數(shù)值分析作業(yè)答案

1、第2章插值法1、當(dāng)x=1, -1, 2時(shí)，f(x)=0, -3, 4,求f(x)的二次插值多項(xiàng)式(1)用單項(xiàng)式基底。2) 用Lagrange插值基底。3) 用Newton基底。證明三種方法得到的多項(xiàng)式是相同的。 解：(1)用單項(xiàng)式基底1X02X0所以：A =1X12X11X22X2設(shè)多項(xiàng)式為：P(x) = a。aiX a?x ，1 1 11 -1 1124a。f (Xo) X。 f(X1) X!f(X2) X2X02X02011/11114X1X1=-3-111-11=2-6X2X2424/124f (Xo)f (X1)f (X2)031141 1-1 1242Xo2X11X0f (X0)1

2、X。2xoa2 1X1f (X1)1 X12X11X2f (X2)/1 x22X22X296 2110/1111-1-31-11124/124_5-6 6lo(x)(X 1)(x-2)(1 1)(1 -2)7 35 2所以f(X)的二次插值多項(xiàng)式為：P(x)x x3 26(2)用 Lagrange插值基底(x -xj(x -X2)(X0 一 X1)(X0 -X2)h(x)(X - X°)(X -X2)區(qū)x°)(x1 X2)(X -1)(x -2)(-1 -1)(-1 -2)l2(x)(x x°)(x xj(X2-X°)(X2 -xj(x -1)(x1)(

3、2 -1)(2 1)Lagra nge插值多項(xiàng)式為：L2(X)二 f(Xo)lo(X) f(x)i(x) f(X2)l2(X)11= 0(-3) (x _1)(x -2)4 (x -1)(x1)635 237=XX6 237 35所以f(x)的二次插值多項(xiàng)式為：L2(x)二 x -x23 26用Newton基底：均差表如下：Xkf(Xk)一階均差二階均差10-1-33/22r 47/35/6Newton插值多項(xiàng)式為：N2(x) = f (x°) f x°, xj(x - x°) fx°,人 xK x - x°)(x - xj35=0(x -1)

4、(x -1)(x1)265 237=XX - 一6237 35 2所以f(x)的二次插值多項(xiàng)式為：N2(x)X x3 26由以上計(jì)算可知，三種方法得到的多項(xiàng)式是相同的。6、在-4乞x豈4上給出f (x) =ex的等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，若用二次插值求 值，要使截?cái)嗾`差不超過IO'6，問使用函數(shù)表的步長(zhǎng) 解：以Xi-1 ,Xi,Xi+1為插值節(jié)點(diǎn)多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差，則有h應(yīng)取多少?ex的近似R2(x)二f ( )(xx*)(xXi)(xXi 1), (Xi，Xi1) 3!式中 Xj 丄二 xh, Xj 彳=x h.R2(x)=14e6xi丄1 4 2 max (x x*)(x xj(x 人十)蘭

5、e - 童童+63h34令 e h3 <10 -得 h _ 0.006589*3-插值點(diǎn)個(gè)數(shù)4(4)11216 .8 乞 1217N -1是奇數(shù)，故實(shí)際可采用的函數(shù)值表步長(zhǎng)4 _(_4)8h0.006579N -112168、 f (x) =X7 X4 3x - 1，求 f 20,21 ,，27及 f 2°,21,，28。解：由均差的性質(zhì)可知，均差與導(dǎo)數(shù)有如下關(guān)系：f(n)( ©fx°,X1, Xn，-; ：=a,bn!(7).017 f ( )7!,所以有：f2 ,2，,2 17!7!0 18f (8)( )0f2 ,2 , * "丁廿 015、

6、證明兩點(diǎn)三次Hermite插值余項(xiàng)是R3(x)二 f (J(x Xk)2(x Xk 1)2 / 4!, 1 三(Xk,Xk .1) 并由此求出分段三次 Hermite插值的誤差限。證明：利用xk， Xk+1上兩點(diǎn)三次Hermite插值條件H 3(xQ 二 f (Xk), H 3(Xk J = f (Xk JFFH 3 (Xk)二 f (Xk), H3(Xk1) = f (Xk 1)知 R3 (x) = f ( x) - H 3(X)有二重零點(diǎn) Xk 和 k+1。設(shè)2 2Rs(x) =k(x)(x Xk) (x Xk J確定函數(shù)k(x): 當(dāng)X二Xk或Xk+1時(shí)k(x)取任何有限值均可;-Xk,

