計(jì)算過程標(biāo)準(zhǔn)化，采用無量綱坐標(biāo)：111)(22xxxxxxxxxnnnc則上面的表達(dá)式可以表示為：nijjjijnil, 11)(則對(duì)于n=2，有：)1 (21)1(1l)1 (21)1(2l上面就是一維線性Lagrange單元。對(duì)于n=3，有：) 1(21)2(1l)1)(1 ()2(2l) 1(21)2(3l 上式表示一維二次Lagrange單元。 上述無量綱表達(dá)式即為今后常用的自然坐標(biāo)。這樣做的目的可使單元的構(gòu)造標(biāo)準(zhǔn)化，即插值函數(shù)和一維單元的

10、尺寸無關(guān)，從而大大方便有限元軟件的編制和應(yīng)用。 上面給出一維單元插值函數(shù)的具體構(gòu)造，下面類似的給出二維單元插值函數(shù)的表達(dá)式：對(duì)于如下圖所示的四節(jié)點(diǎn)四邊形單元：考慮自然坐標(biāo)，兩個(gè)方向的Lagrange多項(xiàng)式：MJMJKIKIll)()(考慮：1, 111004/ )1)(1 (2121)()(4/ )1)(1 (2121)()(4/ )1)(1 (2121)()(4/ )1)(1 (2121)()(010101104010010113101010012101101001llNllNllNllN對(duì)于如下圖所示的九節(jié)點(diǎn)四邊形單元：依照上面的形式，單元插值形函數(shù)為：10051022080191162140(1)(1)(1)(1)(1)( ) ( )( ) ( )2222(1)(1)(1) (1)(1)( ) ( )( ) ( )