數(shù)值分析作業(yè)答案

1、第2章插值法1、當x=1, -1, 2時，f(x)=0, -3, 4,求f(x)的二次插值多項式(1)用單項式基底。2) 用Lagrange插值基底。3) 用Newton基底。證明三種方法得到的多項式是相同的。 解：(1)用單項式基底1X02X0所以：A =1X12X11X22X2設多項式為：P(x) = a。aiX a?x ，1 1 11 -1 1124a。f (Xo) X。 f(X1) X!f(X2) X2X02X02011/11114X1X1=-3-111-11=2-6X2X2424/124f (Xo)f (X1)f (X2)031141 1-1 1242Xo2X11X0f (X0)1

2、X。2xoa2 1X1f (X1)1 X12X11X2f (X2)/1 x22X22X296 2110/1111-1-31-11124/124_5-6 6lo(x)(X 1)(x-2)(1 1)(1 -2)7 35 2所以f(X)的二次插值多項式為：P(x)x x3 26(2)用 Lagrange插值基底(x -xj(x -X2)(X0 一 X1)(X0 -X2)h(x)(X - X°)(X -X2)區(qū)x°)(x1 X2)(X -1)(x -2)(-1 -1)(-1 -2)l2(x)(x x°)(x xj(X2-X°)(X2 -xj(x -1)(x1)(

3、2 -1)(2 1)Lagra nge插值多項式為：L2(X)二 f(Xo)lo(X) f(x)i(x) f(X2)l2(X)11= 0(-3) (x _1)(x -2)4 (x -1)(x1)635 237=XX6 237 35所以f(x)的二次插值多項式為：L2(x)二 x -x23 26用Newton基底：均差表如下：Xkf(Xk)一階均差二階均差10-1-33/22r 47/35/6Newton插值多項式為：N2(x) = f (x°) f x°, xj(x - x°) fx°,人 xK x - x°)(x - xj35=0(x -1)

4、(x -1)(x1)265 237=XX - 一6237 35 2所以f(x)的二次插值多項式為：N2(x)X x3 26由以上計算可知，三種方法得到的多項式是相同的。6、在-4乞x豈4上給出f (x) =ex的等距節(jié)點函數(shù)表，若用二次插值求 值，要使截斷誤差不超過IO'6，問使用函數(shù)表的步長 解：以Xi-1 ,Xi,Xi+1為插值節(jié)點多項式的截斷誤差，則有h應取多少?ex的近似R2(x)二f ( )(xx*)(xXi)(xXi 1), (Xi，Xi1) 3!式中 Xj 丄二 xh, Xj 彳=x h.R2(x)=14e6xi丄1 4 2 max (x x*)(x xj(x 人十)蘭

5、e - 童童+63h34令 e h3 <10 -得 h _ 0.006589*3-插值點個數(shù)4(4)11216 .8 乞 1217N -1是奇數(shù)，故實際可采用的函數(shù)值表步長4 _(_4)8h0.006579N -112168、 f (x) =X7 X4 3x - 1，求 f 20,21 ,，27及 f 2°,21,，28。解：由均差的性質可知，均差與導數(shù)有如下關系：f(n)( ©fx°,X1, Xn，-; ：=a,bn!(7).017 f ( )7!,所以有：f2 ,2，,2 17!7!0 18f (8)( )0f2 ,2 , * "丁廿 015、

6、證明兩點三次Hermite插值余項是R3(x)二 f (J(x Xk)2(x Xk 1)2 / 4!, 1 三(Xk,Xk .1) 并由此求出分段三次 Hermite插值的誤差限。證明：利用xk， Xk+1上兩點三次Hermite插值條件H 3(xQ 二 f (Xk), H 3(Xk J = f (Xk JFFH 3 (Xk)二 f (Xk), H3(Xk1) = f (Xk 1)知 R3 (x) = f ( x) - H 3(X)有二重零點 Xk 和 k+1。設2 2Rs(x) =k(x)(x Xk) (x Xk J確定函數(shù)k(x): 當X二Xk或Xk+1時k(x)取任何有限值均可;-Xk,