7、Xk 1時(shí)，x，(Xk,x)，構(gòu)造關(guān)于變量t的函數(shù)2 2g(t)二 f (t) H3(t) -k(x)(x -Xk) (X -Xk 1)顯然有(4)f(4)(x)XkmaXxl1(x Xk)2(x xk1)而最值 max (x - xk)2 (x - xk 1 )2xk爸蘭+224=max s (s -1) h0蘭丄14=h , (x = xk 亠 sh)16g (Xk )二 0, g(x) = 0, g (Xk .J = 0 g (xQ =0,g g *) =0在Xk,xx,Xk+i上對(duì)g(x)使用Rolle定理，存在.(xx)及 (x x)使得g ( i) =o,g ( 2) =o在(Xk

8、，1), ( 1, 2) , ( 2，xk .)上對(duì) g (x)使用 Rolle 定理，存在 ki (Xk, 1),k2 * ( 1，2)和 k3.( 2，Xk 1)使得g (=g ( k2)=g '( k3)=0再依次對(duì)g (t)和g '(t)使用Rolle定理，知至少存在- (Xk,Xk J使得g(4)( )=0而g(t) = f (4)(t) -k(t)4!，將代入，得到k(t)4 宀八"1)推導(dǎo)過程表明依賴于Xk,Xk 1及X綜合以上過程有：R3(x) = f (4)( J(x Xk)2(x Xk .1)2 /4!確定誤差限:記I h (x)為f(x)在a,b

9、上基于等距節(jié)點(diǎn)的分段三次Hermite插值函數(shù)b aXk 二 a kh, (k 二 0,1 ，n), h 二n在區(qū)間Xk，Xk+1上有(4)社2213(一xk)(x-xk+)/4丄萬丁嶷進(jìn)而得誤差估計(jì)：f(x)-lh(x)蘭1 h4max f(4)(x)384 a童直16、求一個(gè)次數(shù)不高于4次的多項(xiàng)式p(x)，使它滿足p(0) = p 2) = 0 ，p(1) = p (1) =0，p(2) =1。運(yùn)動(dòng)方程為： s 二-7.85504822.253761 t(xo 二 O,X1= 1)1H 3(x)八H3(Xj)aj(x) H3(Xj)1j(x)j zO(x設(shè) P(x) = H 3(x) Ax

10、 2(x -1)2，令 P(2) =1 得 Au14于是23122122P(x)=2x -x x(x-1)=x(x-3)44第3章 曲線擬合的最小二乘法16、觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù):i012345時(shí)間t/s00.91.93.03.95.0距離s/m010305080110求運(yùn)動(dòng)方程。解:經(jīng)描圖發(fā)現(xiàn)t和s近似服從線性規(guī)律。故做線性模型s=a bt = spa門：1,匕， 計(jì)算離散內(nèi)積有：5521,1 =7 1=6，1,t =' tj =0 亠 0.9 T.9 亠 3.0 亠 3.9 亠 5.0=14.7j =0j =052222222t,t 八 t；00.91.93.03.95

11、.0= 53.63j =051, s 為 Sj =010305080110 =280j =05t, s tjSj =0 00.9 101.9 303.0 503.9 805.0 110 =1078j =0求解方程組得：，Z 614.7，Z280 '=*4.7 53 .63 人b 丿 11078 /a = -7.855048， b =22.25376152平方誤差：、：2 二 ：Sj _s(tj) 1 ： 2.1 102j m仃、已知實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:i01234Xi1925313844Yi19.032.349.073.397.8用最小二乘法求形如y =a bx2的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方差解：

12、門-span 1 ,x2 /，計(jì)算離散內(nèi)積有：442 . 2 2222221,1 八 1=5，1,xXj =1925313844= 5327j =0j =0422444444x ,x | xj =1925313844 =7277699j蘭41, y 為 yj =19.032.3 49.073.3 97.8 =271 .4j =04- QQQQQQQx , y- x j yj 1919.02532.3 3149.03873.34497.8 =369321.5j魚求解方程組得:f 55327述a、271 .4=(53277277699 b /369321 .5 a - 0.972579， b =

