高中數(shù)學中的數(shù)形結合思想

1、優(yōu)秀學習資料 歡迎下載第十四講數(shù)形結合思想基礎知識點：1 .數(shù)形結合是把數(shù)或數(shù)量關系與圖形對應起來，借助圖形來研究數(shù)量關系或者利用數(shù)量關系來研究 圖形的性質，是一種重要的數(shù)學思想方法。它可以使抽象的問題具體化，復雜的問題簡單化?！皵?shù)缺形時 少直觀，形少數(shù)時難入微”，利用數(shù)形結合的思想方法可以深刻揭示數(shù)學問題的本質。2 .數(shù)形結合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考綱指出“數(shù)學科的命題，在考查基礎知識 的基礎上，注重對數(shù)學思想思想方法的考查，注重對數(shù)學能力的考查”，靈活運用數(shù)形結合的思想方法， 可以有效提升思維品質和數(shù)學技能。3 . “對數(shù)學思想方法的考查是對數(shù)學知識在更高層次的抽象和概括的

2、考查，考查時要與數(shù)學知識相 結合”， 用好數(shù)形結合的思想方法，需要在平時學習時注意理解概念的幾何意義和圖形的數(shù)量表示，為 用好數(shù)形結合思想打下堅實的知識基礎。4 .函數(shù)的圖像、方程的曲線、集合的文氏圖或數(shù)軸表示等，是“以形示數(shù)”，而解析幾何的方程、斜率、距離公式，向量的坐標表示則是“以數(shù)助形”，還有導數(shù)更是數(shù)形形結合的產物，這些都為我們提供了 “數(shù)形結合”的知識平臺。5 .在數(shù)學學習和解題過程中，要善于運用數(shù)形結合的方法來尋求解題途徑，制定解題方案，養(yǎng)成數(shù) 形結合的習慣，解題先想圖，以圖助解題。用好數(shù)形結合的方法，能起到事半功倍的效果，“數(shù)形結合千 般好，數(shù)形分離萬事休”。經典例題剖析lx ,

3、 X 1,r(1 ) (2007浙江)設f(x)=g(X)是二次函數(shù)，若f(g(x)的值域是0,f ),則g(X)的值域是()A.-1 】IJ 1, 400 )C. 0,400 )解析：因為g(X)是二次函數(shù),X, X 1,b. (-0, -1 】U b,400)D. 1,)值域不會是a、b,畫出函數(shù)y = f (x)的圖像(圖1)易知，當g(x)值域是 此i )時，f(g(x)的仁政域是),答案：Co點評：本題考查函數(shù)的圖像、定義域、值域，是高考的一個重點，考題多以小題形式出現(xiàn)。(2) (2007黃岡模擬)平面直角坐標系中，若方程m(x2+y2+2y+1) = (x 2y+3)2表示橢圓，則

4、實數(shù)m的取值范圍是()優(yōu)秀學習資料歡迎下載_ ,x2 (y 1)2中k=-1時無解，k豐一1時,x =-1-1;A. (0, 5)B. (1, +)C. (0, 1) D. (5, +)解析：分析方程的結構特點，聯(lián)想橢圓第二定義，可知應把左右兩邊分別化為兩點間的距離和點到直線的距離：師尸y不鼻”,=W (0,1)時表示橢圓，解得 m5,故選Do, m.5點評：本題考查橢圓的第二定義，考查數(shù)形結合和綜合運用解析幾何知識分析解題的能力。2,設A=x|x|=kx+1,若AA R +=4 ,A ni-w力求實數(shù)k的取值范圍.解法1:方程|x|=kx+1的解是函數(shù)y=|x|和y=kx+1交點的橫坐標，結

5、合圖形知(如圖 2),當直線y=kx+1在角“范圍內時，方程有負根，且沒有正根，故k1 .“,x ：0解法2:由題意須士有解,-x = kx 1I無解.x 二 kx 1A, B, C的個數(shù)(不同的順序圖31中k=1時無解k才0時,若乂=0即kc1,則有解，1 -k所以，k1.k的幾何意義易得解,點評：解法1中，把方程解的討論問題轉化為兩個函數(shù)圖像交點的問題，利用 這是最常用的方法，較之法 2要簡捷得多，體現(xiàn)了數(shù)形結合的優(yōu)越性。3.設集全 aUbUc =1,2,3,4,5,且 APlB=1,3,求有序集合組算不同的組)。解析：借助文氏圖(圖 3)可知，三個集合 A、B、C把全集U分成 八個部分，

