第14講群表示理論簡介

1、第14講群表示理論簡介1.群的表示1,., ,imfRTRTRTRT同一組基下，若，則1,.,GiinG RR對點群在同一組基下，對稱操作的矩陣表示的集合 和 的乘法關系相同，也是群1,.,Ginm mm R稱集合為點群 的一個維 矩陣表示12,.,nGR RR1）考慮點群112121212122121211221212,.,.,.,., ,.,=,.,=,.,mmmmmmmRffffffRffffffR RfffRffffffRRRR R若，則G顯然，點群 的矩陣表示是不唯一的，依賴于維數和基函數1任何點群，都有一個由數字1構成的 維 矩陣群表示，稱為 全對稱表示，任何標量函數都是全對稱表示

2、的基函數 rfrfR1.群的表示222212331,x,2,vfffyxy xyC2）例如，前面已經得到，以為基，可得到點群的矩陣表示如下：100010001E100010001V10002/1230232/13C10002/1230232/1V10002/1230232/123C 10002/1230232/1V3, ,3vxyzx y zC實際上，對點的3維坐標進行變換，我們也能得到點群的一個維的矩陣表示1.群的表示3）等價表示若群的表示 與 的矩陣，以同一相似變換相關聯(lián)，則 與 為等價表示, , , .,.E A B CEA B C 等價, .P 111AP APBP BPCP CP存在

3、非奇異方陣 ，滿足, P 和的維數相同，但不一定是群表示的矩陣221233212,2,3vg ggxxy yC前述示例中，以為基，曾得到點群的另一個維矩陣表示，實際上，與構成等價表示等價表示之間，基函數存在線性變換，表示矩陣之間為相似變換 123123,g g gf ffPPRPR1121.群的表示4）特征標定義：群表示矩陣的跡 對角元素之和 稱為特征標 RTrR等價表示，特征標相同 充要條件 ( )( )RRRG 與 等價，相似矩陣的跡相同點群中，同一共軛類的操作，特征標相同 -1 ,=,A BXGA X BXTrTrTrTrAB-1-1-1A = X BXAX BXBX XB若共軛，則存在

4、，滿足及 31233,3,()()0,()()()1vVVVCECC 例：對點群的表示1.群的表示4）可約與不可約表示矩陣直和10002/1230232/13C 331/ 23 2=1 =3 21/ 2abCC100010001E100010001V10002/1230232/13C10002/1230232/1V10002/1230232/123C 10002/1230232/1V3vC例：的矩陣表示,.abab333EEECCC均可表示成直和形式：1.群的表示根據線性代數知識，方塊化矩陣乘法為方塊對方塊的乘法方塊間的乘法關系和整個矩陣相同 每組子方塊矩陣均構成點群的一個 低維 表示32 2

5、331 11/ 23 201/ 23 203 21/ 203 21/ 2000100100aavvbbv C C C 例：.,:.,:2b23b3ba3a3aC,C,ECCEbaab 表示 為兩個低維表示的直和1.群的表示000000.iRR -1iX R XR,iXR：若存在相似變換 ，對 中所有定義均有所有矩陣能以相同方式對角方塊化(表示成直和)G則稱 是群 的可約表示，否則是不可約的ab前述示例中， 為可約表示，及均為不可約表示 一個群可以有無窮多個矩陣表示，但其中很多是等價表示，對于相互等價的表示，我們只需研究其中的一個，特征標是重要量 一個群可以有很多個不等價表示，但其中很多是可約的

6、，對于可約表示，我們可以將其約化為不可約表示的直和 因此研究群的性質，只需研究其不等價不可約表示的性質。對于有限階的群，其不等價的不可約表示是有限的2.特征標表332221222232111,111210,vvzxyCECAzxyzARExyRRxyxyxzyz1次齊次函數次齊次函數不可約表示符號 jR基函數示例：可判斷軌道對稱性不可約表示的慕利肯記號 n22ABET F1;111;1;21;11111nvvhhACBCCCgiui 一維表示： 或 ；二維表示： ；三維表示：下標下標上標；上標下標；下標3.不可約表示性質1）廣義正交定理（矩陣元正交定理） * jjjjmmnnRmnmnj jh

7、RRl l , ,:mnjjjmnj jl lRR：不可約表示；：相應維數，h為群的階的矩陣表示中的第矩陣元11333111231,2vaaCCC例的表示中，100010001E100010001V10002/1230232/13C10002/1230232/1V10002/1230232/123C 10002/1230232/1V3.不可約表示性質 一些推論性質（證明略）： 22*123=jjjjjkjkRjEhlhRRh縱和橫和方陣：數目 類數目112()(),(),()()jm njmnjmnjhmnjjmmnnjjjhm nRhhRRRllR 可將定理改寫為：不可約表示的每一套矩陣元構

8、成h維空間的一個向量，廣義正交定理告訴我們，這些向量是彼此正交的（可以用C3v檢驗）331223111111210vvCECAAE4.可約表示分解?jjjjaa 問題：，直和，對角方塊化 *1jjRaRRh結論： *11=jkkkjkjRkkRRaRaRRahhjkh331223111111210vvCECAAE 1,2, ,313,0,1a b cvEC 11113312236112316AAAvAvaEECC 230,1AEaa同理，1AE 3vC例：的矩陣表示*5.直積表示1）矩陣的直接乘積 其中， 特征標： 11121311121112212223212221226 6313233bb

9、baaaabbbaaaabbbBBABBB22211211aaaaA333231232221131211bbbbbbbbbB211113111211111111babababaa B)()()()()(2211BABBBAaa推廣：直積矩陣的特征標等于兩個直因子矩陣的特征標的普通乘積 2）直積表示 1212122 2,ffffR ffff R 以為基，表示 1231231233 3,=,gg ggR g ggg gg gR 以為基，表示111213212223,2 36f gf gf gf gf gf g 以全部乘積函數為基，可以支撐 起一個維的函數空間，它是對稱操作R的不變空間112311236 6,R f gf gf gf gfgR 可以證明：*5.直積表示fgfgRRR即：直積表示矩陣為因子表示矩陣的直積fgfgfg 得到的表示稱為和的直積表示，記為3）直積表示的特征標等于直因子表示的特征標的普通乘積*5.直積表示)()()(RRRjiji例： 顯然，一維表示的自身直積是全對稱表示 證明： 111ijAARaRRh ,111=1ijijijijijRRRRRRRRRhhhRRh *5.直積表示