齊次和非齊次線性方程組的解法定稿

1、線性方程組解的結(jié)構(gòu)(解法)-、齊次線性方程組的解法【定義】r(A)= r < n，若AX = 0 (A為m n矩陣)的一組解為 &, &,L，缶r ,且滿足:1，2L , n r線性無關(guān)；(2) AX = 0的)任一解都可由這組解線性表示則稱&, &,L，& r為AX = 0的基礎(chǔ)解系.稱X ki & k2 & L kn r En r為AX = 0的通解。其中k，k?,，心為任意常數(shù)).齊次線性方程組的關(guān)鍵問題就是求通解，而求通解的關(guān)鍵問題是求基礎(chǔ)解系.【定理】若齊次線性方程組 AX = 0有解，則(1)若齊次線性方程組 AX =

2、0 (A為m n矩陣)滿足r(A) n ,則只有零解；(2)齊次線性方程組有非零解的 充要條件是r(A) n.(注：當(dāng)m n時(shí)，齊次線性方程組有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式A 0.)注：1、基礎(chǔ)解系不唯一，但是它們所含解向量的個(gè)數(shù)相同，且基礎(chǔ)解系所含解向量的個(gè)數(shù)等于n r(A).2 、非齊次線性方程組 AX B的同解方程組的導(dǎo)出方程組(簡稱“導(dǎo)出組”)為齊次線性方程組AX 。所對應(yīng)的同解方程組。由上述定理可知，若 m是系數(shù)矩陣的行數(shù)(也即方程的個(gè)數(shù)) ，n是未知量的個(gè)數(shù)，則有：(1) 當(dāng)m n時(shí)，r(A) m n ,此時(shí)齊次線性方程組一定有非零解，即齊次方程組中未知量的個(gè)數(shù)大于方程的個(gè)數(shù)就

3、一定有非零解；(2)當(dāng)m n時(shí)，齊次線性方程組有非零解的 充要條件是它的系數(shù)行列式A 0;(3)當(dāng)m n且r(A) n時(shí)，若系數(shù)矩陣的行列式|A 0,則齊次線性方程組只有零解；(4)當(dāng)m n時(shí)，若r(A) n ,則存在齊次線性方程組的同解方程組；若r(A) n ,則齊次線性方程組無解。1、求AX = 0 (A為m n矩陣)通解的三步驟(1) A 行 C (行最簡形)；寫出同解方程組 CX =0.(2)求出CX =0的基礎(chǔ)解系&, &,L，& r ; 寫出通解Xk1 &k2 & L kn r3r其中k1, k2,，kn-r為任意常數(shù)2X13X2X35x40

4、,3X1X22X3X40,【例題1】解線性方程組4X1X23x36x40,X12X24x37x40.解法一：將系數(shù)矩陣A化為階梯形矩陣12472315071014164377生43顯然有r(A)則方程組僅有零解，即x1X2X3X40.解法二：由于方程組的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)(即n)(注意：方程組的個(gè)數(shù)不等于未知量的個(gè)數(shù)(即m n),不可以用行列式的方法來判斷)，從而可計(jì)算系數(shù)矩陣A的行列式:3270 ,知方程組僅有零解，即X1X2X3X40.注：此法僅對n較小時(shí)方便X1X2X3X4X50,3x12x2X3X43x50,X22x32x46X50,5x14x23X33x4X50.【例題2】解線性方

5、程組解：將系數(shù)矩陣A化為簡化階梯形矩陣13A 0512141123112311 ( 5)31(3)61r210001111122212221666r2r2 r2(1)r1r31) r4r210000100120012005600可得r(A)則方程組有無窮多解,同解方程組為令X3X4令X30,X4令X30,X4X1X20,1,0,X5X5X32x3X42X4X10,X1X5X15X5, (其中6x5.%為自由未知量)1,X21,X25公2;2;6,121211，20，30100所以，原方程組的通解 為 X560.01k11k22k33(k1 ，k2 ，k3R )二、非齊次線性方程組的解法求 AX

6、 = b 的解(Am n, r(A) r )用初等行變換求解，不妨設(shè)前r 列線性無關(guān)c11c12 Lc1 r Lc22 Lc2r Lc1n d1c2n d2OMMM(AMb)crr Ldr 1 0其中cii0(i1,2,L ,r), 所以知(1) dr 10 時(shí) , 原方程組無解.(2) dr 10,r n時(shí)，原方程組有唯一解(3) dr 10,r < n 時(shí) , 原方程組有無窮多解其通解為X 0 kl & k2 & Lkn r & r , kl, k2 ,L ,kn r為任意常數(shù)。其中：&, &,L，& r為AX = b導(dǎo)出組AX = 0