13、0.050352所求公式為：y = 0.9725790.05035 x1均方誤差:§ =任 0Xj)yj】 -0.12262J第4章數(shù)值積分與數(shù)值微分1確定下列求積分公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并其代數(shù)精 度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具有的代數(shù)精度：h. f(x)dx : A(-h) A°f(0) Af (h)；2h(1) f (x)dx ： A 1 f h) A0 f (0)A1f (h)；1(2) f (x)dx ： f (-1) 2 f(x1) 3 f (x2) /3 ；-1h2(4) o f (x)dx : h f (0) f (h) /2 ah

14、f (0) _ f (h)h解：(1) f (x)dx ： Aif(_h) A°f(0)Ai f (h)；將f (x) =1,x,x2分別代入公式兩端并令其左右相等，得hA t亠代亠A 1dx = 2h.hh-hA 1 亠 0 A0 亠 hAt xdx =0,h2 3 dx = h32 2h AA0 0 h A1h2x38h4h332h38h4h332h所求公式至少具有2次代數(shù)精確度。又由于4hL.f (0) - f (h)具有3次代數(shù)精確度。 33(2)2 hf (x)dx : Af (h)A0f (0) A f (h)-2hf (x) =1,x,x2分別代入公式兩端并令其左右相等

15、，得2 hAA0A 二 1dx =4hL_2h2 h一hA0 A。hA1= .jdx=02(-h)A。2h2= x dx-2h16 3 =h解得:,A038h4h335令 f (x) =x3，得 x3dx = 0 =吵(_* 竺.h3 =03125125令 f (x) = X4，得2hh2 h4x dx564 h 8h 4 8h 4 (-h)h53316h125故求積分公式具有3次精確度。1(3) i f (x)dx : f (1)2 f (x1) 3f (X2) /3當(dāng)f (x) =1時(shí)，易知有1f (x)dx ： f (-1) 2f (xj 3f (x2) /3 )1令求積分公式對(duì)f(X)

16、= X, X2準(zhǔn)確成立，即11 xdx = 0 = _1 2x3x21糾2皿*洛=0.6898979x2 - -0.1265986丄33X! =0.2898979 亠 則解得1或x2 =0.5265986i厶將f(x) =x3代入已確定的積分公式，則1f (x)dx - f ( -1) 2f(x1) 3f (x2)/3故所求積分式具有2次代數(shù)精確度。h 2(3) f (x)dx : h f (0) f (h) / 2 ah f (0 f (h)當(dāng)f (x) =1, x時(shí)，有h1dx : h11/2 ah20 - 0hxdx : h0 h /2 ah21 -10故令f(x) =x2時(shí)求積公式準(zhǔn)確

17、成立，即- 2 . 2 . 2x dx : h0 h / 2 ah 0 -2h解得a - 將f (x) =x3,x4代入上述確定的求積分公式，有12hh312=h0 h / 2 h 0122-3h 0dx4X-Io-h0 h4 / 2 丄 h20 _4h412故所求積公式具有3次代數(shù)精確度2、分別用梯形公式和辛普森公式計(jì)算下列積分:(1)(2)1 '一 Xdx, n =4;(3)f6 J4 sin 2 日d8,n =61解（ 1）復(fù)化梯形公式，h二8T8J f(0)f (xQ f (1)二 0.1114024復(fù)化辛普森公式,hS8&f(0)f(xk 2)+4 送 f(Xk)+

18、f(Jk ±= 0.1115718(2) h =2T4-f (1)f(xk) - f (9)k土= 17.3060005hS463f (x4、 f(Xk)f (9)k2(3) h =36T6h f(0)S6hf (0)6 -= 16.72375052 f(xk)2=1.0356841心6f (x 羊)+4送 f (xj + f 匸)k 2心6L.03576395、b推導(dǎo)下列三種矩形求積公式：f Q)2=(b -a) f (a)(b -a)2 ;2f 0)2=(b -a) f (a)(b -a)；2a +bf ”()3(b - a) f ()(b _ a)。f (x)dxf (x)dx

19、f (x)dx224解：(1)左矩形公式，將f(x)在a處展開，得f(X)二 f (a) - f ( )(a)<(a,x)兩邊在a,b上積分，得bbbf (x)dx = f (a)dx 亠 | f ( )(xa)dxb=(b - a) f (a)亠 | f ( )( x - a)dx由于x-a在a,b上不變號(hào)，故由積分第二中值定理，有廠e (a,b)bbf (x)dx = ( -a) f (a)f ( ) (x a)dxa從而有b12f (x)dx =(b _a) f (a) f ( )( b _a) J 三(a, b)a(2) 右矩形公式，同(1)，將f (x)在b點(diǎn)處展開并積分，得b

