愛因斯坦卷積流形的不存在性問題

1、愛因斯坦卷積流形的不存在性問題阮其華 3 ,黃 琴(莆田學院數(shù)學系 ,福建 莆田 351100)摘要 : 討論了帶有完備非緊基流形且 Ricci 平坦的愛因斯坦卷積流形的存在性問題. 證明了若基流形上總數(shù)量曲率非 正或卷積函數(shù)有界 ,且體積增長滿足一定條件 ,則不存在非平凡的 Ricci 平坦的愛因斯坦卷積流形.關鍵詞 :愛因斯坦卷積流形 ;卷積函數(shù) ;體積增長中圖分類號 :O 186 . 16 文獻標識碼 : A 文章編號 :043820479 (2010) 03203162031 主要結果設 B = ( B n , gB ) 和 F = ( Fm , g F ) 為兩個黎曼流形 , f 為

2、 B 上正的光滑函數(shù). 考慮帶有投影: B ×F B由條件 (i) 推導得出. 因此條件 (i) 是本質(zhì)的 ,利用條件(i) 可以構造愛因斯坦度量 ,在文獻 5 中把滿足條件 f(i) 的度量稱為擬愛因斯坦度量. 若令= e - m ,則條件(iii) 等價于 1和: B ×F F 的乘積流形 B ×F , 使得卷積流形 BRicB + He ss -d © d = g B .(1)m×f F 是乘積流形 B ×F 賦予度量 g = 3 gB + f 23g F , 這里 3 表示拉回映射. 函數(shù) f 稱為卷積函數(shù) , 流形B 稱為基

3、流形 , 流形 F 稱為纖維流形. 卷積流形的定 義是由 Bi shop 和 ONeil 1 最早引入 ,他們是為了構造 一些負曲率流形而引入這個定義. 卷積流形可以根據(jù) 基流形和纖維流形以及卷積函數(shù)的不同取法而構造出不同的度量 ,特別是構造愛因斯坦度量 ,具體可以參考 文獻 2 . 愛因斯坦度量是指 Ricci 曲率是度量的倍 數(shù) ,而帶有愛因斯坦度量的流形稱為愛因斯坦流形. 文 獻 3 給出了判定卷積流形是愛因斯坦流形的充要條件 :定理 1卷 積流形 上的 度量是 愛 因 斯 坦 度 量Ric M =gM 的充要條件是這里需要說明的是文獻 5 中所定義的擬愛因斯坦度量與文獻 627 中的定

4、義不同 ,文獻 627 中所定 義的擬愛因斯坦度量沒有 He ssia n 項 ,只有一階項. 另外我們還注意到式 (1) 中若 m 趨于無窮大 ,則RicB + He ss = g B .(2)在文獻 8 中把這樣的度量稱為梯度 Ricci 孤立 子 ,而且根據(jù)的正、零和負號分別將梯度 Ricci 孤立子稱為收縮、穩(wěn)定和擴張型梯度 Ricci 孤立子. 因此可以把擬愛因斯坦度量看作梯度 Ricci 孤立子的推廣 ,于是我們想知道能否把梯度 Ricci 孤立子的一些性質(zhì) 推廣到擬愛因斯坦度量.在文獻 9 中作者利用協(xié)變導數(shù)交換公式以及第 二 Bia nchi 恒等式 ,由式 (2) 可以得到下

5、面方程(i) RicB =gB + m He ss f , - | A| 2+ 2 = c. (3)f(ii) ( F , g F ) 是愛因斯坦流形使得 Ric F =g F ,(iii) ff + ( m - 1) | A f | 2 +f 2 =,其中 Ric M 和 g M 分別是 M 上的 Ricci 曲率和黎曼度 量 , He ss f 和 f 分 別 表 示 函 數(shù) f 的 He ssia n 和L ap lacia n .由文獻 4 可知定理 1 中條件 (iii) 是多余的 ,它可 以利用協(xié)變導數(shù)交換公式以及第二 Bia nchi 恒等式 ,收稿日期 :2009206207基

