首師大附屬麗澤中學考前專題輔導——立體幾何

1、高中數(shù)學重要知識點及典型例題立體幾何 空間幾何體的結構、三試圖、直觀圖和表面積、體積1、棱柱（1）棱柱的性質棱柱的每一個側面都是平行四邊形，所有的側棱都平行且相等；直棱柱的每一個側面都是矩形；正棱柱的各個側面都是全等的矩形.棱柱的兩個底面與平行于底面的截面都是全等的多邊形.過棱柱不相鄰的兩條側棱的截面都是平行四邊形（2）平行六面體與長方體概念：底面是平行四邊形的棱柱是平行六面體；側棱垂直于底面的平行六面體叫直平行六面體；底面為矩形的直平行六面體叫長方體，各側棱長都相等的長方體叫正方體.性質：<1>平行六面體的對角線相交于一點且互相平分 <2>設長方體過同一頂點的三條棱長

2、分別為，一條對角線與過同一頂點的三條棱所成角分別為,則體對角線的長為：（1）直棱柱：側棱和底面垂直的棱柱叫直棱柱。（2）正棱柱：底面是正多邊形的直棱柱校正棱柱。2、棱錐（1）正棱錐：底面是正多邊形且頂點在底面的射影是中心的棱錐（2）棱錐的性質：平行于底面的截面與底面相似，面積之比等于相似比的平方正棱錐的側棱相等，各側面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（斜高）相等正棱錐的高、斜高及其在底面上的射影組成一個可解決側面與底面所成二面角；高、側棱及其在底面上的射影組成一個可解決側面與底面所成線面角.3、球（1）截面圓的性質球心與截面圓心的連線垂直于截面球心到截面圓的距離與求的半徑及截面圓半

3、徑，滿足4.三視圖5.斜二測畫法畫水平設置的平面圖形的直觀圖： 450或1350 等長， 原來的一半6柱體，錐體，球體的表面積、體積公式：直線與平面的位置關系1、直線與平面的位置關系：2、直線與平面平行的判定（1）判定定理: (線線平行，則線面平行)（2）面面平行的性質： (面面平行，則線面平行)3、直線與平面平行的性質 (線面平行，則線線平行)4、直線與平面垂直的判定（1）直線與平面垂直的定義的逆用 （2）判定定理： （線線垂直，則線面垂直）（3） （4）面面垂直的性質定理： （面面垂直，則線面垂直）（5）面面平行性質定理：兩個平面的位置關系1、兩個平面平行的判定（1）判定定理： （線線平行

4、，則面面平行）（2） 垂直于同一平面的兩個平面平行（3） 平行于同一平面的兩個平面平行 2、兩個平面平行的性質（1）性質1：（2）面面平行的性質定理： （面面平行，則線線平行）（3）性質2：3、兩個平面垂直的判定與性質（1）判定定理： （線面垂直，則面面垂直）（2）性質定理：面面垂直的性質定理： （面面垂直，則線面垂直） 向量法由直線、平面的位置關系以及直線的方向向量和平面的法向量,可以歸納如下結論：1）平行關系的判定：設直線l1，l2的方向向量分別為，平面，的法向量分別為，則 線線平行：l1l2 ；線面平行：l1平面  ；面面平行：平面平面 

5、 ；2）垂直關系的判定：線線垂直：l1l2 ；線面垂直：l1平面  ；面面垂直：平面  3）求角1、異面直線所成角：平移法 即平移一條或兩條直線作出夾角，再解三角形. （注意異面直線所成角的范圍）2、斜線與平面所成的角 （1）求作法（即射影轉化法）：找出斜線在平面上的射影，關鍵是作垂線，找垂足.（2）向量法：設平面的法向量為，則直線與平面所成的角為，則 3、二面角及其平面角 ，平面的法向量分別為。 4）求空間距離（1）找出或作出有關的距離；證明它符合定義；求之。（2）向量法平面BCD的法向量，A到平面BCD的距離：例題1、（2011海

6、淀二模理17）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，和是兩個邊長為的正三角形，為的中點，為的中點 ()求證：平面；()求證：平面； ()求直線與平面所成角的正弦值2（2011西城一模理17）ABCDFE如圖, 是邊長為的正方形，平面，與平面所成角為.()求證：平面；()求二面角的余弦值；（）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得平面，并證明你的結論.3（2011東城一模理16）已知四棱錐的底面是菱形，與交于點，分別為，的中點OECABDPH（）求證：平面；（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值 4(2011豐臺一模理16.)PABCDQM如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形

7、，AD/BC，ADC=90°，平面PAD底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（）若點M是棱PC的中點，求證：PA / 平面BMQ；（）求證：平面PQB平面PAD； （）若二面角M-BQ-C為30°，設PM=tMC，試確定t的值 5（2011西城二模理16.）如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐.（）若點是棱的中點，求證:平面；（）求二面角的余弦值；（）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得，并證明你的結論.M6 將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD平面CBD，AE平面ABD