20、 1 2f (x)dx =(b a) f (a) f ( )(b _a)廠三(a, b)a(3) 中矩形分式，將f(x)在處展開，得2a +b ” a +ba +bf (x) = f () f ()(x -2 2兩邊積分并用積分中值定理，ba亠bf (x) = f ()(b -a) - fa)-f)(xa b2得.a亠b b a亠b ()(x)dxa2(a，b)“艮a + b 2f ( )(x) dx2a b=f ()(b_a)22a b)dx2a b=f( )(b-a)21 3f ( )(ba) ,- (a,b)246、若分別使用復(fù)合梯形公式和復(fù)合辛普森公式計(jì)算積分1i edx，冋區(qū)間 i-

21、0,11-0應(yīng)分多少等份才能使截?cái)嗾`差不超過1 10" 02解：由于 f (x)二 ex = f (x)f(4) (x), b a = 11212n21212n2由復(fù)合梯形公式的余項(xiàng)有:Rn f=bah2f 牡)<eJ 10°1212n21212n2解得 n _ 212.85 可取 n =213由辛普森公公式的余項(xiàng)有：1212n2h4 f(蘭(丄)4蘭丄"0玉2880 n 2解得n _3.707 可取n =48、用龍貝格求積方法計(jì)算下列積分，使誤差不超過 10-(1)2a/jT(2)2 二0 :(3)30x2x dx1xe dx ； 0xdx ；Tn解：（1

22、）Tk（k）h心f (x。) f (Xn) 2、 f (Xi) ,k =02vk(k)(k J)4 I2n Tn一 77 ,k =1,2,3, 4k-kT (k)nT (k)1 0T (k)1 1T (k)T 2T (k)1 30h _門-1I=一 'MX。)+f (人)+2 瓦 f (Xj '2 170.77174331AT (0) T (0)(1)4 1 2 n InTn -'410.72806990.713512122(1)丁 (1)(2)4 1 2 n一兒Tn24 -10.71698280.71328700.713272033(2)(2)(3)4 丨2 n一 T

23、nTn-34 -10.71420020.71327260.71327170.7132717kT (k)1 0T ( k)1 103.4513132*10-618.6282830*10-7-4.4469230*10-2118、用三點(diǎn)公式求f(x)=在x =1.0,1.1,1.2處的導(dǎo)數(shù)值，并估計(jì)誤差。的(1 +x)值由下表給出:X1.o1.11.2f (X)o.25ooo.2268o.2o66解：三點(diǎn)求導(dǎo)公式為f (Xo)=丄 l_3f (Xo) 4f(xJ 一 f(X2 f ( ；o)2h31h2f(X1)f (xo) f (xjf ( ；1)2h61 rn hf(X2)f(Xo) -4f (

24、xj 3f (X2)f ( ；2)2h3-i J(Xo,x2), i =o,1j 2取表中x =1.0,1.1,1.2 ，分別將有關(guān)數(shù)值代入上面三式，即可得導(dǎo)數(shù)近似值。由于(X)m ax4!54!5 二 0.75從而可求得誤差上限與導(dǎo)數(shù)值如下:X1.o1.11.2三點(diǎn)公式-o.247-o.217-o.187誤差o.oo25o.oo125o.oo25理論解-o.25-0.2159594-o.18782871X2數(shù)值積分法，令(x)二f (x),由Xk牛f (Xk+)= f (Xk) + f ®(x)dx%對(duì)積分采用梯形公式，得3f(x)=f(Xk) 3 'l，(Xk) (Xk1

25、)l4 XkL ;；( k),(Xk,Xk1)2 12令k=0,1,得2(X。)(xjf (Xj f(X。)1h"xj(X2)、f (X2)f(Xj同樣對(duì)Xk 1f (Xk 1)= f (Xk 1)亠 1-'(X) dxXk 1有f (Xk 1)=3= f(X)亠 J (Xk J (Xk 1)d L.Uk),- (XkXk.J2 12從而有1（X。）（X2） f（X2） f（X。）h代入數(shù)值，解方程，即得（Xk）, k =0,1,2如下X1.01.11.2 1三點(diǎn)公式-0.247-0.217-0.187誤差-0.25-0.2159594-0.1878287理論解-0.25-0