6、需按1、3是否屬于C分類，再把2、4、5三個數(shù)放到如圖中 五個位置即可，每一種放法對應一個有序集合組。按1、3是否屬于C分四類：(1)1、3 更 C; (2)1 C C 且 3 e C;(3)3 C C 且 1 正 C; (4)1 3 C共有53X4=500種。點評：畫出文氏圖，提高了解題的直觀性，使解題思路清晰，分類清楚，易于操作。24cos x -3 _ 0tan x -1 ： 0分析：利用三角函數(shù)的圖像或三角函數(shù)線（如圖4）求解，先求出一個周期上的解再寫出全部。解答: .24cos x -3 - 0tan x -1 ：二 033 :icosx 取 cosx 一=2tan x ： 1,3y

7、5 二66x7 二兀6圖464JI由圖得解集為:x | k ：_ x _ k 二(k Z)66點評：三角函數(shù)圖像和三角函數(shù)線，是處理三角函數(shù)值大小問題的兩個有力武器，用好它會使解題簡捷、高效。5.已知xy0,并且4x 2 -9y 2 =36 .由此能否確定一個函數(shù)關系y=f（x） ?如果能，求出其解析式、定義域和值域；如果不能，請說明理由.分析：4x 2 -9y 2 =36在解析幾何中表示雙曲線白方程，反映了變量x、y之間的對應關系，但還不一定是函數(shù)關系，函數(shù)中一個x只能對應唯一確定的 y,即圖像上看不能有“上下重疊”的點。但加上條件xy0呢？畫出圖形（如圖5)則一目了然。解：因為 4x29y

8、2 =36,22yx故 L =- -1 一049解得x -3或x之3 ,又xyg翼或0,y0)4卜面想要通過導數(shù)確定過第一象限點P(xo,yo) (0x01 )切線的斜率，就要建立x與y的函數(shù)關系,結合圖形(如圖6)可知：y=2 中x (0x1)(而不能是 y = 42/l-x2 )y = - i又 丫。= 2* -第 , y |x 自。=1,y2)6 .已知關于x的實系數(shù)二次方程 x2+ax+b=0有兩個實數(shù)根 a , B證明：(I )如果 I a I 2, I 3 那經,2 I a 1 4+b且 | b | 4;y=x2+ax+b的圖像(如圖 7)易(H )如果 2 1 a | 4+b且

9、1 b 1娜么 I a 1 2,3 . 2分析：借助函數(shù)圖像討論方程的解是很直觀有效的方法，由函數(shù)知 | a | 2, | 3 U0證明：根據(jù)韋達定理 I b | = | a 3 . 4因為二次函數(shù) f(x)=x2+ax+b 開 口向上，1 a | 2, | 3. 0,即 4+2a+b0, 2a-(4+b);4-2a+b0, 2a4+b2 | a | 4+b.(H )由 2 | a | 02即 2 +2a+b0f(2)0 .及 4-2a+b0 即(-2)2+(-2)a+b0,f(-2)0 .由此可知f(x)=O的每個實根或者在區(qū)間(-2,2)之內或者在(-2,2)之外.若兩根a ,物落在(-2

10、,2)之外，則與b 1 = a 3木廊若a或B落在(-2,2)外,則由于|b|二| a 6 |另47個根3或a必須落在(-2,2)內，則與、式矛盾.綜上所述a ,均落在(-2,2)內.點評：這是1993年全國高考題的壓軸題，標準答案中給的第一解法是利用求根公式寫出兩根，再由已知求出總的范圍，再轉化為a、b的關系，有一定的難度。但是利用數(shù)形結合，由二次函數(shù)的圖象討論實 根分布問題，就容易多了，其壓軸功能就大打了折扣。7.求函數(shù)y =x2 + |xa|+1的值域。分析：本題需要去絕對值化為分段函數(shù),再按直線x=a相對于兩個拋物線的對稱軸的位置分類討論，借助于圖象可有效幫助解題。解:- 2.x x

11、-a 1y = f(x) =2x -x a 11 93(x )- -a (x _a)24123(x -)- a (x :二 a)241(1)當a 時，如圖21 、 3y - f () = - -a2 4一 ，,11(2)當a 時，如圖1021 3知，y 一 f( ) = a2 4.1_3一綜上所述：當a萬時，值域為3-a,y)1 1.2當一一 a 一時，值域為一+a,+望)2 4點評：分段去絕對值，數(shù)形結合，分類討論。8. (2006 福建)已知函數(shù) f (x) =x2+8x, g(x) =6ln x+ m.(I)求f (x)在區(qū)間k,t+1上的最大值h(t)；(II)是否存在實數(shù) m,使得y