8、，且AE （）求證：DEAC； （）求DE與平面BEC所成角的正弦值； （）直線BE上是否存在一點M，使得CM平面ADE，若存在，求點M的位置，不存在請說明理由解：（）以A為坐標原點AB,AD,AE所在的直線分別為軸例題答案；1、（2011海淀二模理17）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，和是兩個邊長為的正三角形，為的中點，為的中點 ()求證：平面；()求證：平面； ()求直線與平面所成角的正弦值（）證明：設為的中點，連接，則，四邊形為正方形，為的中點，F(xiàn)為的交點， ， .2分，在三角形中，4分，平面； 5分()方法1：連接，為的中點，為中點，平面，平面，平面. 9分F方法2：由()知平面，又，所

9、以過分別做的平行線，以它們做軸，以為軸建立如圖所示的空間直角坐標系，由已知得：，則，. 平面，平面，平面； 9分() 設平面的法向量為，直線與平面所成角，則，即，解得，令，則平面的一個法向量為，又則，直線與平面所成角的正弦值為. 2（2011西城一模理17）ABCDFE如圖, 是邊長為的正方形，平面，與平面所成角為.()求證：平面；()求二面角的余弦值；（）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得平面，并證明你的結論. ()證明： 因為平面，所以. 2分因為是正方形，所以，從而平面. 4分()解：因為兩兩垂直，所以建立空間直角坐標系如圖所示.因為平面，在平面上的射影是DB，所以是與平面所成角

10、，即， 5分所以.由可知，. 6分則，所以， 7分設平面的法向量為，則，即，令，則. 8分因為平面，所以為平面的法向量，所以. 9分因為二面角為銳角，所以二面角的余弦值為. 10分()解：點是線段上一個動點，設.則，因為平面，所以， 11分即，解得. 12分此時，點坐標為，符合題意. 13OECABDPH3（2011東城一模理16）已知四棱錐的底面是菱形，與交于點，分別為，的中點（）求證：平面；（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值 （）證明：因為，分別為，的中點。所以 又平面,平面 所以平面（）證明：連結， 因為，所以在菱形中，又因為，所以平面又平面，所以在直角三角形中，所以又，為的

11、中點，所以又因為 所以平面（）解：過點作，所以平面如圖，以為原點，所在直線為軸，建立空間直角坐標系可得，所以，設是平面的一個法向量，則，即，令，則設直線與平面所成的角為，可得所以直線與平面所成角的正弦值為4(2011豐臺一模理16.)PABCDQM如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD/BC，ADC=90°，平面PAD底面ABCD，Q為AD的中點，M是棱PC上的點，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（）若點M是棱PC的中點，求證：PA / 平面BMQ；（）求證：平面PQB平面PAD； （）若二面角M-BQ-C為30°，設PM=tMC，試確定t的值 證

12、明：（）連接AC，交BQ于N，連接MN 1分BCAD且BC=AD，即BCAQ四邊形BCQA為平行四邊形，且N為AC中點，又點M在是棱PC的中點， MN / PA 2分 MN平面MQB，PA平面MQB，3分 PA / 平面MBQ 4分（）AD / BC，BC=AD，Q為AD的中點，四邊形BCDQ為平行四邊形，CD / BQ 6分ADC=90° AQB=90° 即QBAD又平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCD=AD， 7分BQ平面PAD 8分BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 9分另證：AD / BC，BC=AD，Q為AD的中點 BC / DQ 且BC= DQ， 四

13、邊形BCDQ為平行四邊形，CD / BQ ADC=90° AQB=90° 即QBAD 6分 PA=PD， PQAD 7分 PQBQ=Q，AD平面PBQ 8分 AD平面PAD，平面PQB平面PAD 9分（）PA=PD，Q為AD的中點， PQADPABCDQMNxyz平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD10分（不證明PQ平面ABCD直接建系扣1分）如圖，以Q為原點建立空間直角坐標系則平面BQC的法向量為；，11分設，則， ， 12分在平面MBQ中， 平面MBQ法向量為 13分二面角M-BQ-C為30°， ， 14分5（2011西城

14、二模理16.）如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐.（）若點是棱的中點，求證:平面；（）求二面角的余弦值；（）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得，并證明你的結論.M（）證明：因為點是菱形的對角線的交點，所以是的中點.又點是棱的中點，所以是的中位線，. 1分因為平面,平面,所以平面. 3分ABCODxyzM（）解：由題意，因為，所以，. 4分又因為菱形，所以，.建立空間直角坐標系，如圖所示.所以 6分設平面的法向量為，則有即：令，則，所以. 7分因為,所以平面. 平面的法向量與平行，所以平面的法向量為. 8分，因為二面角是銳角，所以二面角的余弦值為.9分（）解：因為是線段上一個動點，設，則，所以， 10分則，由得，即，11分解得或， 12分所以點的坐標為或. 13分（也可以答是線段的三等分點，或）6 將邊長為2的正方形ABCD沿對角線BD折疊，使得平面ABD平面CBD，AE平面ABD，且AE （）求證：DEAC； （）求DE與平面BEC所成角的正弦值； （）直線BE上是否存在一點M，使得CM平面ADE，若存在，求