26、.2159594-0.1878287第5章解線性方程的直接方法7、用列主元消去法解線性方程組12Xt -3x2 3x3 =15< 18x<| +3x? X3 = -15Xt + x2 + x3 = 6并求出系數(shù)矩陣A的行列式的值I.A_ 1- 115 1-183-1-15-183一1-15771731-15*0-15*036186607173110022666186-77-12-33b =|-1813-1I 111722A = 18 漢 匯=6667X3 =3, X2 = 2,召=18、用直接三角分解求線性方程組的解。111X1+ x2+ _X3=94561 + x21 + X3=

27、83451洛 +x2 +2X3 =8、2解軍：由公式 u1i = a1i (i =1,2，門)，丨口=2, 3，,nr丄Uri 二 ari- » IrkUki, i = r, r 1,，n;k 土111456342116045-361315r 二lir = (aV likUkr) / Urr , i = r，1,，n;r = n 知k -41 04A = LU = 132-3610 40 0116045130151 04 b = LY = 13236090 Y = 81 訂9Y =-41541UX =60451315-227.08, x2=476.92, x3日54 j-177.69

28、11/0.60.512、設(shè)A =，計(jì)算A的行范數(shù)，列范數(shù)，2-范數(shù)及F-范數(shù)少10.3 /n解：lA= max=1.10.330.340.3|0.11 << j 二n1A1 = maxaij=0.81住i 土/ nIAf =z2aij=丁0.71 =0.8426150i, j 士丿f A = °60.50.50.370.30.330.1 0.6，max（AT A） =0.6853407113 求證：（1）|x|詞x|L Mn|x|仁;（2）|a|f £ a|L £|a|f v n證明：（1）由定義知nn'lxlm_ax xi 蘭xi 十 蘭 m

29、 ax xi| 咗 |x| =小|匚1 :SSi ztim 1ii OQ|x|/|x淪 n|x 仁（2）由范數(shù)定義，有A 2 =仏（AX）空昭人） -（AX）'n（ATA）nnnn n|a|：=遲 a2 +遲 ai；i +遲 a2 =遲遲 ai2=|A2i 士i =1i=1j i =122max( ATA) _1 ATA - .2ATAr，Nat a故1 |a22第6章解線性方程的迭代法1、設(shè)線性方程組5x1 2x2 X3 - -12« 人 + 4 x2 + 2 x3 = 202Xt 3x2 +10x3 =6(1) 考察用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程組的收斂性；(2

30、) 用雅可比迭代法，高斯-塞德迭代法解此方程組，要求當(dāng)x(k 1) -x(k ：10時(shí)迭代終止。解：(1)因系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故雅可比迭代法與高斯-塞德迭代法均收斂。(2)雅可比迭代法格式為(k書2(k)1(k)12X1 X2-X3555(k 4+)1(k)1(k)+ 5X2=X1-X342(k十)1(k)3(k)3X3_X1+X2H51010取x(0)=(1,1,1)T，迭代到17次達(dá)到精度要求(0 )x(=(-4.0000186, 2.9999915,2.0000012)高斯-塞德迭代格式為(k 1)2(k)1(k)12X1X2X3555(k 十)1(k)1(k)丄-x2X!x3亠

31、 54 2x(k d lx(k) 2X(k) 3125 1010取x(0) = (1,1,1)T，迭代到8次達(dá)到精度要求x(0) =(-4.0000186,2.9999915,2.0000012)第七章0 1.用二分法求方程X J- 1 = 0的正根，要求俁差小于0.05. 解 設(shè) /(J)= J- r - h/(1) = 1 < 0 J=1 > 0,故2為/(力的冇根區(qū)間又#(£ = “一】撤當(dāng)i'< vif l時(shí)？(工)單調(diào)減:當(dāng)龍>£時(shí),<(x)單調(diào)增.而廣丄= ? ” T 2I /(0) =1 由單調(diào)性知f(x) = 0的惟一正

32、根j* E 012h根據(jù)二分袪的謀差估計(jì)式(7.2)50,要求謀差小于0.05, 只需<0.05*g得雖+1為22卡故至少應(yīng)二分6次具aa協(xié)計(jì)算結(jié)果見表7 4表7-4kbkfg)的符號(hào)012L51lt52L7521. 5L 751, 525T31. 51,625L 5&2 541.562 5L6251*593 755I. 593 751,62SIt60S 375即h c r = 1. 609 375 2.為求方程一/一1 =0在,=附近的一個(gè)根設(shè)將方程改寫成下列等價(jià)形式李并建立相應(yīng)的迭代公式.文=1 + A紡迭代公式文=】+ A*(1) .* = 1 + X2 迭代公式 rtT