12、 = f(x)的圖象與y = g(x)的圖象有且只有三個不同的交點？若存在,求出m的取值范圍；若不存在，說明理由。優(yōu)秀學習資料歡迎下載分析：本題是利用導數(shù)方法討論單調性、最值和方程的解的問題，這些都離不開函數(shù)的圖象，要通過 畫圖或想著圖一步步解答。解：(I) f(x) =_x2+8x = _(x4)2+16.當t4時，(如圖11) f(x)在k,t+1上單調遞減, h(t) = f =t2 8t.當 t 44 4t +1,即 34t W4時，h(t) = f (4) =16；當t +1 4,即t 4(II)函數(shù)y = f(x)的圖象與 y =g(x)的圖象有且只有三個不同的交點(如圖12),即

13、函數(shù) *(x) = g(x) - f (x)的圖象與x軸的正半軸有且只有三個不同的交點。： (x) =x2 -8x 6ln x m,262x2 -8x 6 2(x-1)(x-3)z C、(x) =2x -8 = 二(x 0),x xx當xW(0,1)時，於(x) A0,O(x)是增函數(shù)；當 xW (0,3)時,*(x)0*(x)是減函數(shù);當 xW(3, +8)時，4(x) A0, Wx)是增函數(shù)；當 x=1，或 x=3時，+(x)=0.二 Wx)最大值=W1)=m7,Wx)最小值=W3) = m+61n 3-15.;當x充分接近0時，(x) 0.二要使文x)的圖象與x軸正半軸有三個不同的交點，

14、必須且只須即 7 : m ：15-6ln3.F(x)最大值=m -7 0, (x)最小值=m+6ln 315.0,所以存在實數(shù) m ,使得函數(shù)y = f (x)與y = g(x)的圖象有且只有三個不同的交點，m的取值范圍為優(yōu)秀學習資料 歡迎下載點評：本題主要考查函數(shù)的單調性、極值、最值等基本知識，考查運用導數(shù)研究函數(shù)性質的方法，考 查函數(shù)與方程、數(shù)形結合、分類與整合等數(shù)學思想方法和分析問題、解決問題的能力。三、方法總結與高考預測(一)方法總結1 .數(shù)形結合，數(shù)形轉化常從一下幾個方面：(1)集合的運算及文氏圖(2)函數(shù)圖象，導數(shù)的幾何意義(3)解析幾何中方程的曲線(4)數(shù)形轉化，以形助數(shù)的還有：

15、數(shù)軸、函數(shù)圖象、單位圓、三角函數(shù)線或數(shù)式的結構特征等；2 .取值范圍，最值問題，方程不等式解的討論，有解與恒成立問題等等，許多問題還可以通過換元 轉化為具有明顯幾何意義的問題，借助圖形求解。(二)高考預測1 .在高考題中，數(shù)形結合的題目主要出現(xiàn)在函數(shù)、導數(shù)、解析幾何及不等式最值等綜合性題目上， 把圖象作為工具、載體，以此尋求解題思路或制定解題方案，真正體現(xiàn)數(shù)形結合的簡捷、靈活特點的多是 選擇、填空等小題。2 .從近三年全國高考卷來看，全國卷與其它省市卷相比，涉及數(shù)形結合的題目略少，預測20XX年可能有所加強。因為對數(shù)形結合等思想方法的考查，是對數(shù)學知識在更高層次的抽象和概括能力的考查， 是對學

16、生思維品質和數(shù)學技能的考查，是考綱明確的一個命題方向。高考回顧(一) 選擇題1 .設集合 A=|x|x-2 W2,xw R , B= y | y =-x2,-1 x ax恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()4.5.A. a -1(2005福建)A. -272(2006湖南)若圓B._22a,b R,a2 2b2B.5.3C.a 1=6,則a + b的最小值是(C. - 3D.-4x -4y -10 = 0上至少有三個不同點到直線l: aX + by = 0 的距離為 2 J2 ,則直線l的傾斜角的取值范圍是JT JIA -,一12 45-B -,12 12冗D- 0,-6. ( 2007 安徽).