7、Xk 1時，x，(Xk,x)，構造關于變量t的函數(shù)2 2g(t)二 f (t) H3(t) -k(x)(x -Xk) (X -Xk 1)顯然有(4)f(4)(x)XkmaXxl1(x Xk)2(x xk1)而最值 max (x - xk)2 (x - xk 1 )2xk爸蘭+224=max s (s -1) h0蘭丄14=h , (x = xk 亠 sh)16g (Xk )二 0, g(x) = 0, g (Xk .J = 0 g (xQ =0,g g *) =0在Xk,xx,Xk+i上對g(x)使用Rolle定理，存在.(xx)及 (x x)使得g ( i) =o,g ( 2) =o在(Xk

8、，1), ( 1, 2) , ( 2，xk .)上對 g (x)使用 Rolle 定理，存在 ki (Xk, 1),k2 * ( 1，2)和 k3.( 2，Xk 1)使得g (=g ( k2)=g '( k3)=0再依次對g (t)和g '(t)使用Rolle定理，知至少存在- (Xk,Xk J使得g(4)( )=0而g(t) = f (4)(t) -k(t)4!，將代入，得到k(t)4 宀八"1)推導過程表明依賴于Xk,Xk 1及X綜合以上過程有：R3(x) = f (4)( J(x Xk)2(x Xk .1)2 /4!確定誤差限:記I h (x)為f(x)在a,b

9、上基于等距節(jié)點的分段三次Hermite插值函數(shù)b aXk 二 a kh, (k 二 0,1 ，n), h 二n在區(qū)間Xk，Xk+1上有(4)社2213(一xk)(x-xk+)/4丄萬丁嶷進而得誤差估計：f(x)-lh(x)蘭1 h4max f(4)(x)384 a童直16、求一個次數(shù)不高于4次的多項式p(x)，使它滿足p(0) = p 2) = 0 ，p(1) = p (1) =0，p(2) =1。運動方程為： s 二-7.85504822.253761 t(xo 二 O,X1= 1)1H 3(x)八H3(Xj)aj(x) H3(Xj)1j(x)j zO(x設 P(x) = H 3(x) Ax

10、 2(x -1)2，令 P(2) =1 得 Au14于是23122122P(x)=2x -x x(x-1)=x(x-3)44第3章 曲線擬合的最小二乘法16、觀測物體的直線運動，得出以下數(shù)據:i012345時間t/s00.91.93.03.95.0距離s/m010305080110求運動方程。解:經描圖發(fā)現(xiàn)t和s近似服從線性規(guī)律。故做線性模型s=a bt = spa門：1,匕， 計算離散內積有：5521,1 =7 1=6，1,t =' tj =0 亠 0.9 T.9 亠 3.0 亠 3.9 亠 5.0=14.7j =0j =052222222t,t 八 t；00.91.93.03.95

11、.0= 53.63j =051, s 為 Sj =010305080110 =280j =05t, s tjSj =0 00.9 101.9 303.0 503.9 805.0 110 =1078j =0求解方程組得：，Z 614.7，Z280 '=*4.7 53 .63 人b 丿 11078 /a = -7.855048， b =22.25376152平方誤差：、：2 二 ：Sj _s(tj) 1 ： 2.1 102j m仃、已知實驗數(shù)據如下:i01234Xi1925313844Yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如y =a bx2的經驗公式，并計算均方差解：

12、門-span 1 ,x2 /，計算離散內積有：442 . 2 2222221,1 八 1=5，1,xXj =1925313844= 5327j =0j =0422444444x ,x | xj =1925313844 =7277699j蘭41, y 為 yj =19.032.3 49.073.3 97.8 =271 .4j =04- QQQQQQQx , y- x j yj 1919.02532.3 3149.03873.34497.8 =369321.5j魚求解方程組得:f 55327述a、271 .4=(53277277699 b /369321 .5 a - 0.972579， b =