33、=( 1)7 ：(2) 卡= ，迭代公式：Til =1試分析每種迭代公式的收斂性并選取一種公式求出具冇四位 有效數(shù)字的近似根.分析 本題考查根據(jù)迭代公式的收斂性選取求方程解的近似值 問題.解 取花=1.5的鄰域L1.3J.6來考察.(1)當(dāng)工 1.3,1.6時(shí)g(jr) = 1 +-7 1.3,1 匕.I = L<1故迭代式 =1占在131.6上整體收斂.(2)當(dāng)工 1.3,1.6：時(shí)Z = (1+j-2)i/3 E LI.3,1. 6；V(U 產(chǎn)=0. 522 < 1故心_i = (1 一卅卄在1.3丄6_上整體收斂.心=土冇&3= 2G-1）3- 2（1.6-1）1 故

34、丁I = j 1 二發(fā)散.Jg 1由于（2）的L較小，故?。?）中迭代式計(jì)算要求結(jié)果具 有四位有效數(shù)字，只需I及一疋I幾一】 vx 1°亠即1i1及 一 g < 七丄 X J X 10-3 v 0 5 X 10-3 取竝=1. 5計(jì)算結(jié)果見表7-5.表7-5kXkkIk11. 481 248 03441.467 047 97391. 472 705 730b1.466 243 01031. 468 817 31461.465 876 820由于 1*6 _丁5 <X1(T“ 故可取 X* X6 = 1. 466. 6設(shè) p(jr) = jc p(x) f(x) /2 (v

35、r).試確定函數(shù) p(jr)和q&)，使求解/(乂)=0且以卩(工)為迭代函數(shù)的迭代法至少三 階收斂.分析 凡是要證明迭代過程或迭代法收斂的題首選斯蒂芬森定 理.解 要求及t =32 三階收斂到/Q)= 0的根Q 根據(jù)斯蒂 芬森收斂定理9應(yīng)冇華(X ) = vf ) = 0呻"(h ) = 0.于是由jt" = jr py)jx*) qy)y) /(才)=1“(h) f (jc* ) = 0C'y)= 2py)/'($) py)y) 2qy)/)? = oh，/八i/* i丿(力)得旳)= TTg ) = Tl7yFT7 故取 = T' g)

36、 = 2化第即迭代至少三階收斂.O 9研究求廟的牛頓公式=不（心 + 于> 1 iiE明對(duì)一切k =2刃鼻陽且序列小乜是遞減的.1證明證法一用數(shù)列的辦法因翫由無=* 弘|+旦 知jf心 > 0 且忑=*（ J+ 血 N石朋=I、23申.又由故文出£雙即單調(diào)遞減有下界很據(jù)單調(diào)冇界原理知，&門冇極限.易證其極限為證法二 設(shè)/（工）=X2 a a > 0）,易知/（工）=0在0,+ X）內(nèi)有惟一實(shí)根才=掐對(duì)/（jt）應(yīng)用牛頓迭代法，得當(dāng)氐 > 血時(shí)* 氐爲(wèi)單調(diào)遞減冇下界掐種且1島忑=賦上一 K當(dāng)航G（0”掐）時(shí).+ 7" > 賦此時(shí)從小起“m

37、J單調(diào)減冇下界且扱限仍為廟第八章1用幕法計(jì)算下列矩陣的主特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量:73_2 3-43(a) Aj =34_ 19(b)=_463-2_ 13_ 331_當(dāng)特征值冇3位小數(shù)穩(wěn)定時(shí)迭代終止. 分析 本題考察了幕法的計(jì)算.解 套用幕法公式如H 0,叭=八"-5max®)取血=(1,1,1)丁 ho,將街代入上式計(jì)算結(jié)果見下表kmax(u«)1(1.0.750)82(1,0. 648 648 649. -0.297 297 297)9.254(10 608 798 347. - 0. 388 839 681)9.594 900 8506(1 .0, 605

