第一講有限元基本理論

1、第一講第一講有限元基本理論有限元基本理論元計算技術部 本講給出有限元方法的思想，求解問題的流程，以及采用有限元方法時用到的方程弱形式、形函數(shù)等內(nèi)容，目的在于介紹有限元的基本理論。 有限元分析目的和概念有限元分析目的和概念 有限單元法的基本思想有限單元法的基本思想 有限元分析的基本流程有限元分析的基本流程 有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理 偏微分方程的弱解形式偏微分方程的弱解形式 插值函數(shù)與單元類型插值函數(shù)與單元類型 有限元分析目的和概念有限元分析目的和概念 有限元分析的目的有限元分析的目的：針對具有任意復雜幾何形狀變形體，完整獲取在復雜外力作用下它內(nèi)部的準確力學信息，即求取該變形體的三

2、類力學信息（位移、應變、應力）。從而在準確進行力學分析的基礎上，設計師就可以對所設計對象進行強度、剛度等方面的評判，以便對不合理的設計參數(shù)進行修改，以得到較優(yōu)化的設計方案，然后再次進行方案修改后的有限元分析，以進行最后的力學評判和校核，確定出最后的設計方案。 有限元方法：有限元方法：是基于“離散逼近”的基本策略，可以采用較多數(shù)量的簡單函數(shù)的組合來“近似”代替非常復雜的原函數(shù) ，這樣就使有限元方法可以針對具有任意復雜幾何形狀的結(jié)構(gòu)進行分析，并能夠得到準確的結(jié)果。有限單元法的基本思想有限單元法的基本思想 有限元法的基本思想是將連續(xù)的求解區(qū)域離散為一組有限個、按一定方式相互聯(lián)結(jié)在一起的單元的組合體。

3、由于單元能按不同的聯(lián)結(jié)方式進行組合，而且單元本身又可以有不同形狀，因此可以模型化幾何形狀復雜的求解域 。 有限單元法作為數(shù)值分析方法的另一個重要特點是利用在每一個單元內(nèi)假設的近似函數(shù)來分片的表示全求解域上待求的未知場函數(shù)。單元內(nèi)近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)或其導數(shù)在單元的各個節(jié)點的數(shù)值和其插值函數(shù)來表示。這樣以來，一個問題的有限元分析中，未知場函數(shù)或其導數(shù)在各個節(jié)點上的數(shù)值就成為新的未知量（也即自由度），從而使一個連續(xù)的無限自由度問題變成場函數(shù)的近似值，從而得到整個求解域上的近似解。 有限元分析的基本流程有限元分析的基本流程 (1) 結(jié)構(gòu)或求解域的離散化。 (2) 選擇適當?shù)牟逯的Ｊ?(3) 單元

4、分析 (4) 總體合成。 (5) 引入約束條件 (6) 方程求解 (7) 計算其它參數(shù)。 有限單元法的基本原理有限單元法的基本原理 虛位移原理 工程或物理中許多問題，通常是以偏微分方程和對應的邊界條件的形式提出來的，可以一般地表示為未知函數(shù)u滿足偏微分方程組：,0)()()(21內(nèi)）（在uAuAuA 其中域 可以是體積域、面積域等，如圖所示。同時未知函數(shù)u還應滿足邊界條件：上）（在0)()()(21uBuBuB(1)(2)由于偏微分方程組(1)在域中每一點為零，因此就有：1122( )( )( )0TV A u dv A uv A ud 12vVv其中V是向量函數(shù)，稱為試探函數(shù)或虛位移函數(shù)，它

5、是一組和偏微分方程個數(shù)相等的任意函數(shù)。 p 假如A(u)是一光滑函數(shù)，可以斷言，若積分方程(3)對于任意的V都能成立，則原偏微分方程必然在域內(nèi)任一點都得到滿足。 (3)p 假如A(u)在域內(nèi)某些點或部分子域中不滿足，即出現(xiàn)A(u) 0,馬上可以找到適當?shù)暮瘮?shù)V使(3)的積分形式亦不等于零,可見當A(u)是一光滑函數(shù)時，式(3)和(1)是等價的 。 在很多情況下可以對(3)式進行分部積分得到另一種形式 0)()()()(duFvEduDvCTT 其中C、D、E、F是微分算子，它們中所包含的未知函數(shù)導數(shù)的階數(shù)較(3)式的微分算子A底，這樣對函數(shù)u只需要求較低階的連續(xù)性就可以了，這種降低對函數(shù)u連續(xù)