13、0.050352所求公式為：y = 0.9725790.05035 x1均方誤差:§ =任 0Xj)yj】 -0.12262J第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分1確定下列求積分公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并其代數(shù)精 度盡量高，并指明所構造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：h. f(x)dx : A(-h) A°f(0) Af (h)；2h(1) f (x)dx ： A 1 f h) A0 f (0)A1f (h)；1(2) f (x)dx ： f (-1) 2 f(x1) 3 f (x2) /3 ；-1h2(4) o f (x)dx : h f (0) f (h) /2 ah

14、f (0) _ f (h)h解：(1) f (x)dx ： Aif(_h) A°f(0)Ai f (h)；將f (x) =1,x,x2分別代入公式兩端并令其左右相等，得hA t亠代亠A 1dx = 2h.hh-hA 1 亠 0 A0 亠 hAt xdx =0,h2 3 dx = h32 2h AA0 0 h A1h2x38h4h332h38h4h332h所求公式至少具有2次代數(shù)精確度。又由于4hL.f (0) - f (h)具有3次代數(shù)精確度。 33(2)2 hf (x)dx : Af (h)A0f (0) A f (h)-2hf (x) =1,x,x2分別代入公式兩端并令其左右相等

15、，得2 hAA0A 二 1dx =4hL_2h2 h一hA0 A。hA1= .jdx=02(-h)A。2h2= x dx-2h16 3 =h解得:,A038h4h335令 f (x) =x3，得 x3dx = 0 =吵(_* 竺.h3 =03125125令 f (x) = X4，得2hh2 h4x dx564 h 8h 4 8h 4 (-h)h53316h125故求積分公式具有3次精確度。1(3) i f (x)dx : f (1)2 f (x1) 3f (X2) /3當f (x) =1時，易知有1f (x)dx ： f (-1) 2f (xj 3f (x2) /3 )1令求積分公式對f(X)

16、= X, X2準確成立，即11 xdx = 0 = _1 2x3x21糾2皿*洛=0.6898979x2 - -0.1265986丄33X! =0.2898979 亠 則解得1或x2 =0.5265986i厶將f(x) =x3代入已確定的積分公式，則1f (x)dx - f ( -1) 2f(x1) 3f (x2)/3故所求積分式具有2次代數(shù)精確度。h 2(3) f (x)dx : h f (0) f (h) / 2 ah f (0 f (h)當f (x) =1, x時，有h1dx : h11/2 ah20 - 0hxdx : h0 h /2 ah21 -10故令f(x) =x2時求積公式準確

17、成立，即- 2 . 2 . 2x dx : h0 h / 2 ah 0 -2h解得a - 將f (x) =x3,x4代入上述確定的求積分公式，有12hh312=h0 h / 2 h 0122-3h 0dx4X-Io-h0 h4 / 2 丄 h20 _4h412故所求積公式具有3次代數(shù)精確度2、分別用梯形公式和辛普森公式計算下列積分:(1)(2)1 '一 Xdx, n =4;(3)f6 J4 sin 2 日d8,n =61解（ 1）復化梯形公式，h二8T8J f(0)f (xQ f (1)二 0.1114024復化辛普森公式,hS8&f(0)f(xk 2)+4 送 f(Xk)+

18、f(Jk ±= 0.1115718(2) h =2T4-f (1)f(xk) - f (9)k土= 17.3060005hS463f (x4、 f(Xk)f (9)k2(3) h =36T6h f(0)S6hf (0)6 -= 16.72375052 f(xk)2=1.0356841心6f (x 羊)+4送 f (xj + f 匸)k 2心6L.03576395、b推導下列三種矩形求積公式：f Q)2=(b -a) f (a)(b -a)2 ;2f 0)2=(b -a) f (a)(b -a)；2a +bf ”()3(b - a) f ()(b _ a)。f (x)dxf (x)dx

19、f (x)dx224解：(1)左矩形公式，將f(x)在a處展開，得f(X)二 f (a) - f ( )(a)<(a,x)兩邊在a,b上積分，得bbbf (x)dx = f (a)dx 亠 | f ( )(xa)dxb=(b - a) f (a)亠 | f ( )( x - a)dx由于x-a在a,b上不變號，故由積分第二中值定理，有廠e (a,b)bbf (x)dx = ( -a) f (a)f ( ) (x a)dxa從而有b12f (x)dx =(b _a) f (a) f ( )( b _a) J 三(a, b)a(2) 右矩形公式，同(1)，將f (x)在b點處展開并積分，得b