38、776 832. 一 0. 394 120 752)9. 605 429 002(1 .0. 605 609 752 一 0. 394 368 921)9. 605 572 002即比 的主特征值兒 9.605 572,特征向量占 (1,0.605610, -0. 394 369)、將小代入幕法公式取“。=(111)丁計(jì)算結(jié)果見下表kmax( vk)1(0. 285 714 286,0.714 285 714,1)72(0. 162 790 698*1 .0. 651 162 791)6. 142 857 1435(-0. 476 667 405,1.0. 275 116 331)8. 400

39、 967 98210(0. 598 164 195.0.155 993 744)8.855 264 59716(-0. 604 221 865.10 150 937 317)8.869 534 94717(-0. 604 288 082 10. 150 881 294)8.869 699 412故血的主特征值石& 869 699主特征向量為(一0604 288.1,0.150 881)T.2.利用反幕法求矩陣的最接近于6的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量.分析本題考察了反幕法的計(jì)算.1解 本題應(yīng)按帶原點(diǎn)平移的反幕法計(jì)算平移量p = 6 因此先將0K = A pl =221-311 51進(jìn)行三角分

40、解：卩 =其中111丄20010_001，100310_ 112_ 20275200然后利用也=(八1廠解得“=冊(cè)門得計(jì)算得以下結(jié)果：vi = (1. 618 518 519,0.807 407 407,0. 185 185 185)1=(1 ,0.498 855 835 ,0. 114 416 475)丁"6 617 848 97 y2 = (0.498 855 835, - 0. 135 011 442,1. 108 009 154)T v2 = (0. 742 944 316,0. 397 406 5590 205 186 88)Tu2 = ( 1 ,0. 534 907 59

41、70 276 180 698)丁以7 345 995 896y3 = (0. 534 907 597,0. 008 726 899 0 993 018 48)Tv3 =(0. 787 588 409,0.408 053 8440 183 892 31 1 )Tu3 = (1.0. 518 105 446,0. 233 487 833)tm 7. 269 698 727 y4 = (0. 518 105 446, - 0.025 564 89 J. 020 451 912)T5 = (0. 772 837 002,0.405 513 711,0. 188 972 576)T心=(1,0.524

42、707 939,0244 518 023)T.A7. 293 933 905y5 = (0. 524 707 939, - 0.017 835 946.1.014 268 757)T= (0. 777 569 5350 406 086 226.0. 187 827 547)T= (1 ,0. 522 250 689,0. 241 557 235)丁以7 286 058 616 力=(0. 522 250 689 - 0.019 568 109-1.015 654 488)T U6 =(0. 776 020 139,0. 405 957 918,0. 188 084 164)T ue = (1,

43、0.523 128 07.0.242 370 2O9)T.A7. 288 626 351y7 = (0. 523 128 07, -0.019 193 826,1.015 355 061 )T v7 = (0. 776 528 141,0. 405 985 642,0. 188 028 715)T it： = (1.0. 522 821 544.0. 242 140 245)T.A 7. 287 783 336 可以看出A的與6最接近的特征值約為7. 288對(duì)應(yīng)特征向 量為(1,0. 522 8,0. 242 1)T. 7.用帶位移的QR方法計(jì)算2o'31o'(a) A =2_

44、 11.(b)B =121013011的全部持征值.分析熟練掌握帶原點(diǎn)位移的QR方法即可得出正確結(jié)果.解 （a）記旳=A取5, = 作為平移因子來計(jì)算A的全部特征值.5j = 3畑戸2（兒-51/）= R2.828 427 12400-4. 242 604 5861. 732 050 80600. 707 106 781-0. 577 350 2680. 408 248 245_ 052 = 3.333 333 333-2.01.224 744 871.224 744 871. 666 666 6670.235 702 2600. 235 702 263.333 333 333卩23卩 2（玉

45、52 Z ） = R5.472 151 717- 1.566 698 901. 370 688 8340.052 753 495一 0.226 3010.039 502 921- 2.350 649 3450. 306 779 52600. 306 779 5261. 978 401 8220. 006 792 8310.006 792 8313.372 247 82253 = 3.372 247 822%幾2（人3 -s3n = n5. 731 1 13 8230-0. 380 950 5721.375 442 8920. 000 363 6110.000 330 107000. 000 033499= UPlz P；3 + $3 J- 2.371 041 1620.073 625 7780-0.073 625 7781. 6998 760 1450_ 003.372 281 32_故A有一個(gè)特征值右=3.372 281 32對(duì)九 的子矩陣K _ "- 2. 371 041 162 0.078 625 773_'0.073 625 778 1. 998