高中數(shù)學導數(shù)的應用——極值與最值專項訓練題(全)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上高中數(shù)學專題訓練導數(shù)的應用極值與最值一、選擇題1函數(shù)yax3bx2取得極大值和極小值時的x的值分別為0和，則()Aa2b0B2ab0C2ab0 Da2b0答案D解析y3ax22bx，據(jù)題意，0、是方程3ax22bx0的兩根，a2b0.2當函數(shù)yx·2x取極小值時，x()A. BCln2 Dln2答案B解析由yx·2x得y2xx·2x·ln2令y0得2x(1x·ln2)02x0，x3函數(shù)f(x)x33bx3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則()A0b1 Bb1Cb0 Db答案A解析f(x)在(0,1)內(nèi)有極小值，則f(x)3x

2、23b在(0,1)上先負后正，f(0)3b0，b0，f(1)33b0，b1綜上，b的范圍為0b14連續(xù)函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，若(x1)·f(x)>0，則下列結論中正確的是()Ax1一定是函數(shù)f(x)的極大值點Bx1一定是函數(shù)f(x)的極小值點Cx1不是函數(shù)f(x)的極值點Dx1不一定是函數(shù)f(x)的極值點答案B解析x>1時，f(x)>0x<1時，f(x)<0連續(xù)函數(shù)f(x)在(，1)單減，在(1，)單增，x1為極小值點5函數(shù)yx23x4在0,2上的最小值是()ABC4 D答案A解析yx22x3.令yx22x30，x3或x1為極值點當x0,1時，

3、y<0.當x1,2時，y>0，所以當x1時，函數(shù)取得極小值，也為最小值當x1時，ymin.6函數(shù)f(x)的導函數(shù)f(x)的圖象，如右圖所示，則()Ax1是最小值點Bx0是極小值點Cx2是極小值點D函數(shù)f(x)在(1,2)上單增答案C解析由導數(shù)圖象可知，x0，x2為兩極值點，x0為極大值點，x2為極小值點，選C.7已知函數(shù)f(x)x3x2x，則f(a2)與f(1)的大小關系為()Af(a2)f(1)Bf(a2)<f(1)Cf(a2)f(1)Df(a2)與f(1)的大小關系不確定答案A解析由題意可得f(x)x22x.由f(x)(3x7)(x1)0，得x1或x.當x<1時，f

4、(x)為增函數(shù)；當1<x<時，f(x)為減函數(shù)所以f(1)是函數(shù)f(x)在(，0上的最大值，又因為a20，故f(a2)f(1)8函數(shù)f(x)ex·，則()A僅有極小值B僅有極大值C有極小值0，極大值D以上皆不正確答案B解析f(x)ex··exex()ex·.令f(x)0，得x.當x>時，f(x)<0；當x<時，f(x)>0.x時取極大值，f()·.二、填空題9若yalnxbx2x在x1和x2處有極值，則a_，b_.答案解析y2bx1.由已知，解得10已知函數(shù)f(x)x3bx2c(b，c為常數(shù))當x2時，函數(shù)f

5、(x)取得極值，若函數(shù)f(x)只有三個零點，則實數(shù)c的取值范圍為_答案0<c<解析f(x)x3bx2c，f(x)x22bx，x2時，f(x)取得極值，222b×20，解得b1.當x(0,2)時，f(x)單調(diào)遞減，當x(，0) 或x(2，)時，f(x)單調(diào)遞增若f(x)0有3個實根，則，解得0<c<11設mR，若函數(shù)yex2mx(xR)有大于零的極值點，則m的取值范圍是_答案m<解析因為函數(shù)yex2mx(xR)有大于零的極值點，所以yex2m0有大于0的實根令y1ex，y22m，則兩曲線的交點必在第一象限由圖象可得2m>1，即m<.12已知函數(shù)

6、f(x)x3px2qx的圖象與x軸相切于(1,0)，則極小值為_答案0解析f(x)3x22pxq，由題知f(1)32pq0.又f(1)1pq0，聯(lián)立方程組，解得p2，q1.f(x)x32x2x，f(x)3x24x1.由f(x)3x24x10，解得x1或x，經(jīng)檢驗知x1是函數(shù)的極小值點，f(x)極小值f(1)0.三、解答題13設函數(shù)f(x)sinxcosxx1,0x2，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值解析由f(x)sinxcosxx1,0x2，知f(x)cosxsinx1，于是f(x)1sin(x)令f(x)0，從而sin(x)，得x，或x.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(0，