7、的基礎(chǔ)解系，0為AX = b的特解,【定理1】如果是非齊次線性方程組 AX=b的解，是其導(dǎo)出組AX=0的一個(gè)解，則是非齊次線性方程組AX=b的解?！径ɡ?】 如果0 是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，是其導(dǎo)出組的全部解，則0 是非齊次線性方程組的全部解。由此可知：如果非齊次線性方程組有無窮多解，則其導(dǎo)出組一定有非零解，且非齊次線性方程組的全部解0 C1 1 C2 2Cn r n rn r 是導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。答: 錯(cuò),因 r(A)= n, r(A)= n = r(A |答: 錯(cuò),因 r(A)< n, r(A)= r(A | b) ?答: 對,r ( A)= r(A |b) = n.其中：

8、0 是非齊次線性方程組的一個(gè)特解，1 ,【例題3】判斷下列命題是否正確，A為mn矩陣.若AX=0只有零解，則AX=bPH一解.(2)若AX=0有非零解，則AX=M無窮多解.若AX=bW唯一解，則AX=0只有零解.(4)若AX=0有非零解,則ATX=0也有非零解答：錯(cuò),A為 mn, r(A)= m<n, r(A)=m 這時(shí) AX=0 只有零解.例如 A為 3 4, RA)=3 <4,r(A)=3=m(5)若 r( A)= r =m 貝U AX=b必有解.答:又寸，r(A)=r =m= r(Ab).(6)若 r( A)= r =n,貝U AX=b有唯一解答：錯(cuò)，A為mn,當(dāng)mn時(shí)，可以

9、r( A | b) = n+1.唯一解：r(A) r(A) n線性方程組有唯一解x1【例題4】 解線性方程組 2x14x1X22x3X22x3X24X31,4,2.BA/(-AII: 角14 22 2 411112 416 62 2 413 3100r2匕2 42 ) r4-3 2 (3 3 r r1-216 0o o 10 3 01001-312 0001010100Xi可見r(A)r(A)3,則方程組有唯一解，所以方程組的解為X2X31,2, 0.無解:r(A)r(A)線性方程組無解(或若階梯形方程組出現(xiàn)dr0,則原方程組無解)【例題5】解線性方程組2解：A (A B) 11可見 r(A)

10、 3 r(A)無窮多解：r(A)2x1X1X1X22x2X2X3X32x31,2, 4.r1r1r1 2(r21)r3r2r32 ,所以原方程組無解.r(A) n線性方程組有無窮多解【例題6】解線性方程組X12X12X1X2X2X32x32x43X410X43,1,4.1解：A (A B) 22r110(r12) r22 r3024141002 2 r32 11r2 ( 1)可見r(A)r(A)則方程組有無窮多解，其同解方程組為X2x32x35X4,7X4.（其中X3, X4為自由未知量）令X30,X40,得原方程組的一個(gè)特解又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為XiX2X32x35X4,7x4.（

11、其中X3, X4為自由未知量）令 X3 1 , X4 0 ,得 X11,X2X30,X41 ,得 x15, X27,于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 為所以，原方程組的通解為k1【例題7】 求線性方程組:k2 2k2R).2X1X1X1解：A(A B)X22x2X2X3X4X32x33X4X41,2,3.的全部解.11122)1)23巳 1-3 3一212 ( 12 上 匕 L G 匕2 1312 31132 131004 163 2 33 16 0101001013-2 3-2 1-2001010100可見（A） （A） 3 4 ,所以方程組有無窮多解，其同解方程組為XiX2X33二 X4 ,2

12、3二 X4 ,21X4.2(其中X4為自由未知量)0,可得原方程組的一個(gè)特解1010又原方程組的導(dǎo)出組的同解方程組為XiX2X332X4，3-X4，（其中X4為自由未知量）2 41X4.2二,0, ,0,0550令X42 (注：這里取-2為了消去分母取單位向量的倍數(shù))，得X 3,X23,X3 1,3于是得到導(dǎo)出組的一個(gè)基礎(chǔ)解系 為 3 .12所以，原方程組的通解為 X k (k R)X13x23x32X4 X52x1 6X2 X3 3X4 2人4【例題8】求非齊次線性方程組1 234 的全部解。x1 3x2 2x3 x4 x513x1 9x2 4x3 5x4 x5 5解:1 33-261 A1