20、 1 2f (x)dx =(b a) f (a) f ( )(b _a)廠三(a, b)a(3) 中矩形分式，將f(x)在處展開，得2a +b ” a +ba +bf (x) = f () f ()(x -2 2兩邊積分并用積分中值定理，ba亠bf (x) = f ()(b -a) - fa)-f)(xa b2得.a亠b b a亠b ()(x)dxa2(a，b)“艮a + b 2f ( )(x) dx2a b=f ()(b_a)22a b)dx2a b=f( )(b-a)21 3f ( )(ba) ,- (a,b)246、若分別使用復合梯形公式和復合辛普森公式計算積分1i edx，冋區(qū)間 i-

21、0,11-0應分多少等份才能使截斷誤差不超過1 10" 02解：由于 f (x)二 ex = f (x)f(4) (x), b a = 11212n21212n2由復合梯形公式的余項有:Rn f=bah2f 牡)<eJ 10°1212n21212n2解得 n _ 212.85 可取 n =213由辛普森公公式的余項有：1212n2h4 f(蘭(丄)4蘭丄"0玉2880 n 2解得n _3.707 可取n =48、用龍貝格求積方法計算下列積分，使誤差不超過 10-(1)2a/jT(2)2 二0 :(3)30x2x dx1xe dx ； 0xdx ；Tn解：（1

22、）Tk（k）h心f (x。) f (Xn) 2、 f (Xi) ,k =02vk(k)(k J)4 I2n Tn一 77 ,k =1,2,3, 4k-kT (k)nT (k)1 0T (k)1 1T (k)T 2T (k)1 30h _門-1I=一 'MX。)+f (人)+2 瓦 f (Xj '2 170.77174331AT (0) T (0)(1)4 1 2 n InTn -'410.72806990.713512122(1)丁 (1)(2)4 1 2 n一兒Tn24 -10.71698280.71328700.713272033(2)(2)(3)4 丨2 n一 T

23、nTn-34 -10.71420020.71327260.71327170.7132717kT (k)1 0T ( k)1 103.4513132*10-618.6282830*10-7-4.4469230*10-2118、用三點公式求f(x)=在x =1.0,1.1,1.2處的導數(shù)值，并估計誤差。的(1 +x)值由下表給出:X1.o1.11.2f (X)o.25ooo.2268o.2o66解：三點求導公式為f (Xo)=丄 l_3f (Xo) 4f(xJ 一 f(X2 f ( ；o)2h31h2f(X1)f (xo) f (xjf ( ；1)2h61 rn hf(X2)f(Xo) -4f (

24、xj 3f (X2)f ( ；2)2h3-i J(Xo,x2), i =o,1j 2取表中x =1.0,1.1,1.2 ，分別將有關數(shù)值代入上面三式，即可得導數(shù)近似值。由于(X)m ax4!54!5 二 0.75從而可求得誤差上限與導數(shù)值如下:X1.o1.11.2三點公式-o.247-o.217-o.187誤差o.oo25o.oo125o.oo25理論解-o.25-0.2159594-o.18782871X2數(shù)值積分法，令(x)二f (x),由Xk牛f (Xk+)= f (Xk) + f ®(x)dx%對積分采用梯形公式，得3f(x)=f(Xk) 3 'l，(Xk) (Xk1

25、)l4 XkL ;；( k),(Xk,Xk1)2 12令k=0,1,得2(X。)(xjf (Xj f(X。)1h"xj(X2)、f (X2)f(Xj同樣對Xk 1f (Xk 1)= f (Xk 1)亠 1-'(X) dxXk 1有f (Xk 1)=3= f(X)亠 J (Xk J (Xk 1)d L.Uk),- (XkXk.J2 12從而有1（X。）（X2） f（X2） f（X。）h代入數(shù)值，解方程，即得（Xk）, k =0,1,2如下X1.01.11.2 1三點公式-0.247-0.217-0.187誤差-0.25-0.2159594-0.1878287理論解-0.25-0