7、)(，)(，2)f(x)00f(x)單調(diào)遞增2單調(diào)遞減單調(diào)遞增因此，由上表知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)與(，2)，單調(diào)遞減區(qū)間是(，)，極小值為f()，極大值為f()2.14設函數(shù)f(x)6x33(a2)x22ax.(1)若f(x)的兩個極值點為x1，x2，且x1x21，求實數(shù)a的值；(2)是否存在實數(shù)a，使得f(x)是(，)上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由解析f(x)18x26(a2)x2a.(1)由已知有f(x1)f(x2)0，從而x1x21，所以a9；(2)由于36(a2)24×18×2a36(a24)>0，所以不存在實數(shù)a，使得f(x

8、)是(，)上的單調(diào)函數(shù)15已知定義在R上的函數(shù)f(x)x2(ax3)，其中a為常數(shù)(1)若x1是函數(shù)f(x)的一個極值點，求a的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(1,0)上是增函數(shù)，求a的取值范圍解析(1)f(x)ax33x2，f(x)3ax26x3x(ax2)x1是f(x)的一個極值點，f(1)0，a2.(2)解法一當a0時，f(x)3x2在區(qū)間(1,0)上是增函數(shù)，a0符合題意；當a0時，f(x)3ax(x)，令f(x)0得：x10，x2.當a>0時，對任意x(1,0)，f(x)>0，a>0符合題意；當a<0時，當x(，0)時，f(x)>0，1，2a<0符

9、合題意；綜上所述，a2.解法二f(x)3ax26x0在區(qū)間(1,0)上恒成立，3ax60，a在區(qū)間(1,0)上恒成立，又<2，a2.16已知函數(shù)f(x)x2ax1lnx.(1)若f(x)在(0，)上是減函數(shù)，求a的取值范圍；(2)函數(shù)f(x)是否既有極大值又有極小值？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由解析(1)f(x)2xa，f(x)在(0，)上為減函數(shù)，x(0，)時2xa<0恒成立，即a<2x恒成立設g(x)2x，則g(x)2.x(0，)時>4，g(x)<0，g(x)在(0，)上單調(diào)遞減，g(x)>g()3，a3.(2)若f(x)既有極大值又有

10、極小值，則f(x)0必須有兩個不等的正實數(shù)根x1，x2，即2x2ax10有兩個不等的正實數(shù)根故a應滿足a>2，當a>2時，f(x)0有兩個不等的實數(shù)根，不妨設x1<x2，由f(x)(2x2ax1)(xx1)(xx2)知，0<x<x1時f(x)<0，x1<x<x2時f(x)>0，x>x2時f(x)<0，當a>2時f(x)既有極大值f(x2)又有極小值f(x1)1. 已知yf(x)是奇函數(shù)，當x(0,2)時，f(x)lnxax(a>)，當x(2,0)時，f(x)的最小值為 1，則a的值等于_答案1解析f(x)是奇函數(shù)，f

11、(x)在(0,2)上的最大值為1，當x(0,2)時，f(x)a，令f(x)0得x，又a>，0<<2.令f(x)>0，則x<，f(x)在(0，)上遞增；令f(x)<0，則x>，f(x)在(，2)上遞減，f(x)maxf()lna·1，ln0，得a1.2設函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時取得極值(1)求a、b的值；(2)若對任意的x0,3，都有f(x)<c2成立，求c的取值范圍解(1)f(x)6x26ax3b，因為函數(shù)f(x)在x1及x2時取得極值，則有f(1)0，f(2)0，即解得a3，b4.(2)由(1)可知，f(x)

12、2x39x212x8c，f(x)6x218x126(x1)(x2)當x(0,1)時，f(x)>0；當x(1,2)時，f(x)<0；當x(2,3)時，f(x)>0.所以，當x1時，f(x)取得極大值f(1)58c.又f(0)8c，f(3)98c，則當x0,3時，f(x)的最大值為f(3)98c.因為對于任意的x0,3，有f(x)<c2恒成立，所以98c<c2，解得c<1或c>9.因此c的取值范圍為(，1)(9，)3已知函數(shù)f(x)x33ax23x1.(1)設a2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個極值點，求a的取值范圍解析

13、(1)當a2時，f(x)x36x23x1，f(x)3(x2)(x2)當x(，2)時f(x)0，f(x)在(，2)上單調(diào)增加；當x(2，2)時f(x)0，f(x)在(2，2)上單調(diào)減少；當x(2，)時f(x)0，f(x)在(2，)上單調(diào)增加綜上，f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(，2)和(2，)，f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(2，2)(2)f(x)3(xa)21a2當1a20時，f(x)0，f(x)為增函數(shù)，故f(x)無極值點；當1a20時，f(x)0有兩個根，x1a，x2a.由題意知，2a3，或2a3.式無解式的解為a.因此a的取值范圍是(，)1“我們稱使f(x)0的x為函數(shù)yf(x)的零點若函數(shù)yf(x)在