17、函數(shù)f(x)=3sin 2x- i的圖象為CI 3，11圖象C關于直線x = 11 n對稱;12函數(shù)f (x)在區(qū)間1i內是增函數(shù); 12 12)由y =3sin 2x的圖象向右平移 -個單位長度可以得到圖象C .3以上三個論斷中，正確論斷的個數(shù)是(A. 0B. 1C. 2D. 37. ( 2007浙江)要在邊長為16米的正方形草坪上安裝噴水龍頭,使整個草坪都能噴灑到水.假設每個噴水龍頭的噴灑范圍都是關徑為6米的圓面,則需安裝這種噴水龍頭的個數(shù)最少是(A. 38 .( 2005遼寧)已知y = f (x)是定義在 R 上的單調函數(shù)，實數(shù)Xi #X2,九# -1,._ XiX21 ,?=21 若

18、 |f(xjf(x2)|f(a) f(P)|,則() 1 ,c. 0九 19 .( 2006北京)在下列四個函數(shù)中滿足性質：“對于區(qū)間(1,2)上的任意X1,X2(X1 x2),| f(X1)f(X2)|X2X1| 恒成立”的只有，、1(A) f (X)= 一 X(B) f(X)=|X|(C)f(x) =2x2(D) f(x)=x(2006遼寧)直線 y=2k與曲線9k2x2+y2=18k2 x(k w R且k = 0 )的公共點的個數(shù)為(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4(2007天津).在 R上定義的函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且f (x) = f (2 x),若f(x)在區(qū)間1,2上是減函

19、數(shù)，則f (x)A.在區(qū)間-2, -1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)-2, -1上是增函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)-2, -1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是增函數(shù)-2, -1上是減函數(shù)，在區(qū)間3,4上是減函數(shù)212 . (2007 全國II) .設F為拋物線y =4x的焦點，A B, C為該拋物線上三點，若FA + FB+FC =0,FA1 - JFB FC =A. 9B. 6C. 4D. 3(二) 填空題若關于x的方程2.(2006 浙江)對 a,b R R,記則 max(a,b)=，a,a - b則函數(shù)b,a bf x = max lx 1 , x -2 /3.(2006湖北)關于x的方

20、程(xx -4|x|+5 = m有四個不相等的實根，則實數(shù)m的取值范圍為-1)2-|x2-1|+k=0 ,給出下列四個命題:存在實數(shù)k,使得方程恰有2個不同的實根存在實數(shù)k,使得方程恰有4個不同的實根存在實數(shù)k,使得方程恰有5個不同的實根存在實數(shù)k,使得方程恰有8個不同的實根其中假命題的個數(shù)是14.設奇函數(shù)f(x)的定義域為(-8, 0)U(0, +8)且在(0, +8)上單倜遞增，f(1)=0,則不等式f x(x-)2 m(x2 1)對滿足m W2的所有m都成立。求x的取值范圍。一.1 x22 .求函數(shù)y=-的最大值。2 x3. ( 2006 春上海) 設函數(shù) f(x)= x2 4x5 .(

21、1)在區(qū)間一2, 6上畫出函數(shù)f(x)的圖像；(2)設集合Ax f (x) 5), B=(叫-2U0, 4U6, +a ).試判斷集合 A和B之間的關系,并給出證明；4. 已知 acos a +bsin a =c, acos 3 +bsin 3 =c(ab w0, a wkn, k Z)求證:(3)當k 2時，求證：在區(qū)間1,5上，y =kx+3k的圖像位于函數(shù) f(x)圖像的上方.6.2.2-c2cos = ;7 .2 a2 b25.已知二次函數(shù)y=f1 (x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數(shù)y=f2 (x)的圖象與直線y=x的兩個交點間的距離為8, f (x) =fi (x)

22、 +f2 (x).(1)求函數(shù)f (x)的表達式;(2)證明：當a3時，關于x的方程f (x) =f (a)有三個實數(shù)解.(2006 浙江)設 f(x)=3ax 2+2bx+c,若 a+b+c=0, ,f(0) 0, f(1) 0,求證:(I )a0且-2v a v-1 ; (n)方程f(x)=0在(0, 1)內有兩個實根. b(四) 創(chuàng)新試題求函數(shù)u = 221 +4+6 -t的最值。設函數(shù)f(x) = a x2+8x+3 (a -x 12.、如右圖 fmin(x)=f1x : 一23.設 u=x 2-1,化原式為：|u |2 - |u |= -k ,畫出函數(shù)yuj -|U|的圖象，看使U*