26、.2159594-0.1878287第5章解線性方程的直接方法7、用列主元消去法解線性方程組12Xt -3x2 3x3 =15< 18x<| +3x? X3 = -15Xt + x2 + x3 = 6并求出系數(shù)矩陣A的行列式的值I.A_ 1- 115 1-183-1-15-183一1-15771731-15*0-15*036186607173110022666186-77-12-33b =|-1813-1I 111722A = 18 漢 匯=6667X3 =3, X2 = 2,召=18、用直接三角分解求線性方程組的解。111X1+ x2+ _X3=94561 + x21 + X3=

27、83451洛 +x2 +2X3 =8、2解軍：由公式 u1i = a1i (i =1,2，門)，丨口=2, 3，,nr丄Uri 二 ari- » IrkUki, i = r, r 1,，n;k 土111456342116045-361315r 二lir = (aV likUkr) / Urr , i = r，1,，n;r = n 知k -41 04A = LU = 132-3610 40 0116045130151 04 b = LY = 13236090 Y = 81 訂9Y =-41541UX =60451315-227.08, x2=476.92, x3日54 j-177.69

28、11/0.60.512、設A =，計算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)少10.3 /n解：lA= max=1.10.330.340.3|0.11 << j 二n1A1 = maxaij=0.81住i 土/ nIAf =z2aij=丁0.71 =0.8426150i, j 士丿f A = °60.50.50.370.30.330.1 0.6，max（AT A） =0.6853407113 求證：（1）|x|詞x|L Mn|x|仁;（2）|a|f £ a|L £|a|f v n證明：（1）由定義知nn'lxlm_ax xi 蘭xi 十 蘭 m

29、 ax xi| 咗 |x| =小|匚1 :SSi ztim 1ii OQ|x|/|x淪 n|x 仁（2）由范數(shù)定義，有A 2 =仏（AX）空昭人） -（AX）'n（ATA）nnnn n|a|：=遲 a2 +遲 ai；i +遲 a2 =遲遲 ai2=|A2i 士i =1i=1j i =122max( ATA) _1 ATA - .2ATAr，Nat a故1 |a22第6章解線性方程的迭代法1、設線性方程組5x1 2x2 X3 - -12« 人 + 4 x2 + 2 x3 = 202Xt 3x2 +10x3 =6(1) 考察用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程組的收斂性；(2

30、) 用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程組，要求當x(k 1) -x(k ：10時迭代終止。解：(1)因系數(shù)矩陣按行嚴格對角占優(yōu)，故雅可比迭代法與高斯-塞德迭代法均收斂。(2)雅可比迭代法格式為(k書2(k)1(k)12X1 X2-X3555(k 4+)1(k)1(k)+ 5X2=X1-X342(k十)1(k)3(k)3X3_X1+X2H51010取x(0)=(1,1,1)T，迭代到17次達到精度要求(0 )x(=(-4.0000186, 2.9999915,2.0000012)高斯-塞德迭代格式為(k 1)2(k)1(k)12X1X2X3555(k 十)1(k)1(k)丄-x2X!x3亠

31、 54 2x(k d lx(k) 2X(k) 3125 1010取x(0) = (1,1,1)T，迭代到8次達到精度要求x(0) =(-4.0000186,2.9999915,2.0000012)第七章0 1.用二分法求方程X J- 1 = 0的正根，要求俁差小于0.05. 解 設 /(J)= J- r - h/(1) = 1 < 0 J=1 > 0,故2為/(力的冇根區(qū)間又#(£ = “一】撤當i'< vif l時？(工)單調減:當龍>£時,<(x)單調增.而廣丄= ? ” T 2I /(0) =1 由單調性知f(x) = 0的惟一正

32、根j* E 012h根據二分袪的謀差估計式(7.2)50,要求謀差小于0.05, 只需<0.05*g得雖+1為22卡故至少應二分6次具aa協(xié)計算結果見表7 4表7-4kbkfg)的符號012L51lt52L7521. 5L 751, 525T31. 51,625L 5&2 541.562 5L6251*593 755I. 593 751,62SIt60S 375即h c r = 1. 609 375 2.為求方程一/一1 =0在,=附近的一個根設將方程改寫成下列等價形式李并建立相應的迭代公式.文=1 + A紡迭代公式文=】+ A*(1) .* = 1 + X2 迭代公式 rtT