14、區(qū)間a，b上是連續(xù)的，單調(diào)的函數(shù)，且滿足f(a)·f(b)<0，則函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上有唯一的零點”對于函數(shù)f(x)6ln(x1)x22x1，(1)討論函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性，并求出函數(shù)極值(2)證明連續(xù)函數(shù)f(x)在2，)內(nèi)只有一個零點解析(1)解：f(x)6ln(x1)x22x1定義域為(1，)，且f(x)2x2，f(x)0x2(2舍去).x(1,2)2(2，)f(x)0f(x)取得極大值由表可知，f(x)值在區(qū)間(1,2上單調(diào)遞增，在2，)上單調(diào)遞減當x2時，f(x)的極大值為f(2)6ln31.(2)證明：由(1)知f(2)6ln31>0，f(x

15、)在2,7上單調(diào)遞減，又f(7)6ln83618(ln22)<0，f(2)·f(7)<0.f(x)在2,7上有唯一零點當x7，)時，f(x)f(7)<0，故x7，)時，f(x)不為零yf(x)在7，)上無零點函數(shù)f(x)6ln(x1)x22x1在定義域內(nèi)只有一個零點2(2010·江西高考)設函數(shù)f(x)ln xln (2x)ax(a>0)(1)當a1時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)在(0,1上的最大值為，求a的值解析函數(shù)f(x)的定義域為(0,2)，f(x)a.(1)當a1時，f(x)，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(

16、，2)；(2)當x(0,1時，f(x)a>0，即f(x)在(0,1上單調(diào)遞增，故f(x)在(0,1上的最大值為f(1)a，因此a.3已知函數(shù)f(x)x33x29xa.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f(x)在區(qū)間2,2上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值分析本題考查多項式的導數(shù)公式及運用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)的最值，題目中需注意應先比較f(2)和f(2)的大小，然后判定哪個是最大值從而求出a.解(1)f(x)3x26x9.令f(x)<0，解得x<1，或x>3，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，1)，(3，)(2)f(2)81218a2a，f(2)81218

17、a22a，f(2)>f(2)在(1,3)上f(x)>0，f(x)在(1,2上單調(diào)遞增又由于f(x)在2，1)上單調(diào)遞減，f(1)是f(x)的極小值，且f(1)a5.f(2)和f(1)分別是f(x)在區(qū)間2,2上的最大值和最小值，于是有22a20，解得a2.f(x)x33x29x2.f(1)a57，即函數(shù)f(x)在區(qū)間2,2上的最小值為7.4已知函數(shù)f(x)xex(xR)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)已知函數(shù)yg(x)的圖象與函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x1對稱證明當x1時，f(x)g(x)；(3)如果x1x2，且f(x1)f(x2)，證明x1x22.解析(1)f(x)

18、(1x)ex.令f(x)0，解得x1.當x變化時，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x(，1)1(1，)f(x)0f(x)極大值所以f(x)在(，1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1，)內(nèi)是減函數(shù)函數(shù)f(x)在x1處取得極大值f(1)，且f(1).(2)由題意可知g(x)f(2x)，得g(x)(2x)ex2.令F(x)f(x)g(x)，即F(x)xex(x2)ex2，于是F(x)(x1)(e2x21)ex.當x1時，2x20，從而e2x210，又ex0.所以F(x)0.從而函數(shù)F(x)在1，)上是增函數(shù)又F(1)e1e10，所以x1時，有F(x)F(1)0，即f(x)g(x)(3)若(x11)(x21)0

19、，由(1)及f(x1)f(x2)，得x1x21，與x1x2矛盾若(x11)(x21)0，由(1)及f(x1)f(x2)，得x1x2，與x1x2矛盾根據(jù)得(x11)(x21)0，不妨設x11，x21.由(2)可知，f(x2)g(x2)，g(x2)f(2x2)，所以f(x2)f(2x2)，從而f(x1)f(2x2)，因為x21，所以2x21，又由(1)可知函數(shù)f(x)在區(qū)間(，1)內(nèi)是增函數(shù)，所以x12x2，即x1x22.5已知函數(shù)f(x)ax3ax2，函數(shù)g(x)3(x1)2.(1)當a>0時，求f(x)和g(x)的公共單調(diào)區(qū)間；(2)當a>2時，求函數(shù)h(x)f(x)g(x)的極小值；(3)討論方程f(x)g(x)的解的個數(shù)解(1)f(x)3ax23ax3ax(x1)，又a>0，由f(x)>0得x<0或x>