23、1的解的個數(shù)，可知假命題的個數(shù)為0。4.解析：由已知畫出y=f(x)的圖象可知:當 xC (-1 , 0) U (1 , +8)時 f(x) 0當 xC (-8, -1)u (0, 1)時 f(x) -1 241616. .fx(x-)V 0成立，則必有20vx(x-1 )v 1,解之得：1-17vxv0 或1242x 4解答題1 .解：原不等式化為(x2-1) m- (2x-1 ) 02x2-2x-1 v 0-1.713解之，x的取值范圍為x 優(yōu)秀學習資料歡迎下載2.解：由定義知 1-xR0且2+xw0-1 x 1,故可設 x=cos 0 , 0C 0,兀,則有y =sin 71cos 1

24、2 cos 1 - (-2)sin 1-0可看作是動點0 , sin 0 ) (0 0,兀)與定點 A (-2,0)連線的斜率，而動點 M的軌跡方程2M (cos0,兀,x即 x2+y2=1 (yC0, 1是半圓。設切線為 AT, T為切點，|OT|=1 ,|OA|=2,_ 1k AT 一一 . 一1 0 W kAM、 ,3即函數(shù)的值域為0,3 193.解：(1)故最大值為5上單調(2)方程f(x)=5的解分別是2 -匹 0, 4和2+714,由于f(x)在(一叫一1和2,遞減，在-1,2和5, +2)上單調遞增，因此A - - ：，2 -、,14 1 0, 4 b .14, + 00 )由于

25、 2+標 -2,二 BUA.(3)解法一：當 xW1, 5時，f (x) =x2 +4x+5 ._2g(x) =k(x 3) 一(-x4x 5)=x2 (k -4)x (3k -5)4-k 2x -2k2 -20k 364 - k 丁 k 2,1 .又一1Ex45,24 -k4 k當1 4- 1 ,即 2 k 6 時，取 x =g (x) mink2 -20k 361k-10 2 -641: 16 (k -10)2 64,二(k -10)2 -64 0 .4 _k 一 一一 當 6 時，取 X = _1 , g(x)min= 2k 0.由、可知，當 k2 時，g(x) 0, xw1, 5.因此

26、，在區(qū)間1,5上，y =k(x+3)的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方.解法二：當 xw1,5時，f (x) = x2+4x+5.,y =k(x 3),2由彳 2得 x2 +(k 4)x+(3k 5) =0 ,y = -x4x 5,令 A=(k 4)2 4(3k5)=0,解得 卜=2或卜=18,在區(qū)間1, 5上，當k =2時，y =2(x+3)的圖像與函數(shù)f(x)的圖像只交于一點(1, 8);當k = 18時, y =18(x +3)的圖像與函數(shù)f (x)的圖像沒有交點.如圖可知，由于直線y =k(x+3)過點(3, 0),當k2時，直線y =k(x+ 3)是由直線y=2(x + 3)繞點(-3

27、,0)逆時針方向旋轉得到.因此，在區(qū)間-1,5上，y =k(x+3)的圖像位于函數(shù)f(x)圖像的上方.進而由A、B兩點坐標特點知其在單4 .分析：解決此題的關鍵在于由條件式的結構聯(lián)想到直線方程.位圓上.還要根據(jù)圖形的性質分析清楚結論的幾何意義，這樣才能巧用數(shù)形結合方法完成解題.證明：在平面直角坐標系中，點 A (cos a ,sin a )與點B (cos 3sin 3 )是直線l:ax+by=c與單位圓x2+y2=1的兩個交點如圖.從而：| AB | 2=(cos a - cos 3 )2+(sin a - sin 3 )2=2 - 2cos( a - 3 )(1)f2 (x)由已知，設 f

28、1 (x) =bx2,由 f(x) =1 ,k .分另ij為A (k, k),=(k0),則其圖象與直線 y=x的交點B ( k, k),由 |AB|=8 ,得 k=8 ,1. f2(X)= 8 ,故 f(X)=X2+ .XX(2)由 f (x) =f (a),得 x2+8=a2+8 , x a即 8 = x2+a2+8. xa在同一坐標系內作出f2(x)=8和f3(x)= x2+a2+3的大致圖象(如圖所示)，其中f2(x)的圖xa象是以坐標軸為漸近線，且位于第一、三象限的雙曲線，f3 (x)的圖象是以(0, a2+8)為頂點，開口向a下的拋物線.f2 (x)與f3 (x)的圖象在第三象限有一個交點，即 f (x) =f (a)有一個負數(shù)解.又fz (2) =4, f3 (2) =-4+a2+8 ,當 a3 時，af3 (2) f2 (2) =a 2+ 8 0 ,a當a3時，在f3 (x)第一象限的圖象上存在一點(2, f3 (2)在f2 (x)圖象的上方.f2 (x)與f3 (x)的圖象在第一象限有