33、=( 1)7 ：(2) 卡= ，迭代公式：Til =1試分析每種迭代公式的收斂性并選取一種公式求出具冇四位 有效數(shù)字的近似根.分析 本題考查根據迭代公式的收斂性選取求方程解的近似值 問題.解 取花=1.5的鄰域L1.3J.6來考察.(1)當工 1.3,1.6時g(jr) = 1 +-7 1.3,1 匕.I = L<1故迭代式 =1占在131.6上整體收斂.(2)當工 1.3,1.6：時Z = (1+j-2)i/3 E LI.3,1. 6；V(U 產=0. 522 < 1故心_i = (1 一卅卄在1.3丄6_上整體收斂.心=土冇&3= 2G-1）3- 2（1.6-1）1 故

34、丁I = j 1 二發(fā)散.Jg 1由于（2）的L較小，故?。?）中迭代式計算要求結果具 有四位有效數(shù)字，只需I及一疋I幾一】 vx 1°亠即1i1及 一 g < 七丄 X J X 10-3 v 0 5 X 10-3 取竝=1. 5計算結果見表7-5.表7-5kXkkIk11. 481 248 03441.467 047 97391. 472 705 730b1.466 243 01031. 468 817 31461.465 876 820由于 1*6 _丁5 <X1(T“ 故可取 X* X6 = 1. 466. 6設 p(jr) = jc p(x) f(x) /2 (v

35、r).試確定函數(shù) p(jr)和q&)，使求解/(乂)=0且以卩(工)為迭代函數(shù)的迭代法至少三 階收斂.分析 凡是要證明迭代過程或迭代法收斂的題首選斯蒂芬森定 理.解 要求及t =32 三階收斂到/Q)= 0的根Q 根據斯蒂 芬森收斂定理9應冇華(X ) = vf ) = 0呻"(h ) = 0.于是由jt" = jr py)jx*) qy)y) /(才)=1“(h) f (jc* ) = 0C'y)= 2py)/'($) py)y) 2qy)/)? = oh，/八i/* i丿(力)得旳)= TTg ) = Tl7yFT7 故取 = T' g)

36、 = 2化第即迭代至少三階收斂.O 9研究求廟的牛頓公式=不（心 + 于> 1 iiE明對一切k =2刃鼻陽且序列小乜是遞減的.1證明證法一用數(shù)列的辦法因翫由無=* 弘|+旦 知jf心 > 0 且忑=*（ J+ 血 N石朋=I、23申.又由故文出£雙即單調遞減有下界很據單調冇界原理知，&門冇極限.易證其極限為證法二 設/（工）=X2 a a > 0）,易知/（工）=0在0,+ X）內有惟一實根才=掐對/（jt）應用牛頓迭代法，得當氐 > 血時* 氐爲單調遞減冇下界掐種且1島忑=賦上一 K當航G（0”掐）時.+ 7" > 賦此時從小起“m

37、J單調減冇下界且扱限仍為廟第八章1用幕法計算下列矩陣的主特征值及對應的特征向量:73_2 3-43(a) Aj =34_ 19(b)=_463-2_ 13_ 331_當特征值冇3位小數(shù)穩(wěn)定時迭代終止. 分析 本題考察了幕法的計算.解 套用幕法公式如H 0,叭=八"-5max®)取血=(1,1,1)丁 ho,將街代入上式計算結果見下表kmax(u«)1(1.0.750)82(1,0. 648 648 649. -0.297 297 297)9.254(10 608 798 347. - 0. 388 839 681)9.594 900 8506(1 .0, 605

38、776 832. 一 0. 394 120 752)9. 605 429 002(1 .0. 605 609 752 一 0. 394 368 921)9. 605 572 002即比 的主特征值兒 9.605 572,特征向量占 (1,0.605610, -0. 394 369)、將小代入幕法公式取“。=(111)丁計算結果見下表kmax( vk)1(0. 285 714 286,0.714 285 714,1)72(0. 162 790 698*1 .0. 651 162 791)6. 142 857 1435(-0. 476 667 405,1.0. 275 116 331)8. 400