6、性要求的作法在近似計算中，尤其是在有限元方法中十分重要 。 式式(3)(3)是偏微分方程組是偏微分方程組(1)(1)的弱解積分形式或的弱解積分形式或“弱弱”形式，或稱之為虛位移原理。形式，或稱之為虛位移原理。 偏微分方程的弱解形式偏微分方程的弱解形式 本小節(jié)通過一個熱傳導的穩(wěn)態(tài)問題，來說明將偏微分方程化為其弱解積分形式的一般過程。對于二維直角坐標系，穩(wěn)態(tài)熱傳導方程如下：內(nèi)）（在0)(QyukyxukxuA 邊界條件如下：上）（在上）（在quqnukuuuB00)(00 這里u表示溫度，k表示熱傳導系數(shù)，u0和q0是邊界上溫度和熱流的給定值 ，Q是熱源密度乘以材料密度 。0dQyukyxukx對

7、方程兩邊乘一標量函數(shù)v，并對方程兩邊進行積分得到：對上式進行分部積分得到：dnukdQdyyukxxuk利用方程的邊界條件，上式可變?yōu)椋篸nukdqdQdyyukxxukuq0特別指出對于強制邊界條件（即第一類邊界條件），這時未知函數(shù)在此類邊界上的值已確定，可以選取虛位移函數(shù)在此類邊界上的值為0，則“弱”形式可略去沿此類邊界上的邊界積分項（ )。0qq d對于一般問題推導其微分方程弱形式的步驟如下：對于一般問題推導其微分方程弱形式的步驟如下：先將偏微分方程化為其積分形式；利用分部積分公式將其積分形式化為“弱”形式；利用邊界條件將“弱”形式化為更簡潔的表達式。插值函數(shù)與單元類型插值函數(shù)與單元類型

8、 關于單元插值函數(shù)的形式，有限元方法采用不同階次冪函數(shù)所構(gòu)成的多項式，因為它們便于運算并且容易滿足收斂性。下面結(jié)合有限元方法經(jīng)常使用的Lagrange插值函數(shù)討論一維單元插值函數(shù)的具體構(gòu)造。一維Lagrange單元： 對于具有n個節(jié)點的一維單元，如果它的節(jié)點參數(shù)中只含有場函數(shù)的節(jié)點值，則單元內(nèi)的場函數(shù)可插值表示為：1ni iiN其中插值函數(shù)Ni(xj)具有下列性質(zhì)：(),ijijN x1( ) 1,niiN xij是Kronecker函數(shù)。對于n個節(jié)點的一維單元， Ni(xj)可采用n-1次Lagrange插值多項式)(1xlni，即令：11,( )( ),njniijj iijxxN xlx

9、xx如果n=2，函數(shù)的插值表示如下：2(1)1( ) ,iiilx其中：212) 1 (1)(xxxxxl121) 1 (2)(xxxxxl，為了使計算過程標準化，采用無量綱坐標：111)(22xxxxxxxxxnnnc則上面的表達式可以表示為：nijjjijnil, 11)(則對于n=2，有：)1 (21)1(1l)1 (21)1(2l上面就是一維線性Lagrange單元。對于n=3，有：) 1(21)2(1l)1)(1 ()2(2l) 1(21)2(3l 上式表示一維二次Lagrange單元。 上述無量綱表達式即為今后常用的自然坐標。這樣做的目的可使單元的構(gòu)造標準化，即插值函數(shù)和一維單元的

10、尺寸無關，從而大大方便有限元軟件的編制和應用。 上面給出一維單元插值函數(shù)的具體構(gòu)造，下面類似的給出二維單元插值函數(shù)的表達式：對于如下圖所示的四節(jié)點四邊形單元：考慮自然坐標，兩個方向的Lagrange多項式：MJMJKIKIll)()(考慮：1, 111004/ )1)(1 (2121)()(4/ )1)(1 (2121)()(4/ )1)(1 (2121)()(4/ )1)(1 (2121)()(010101104010010113101010012101101001llNllNllNllN對于如下圖所示的九節(jié)點四邊形單元：依照上面的形式，單元插值形函數(shù)為：10051022080191162140(1)(1)(1)(1)(1)( ) ( )( ) ( )2222(1)(1)(1) (1)(1)( ) ( )( ) ( )