13、 323 942133021115151330050050052131241241241 30 00 00 0321512000000X2, X4, X5 ,3400原方程組與方程組X13x23x32x4X53 _同解5X3X42X540因?yàn)閞(A) r(A) 2 5 ,所以非齊次線性方程組有無窮多組解，取自由未知量為取自由未知量X2,X4,X5為0，得原方程組的一個(gè) 特解：3 4再求其導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，其 導(dǎo)出組與方程組Xi3x2 3x3 2x4 x502 345同解5x3 x4 2x5 0310 , 20010對自由未知量x2,x4,x5分別取 0 ,100715500125 ， 3510

14、0100，代入上式得到其導(dǎo)出組的一個(gè) 基礎(chǔ)解系 為:1則原方程組的全部解為：X C1 1 C2 2 C3 3三、證明與判斷【例題9】已知1, 2, 3是齊次線性方程組AX= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，證明1 , 12, 123也是齊次線性方程組AX= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。證：由已知可得：齊次線性方程組 AX= 0的基礎(chǔ)解系含有 3個(gè)解向量，并且由齊次線性方程組解的性質(zhì)可知1, 12, 123都是AX= 0的解；因此只要證明 1, 12, 123線性無關(guān)即可。設(shè)存在數(shù)k1,k2,k3使k1 1 k2 ( 12 ) k3 ( 123) 0 成立。整理得：(kk2k3)1 (k2k3)2k330(1)已知1,

15、 2, 3是齊次線性方程組 AX= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，即得1, 2, 3線性無關(guān)，則由(1)得k1 k2 k30k2 k3 0 ,解得：k1 k2 k3 0 所以1, 12, 123線性無關(guān)。k30即1, 12, 123也是齊次線性方程組 AX= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系。【例題10】已知&, &, &, &是齊次線性方程組 AX= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，若討論t滿足什么條件時(shí)，1, 2, 3, 4是齊次線性方程組 AX= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系解：首先，1, 2, 3, 4是齊次線性方程組 AX= 0的解，只須證 1, 2, 3, 4線性無關(guān)由已知有:1t0001t0001tt

16、 0 01因?yàn)?1， 2,3, 4線性無關(guān)1 t 0 001 t0001tt0011 t 0001 t0001 t所以當(dāng)時(shí),1， 2， 3,4是齊次線性方程組AX= 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系【例題11】已知n階矩陣A的各行元素之和均為零，且r (A)= n-1,求線性方程組 AX=0的通解.解：由r(A)= n-1知AX=0的基礎(chǔ)解系有一個(gè)非零解向量又 ai1 ai2 Lain0, i 1,2,L , n , 即 ai1 1 ai2 1 L ain 10X k(1,1,L ,1)T, (k為任意常數(shù))為所求通解【例題12】設(shè)X,沖，Xt是非齊次線性方程組 AX =b 0的解向量,證明： 對于 %=k1

17、X+k2 X2+kt X當(dāng)k1 +k2+kt=1時(shí)，為是AX=b的解；當(dāng)k1 +k2+kt=0時(shí)，是AX=0的解.證：AX=A( k1 X+k2 X2+ktX)= k1 AX+k2 AX+ktAX=k1 b+k2 b+ktb=(k1+k2+kt)b故：當(dāng) k1+k2+kt=1 時(shí)，AX =b當(dāng) k1 +k2+kt=0 時(shí)，AX=0的時(shí)候，解向量組的由此可見，非齊次方程組的解對于線性組合并不一定封閉，只有組合系數(shù)的和等于1線性組合才是非齊次方程組的解【例題13】已知1, 2為AX的兩個(gè)不同解，&, &是AX = 0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.k1，k2為任意常數(shù).則AX的通解為(A) k1

18、&k2( a(B)K& k2( & a)(C)K 自k2 ( 1(D)K& k2( 12)【例題14】設(shè)3是四元非齊次線性方程組 AX= b的三個(gè)解向量,且矩陣 A的秩為3,1. 2,3, 4T,230, 1, 2, 3 T，求 AX= b 的通解。解：因?yàn)锳的秩為3,則AX= 0的基礎(chǔ)解系含有 4-3= 1個(gè)解向量。由線性方程組解的性質(zhì)得:232 1( 21 )( 3 ，是 AX= 0 的解,則解得AX= 0的一個(gè)非零解為：23 2 12,3,4,5 T。231,由此可得AX= b的通解為:1, 2, 3, 4T c2, 3, 4,5TO【例題15設(shè)A是4階方陣,(W0)是4X1矩陣,r(A)2,3, 4是AX = 的解,且滿足 124208,233 13321 01試求方程組AX = 的通解.解：先求AX的一個(gè)特解12 04再求AX =的一個(gè)基礎(chǔ)解系12(13(2 23)021，32(3 327015因?yàn)?R(A)2,&, &線性無關(guān)，所以&, &是AX =0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.故方程組AX =的通解是k1 a1204k10213