39、 967 98210(0. 598 164 195.0.155 993 744)8.855 264 59716(-0. 604 221 865.10 150 937 317)8.869 534 94717(-0. 604 288 082 10. 150 881 294)8.869 699 412故血的主特征值石& 869 699主特征向量為(一0604 288.1,0.150 881)T.2.利用反幕法求矩陣的最接近于6的特征值及對應的特征向量.分析本題考察了反幕法的計算.1解 本題應按帶原點平移的反幕法計算平移量p = 6 因此先將0K = A pl =221-311 51進行三角分

40、解：卩 =其中111丄20010_001，100310_ 112_ 20275200然后利用也=(八1廠解得“=冊門得計算得以下結果：vi = (1. 618 518 519,0.807 407 407,0. 185 185 185)1=(1 ,0.498 855 835 ,0. 114 416 475)丁"6 617 848 97 y2 = (0.498 855 835, - 0. 135 011 442,1. 108 009 154)T v2 = (0. 742 944 316,0. 397 406 5590 205 186 88)Tu2 = ( 1 ,0. 534 907 59

41、70 276 180 698)丁以7 345 995 896y3 = (0. 534 907 597,0. 008 726 899 0 993 018 48)Tv3 =(0. 787 588 409,0.408 053 8440 183 892 31 1 )Tu3 = (1.0. 518 105 446,0. 233 487 833)tm 7. 269 698 727 y4 = (0. 518 105 446, - 0.025 564 89 J. 020 451 912)T5 = (0. 772 837 002,0.405 513 711,0. 188 972 576)T心=(1,0.524

42、707 939,0244 518 023)T.A7. 293 933 905y5 = (0. 524 707 939, - 0.017 835 946.1.014 268 757)T= (0. 777 569 5350 406 086 226.0. 187 827 547)T= (1 ,0. 522 250 689,0. 241 557 235)丁以7 286 058 616 力=(0. 522 250 689 - 0.019 568 109-1.015 654 488)T U6 =(0. 776 020 139,0. 405 957 918,0. 188 084 164)T ue = (1,

43、0.523 128 07.0.242 370 2O9)T.A7. 288 626 351y7 = (0. 523 128 07, -0.019 193 826,1.015 355 061 )T v7 = (0. 776 528 141,0. 405 985 642,0. 188 028 715)T it： = (1.0. 522 821 544.0. 242 140 245)T.A 7. 287 783 336 可以看出A的與6最接近的特征值約為7. 288對應特征向 量為(1,0. 522 8,0. 242 1)T. 7.用帶位移的QR方法計算2o'31o'(a) A =2_

44、 11.(b)B =121013011的全部持征值.分析熟練掌握帶原點位移的QR方法即可得出正確結果.解 （a）記旳=A取5, = 作為平移因子來計算A的全部特征值.5j = 3畑戸2（兒-51/）= R2.828 427 12400-4. 242 604 5861. 732 050 80600. 707 106 781-0. 577 350 2680. 408 248 245_ 052 = 3.333 333 333-2.01.224 744 871.224 744 871. 666 666 6670.235 702 2600. 235 702 263.333 333 333卩23卩 2（玉

45、52 Z ） = R5.472 151 717- 1.566 698 901. 370 688 8340.052 753 495一 0.226 3010.039 502 921- 2.350 649 3450. 306 779 52600. 306 779 5261. 978 401 8220. 006 792 8310.006 792 8313.372 247 82253 = 3.372 247 822%幾2（人3 -s3n = n5. 731 1 13 8230-0. 380 950 5721.375 442 8920. 000 363 6110.000 330 107000. 000 033499= UPlz P；3 + $3 J- 2.371 041 1620.073 625 7780-0.073 625 7781. 6998 760 1450_ 003.372 281 32_故A有一個特征值右=3.372 281 32對九 的子矩陣K _ "- 2. 371 041 162 0.078 625 773_'0.073 625 778 1. 998