6、金項目 : 福建省青年人才項目 ( 10671130 ) ; 莆田市科技項目然后利用最大模原理得到 u 必為常數(shù) ,所以對于緊流形穩(wěn)定和擴張型梯度 Ricci 孤立子一定是愛因斯坦度 量. 在文獻 4 中作者證明對于擬愛因斯坦度量也有類似的性質(zhì) ,這意味著愛因斯坦卷積流形中的卷積函數(shù)是常數(shù) ,卷積流形是平凡的. 換句話說 ,不存在非平凡 的帶有非正數(shù)量曲率的緊愛因斯坦卷積流形. 在文獻 10 中作者證明了對任意緊流形一定存在某一度量使 得以此流形作為基流形的愛因斯坦卷積流形是平凡 的. 文獻 11 中作者考慮基流形是非緊完備流形 ,證明了若總數(shù)量曲率非正 ,且體積增長至多是二次增長 ,則Ric

7、ci 平坦的愛因斯坦卷積流形是平凡的. 本文首先修于二次增長 ,改進了文獻 11 中的結果.定理 2設 M = B n ×f F m 是帶有非緊完備基流形對上式從 R1 到 R2 求積分 , 這里 R2 > R1 > R0 , R0為某一固定的常數(shù) ,則且 Ricci 平坦的愛因斯坦卷積流形 , 若基流形上的總R2 1 1 1 數(shù)量曲率滿足 :對任意 R 0 ,R1 V ( t)因為d t - h ( R1 ). h ( R2 )B ( p , R) S B( x)d x 0 ,(4)R2 1R2且體積增長滿足 :存在某一正數(shù) c 使得R1 V ( t)d t ( R2

8、- R1 ) 2 (R1V ( t) d t) - 1 =V ( R) cR 2 l n ( 1 + R) . (5) 這里 V ( R) 表示以 p 為圓心 , R 為半徑的測地球 B ( p , R) 的體積 , S B ( x) 表示基流形上的數(shù)量曲率 ,則此愛因( R2 - R1 ) 2, V ( R2 ) - V ( R1 )所以2 2斯坦卷積流形是平凡的.若定理 2 中式 (4) 改為卷積函數(shù)有界 ,定理 2 同樣( R2 - R1 )V ( R2 )( R2 - R1 )V ( R2 ) - V ( R1 )1- h ( R1 )成立.定理 3設 M = B n ×f

9、F m 是帶有非緊完備基流形 且 Ricci 平坦的愛因斯坦卷積流形 ,若卷積函數(shù)有界 ,即存在某正常數(shù) k 使得1. h ( R2 )對任意 r > R0 , 令 R1 = 2 i r , R2 = 2 i + 1 r ,由式 ( 5) 可 得 c 1 1 0 < f k , (6)且體積增長滿足式 (5) ,則此愛因斯坦卷積流形是平凡4l n ( 1 + 2 i +1 r) h ( 2 i r) -h ( 2 i +1 r) .的對 上 式 從 i = 0 到 i = 求 和 , 因 為i = 02 定理 2 和定理 3 的證明14l n ( 1 + 2i +1 r) ,所以對

10、任意 r > R0 , h ( r) = 0 ,這我們先來證明定理 2 .定理 2 的證明因為卷積流形是平坦的愛因斯坦 流形 ,所以由定理 1 可知S B ( x) = m f - 1f .上式可以改寫成- l n f = | Al n f | 2 - m - 1 S B ( x) .對上式兩邊在球 B ( p , R) 上求積分 ,利用 Sto kes公式可得暗示了卷積函數(shù) f 必為常數(shù). 所以此愛因斯坦卷積流形是平凡的.證畢.在證明定理 3 之前 ,我們先來證明一個引理. 從引 理 1 的證明可以看出任何愛因斯坦卷積流形若基流形 是非緊流形 , 則愛因斯坦卷積流形上的 Ricci 曲

11、率是非正的. 而且引理 1 還告訴我們 ,若卷積函數(shù)有界 ,體 積增長滿足式 (5) ,則纖維流形 F 上的 Ricci 曲率是非 正的.( Al n f , v) d =| Al n f | 2 d x -引理 1設 M = B n×f F m是帶有非緊完備基流形9B ( p , R)m - 1B ( p , R)S B ( x) d x ,B ( p , R)的愛因斯坦卷積流形 ,若卷積函數(shù)有界 ,即存在某正常數(shù) k 使得 0 < f k ,且體積增長滿足式 ( 5) ,則纖維其中 v 和 d分別表示球面 9B ( p , R) 上的單位外法向流形 F上的 Ricci 曲率

12、是非正的.量和體積元素.由式 (4) 可知B ( p , R) | Al n f |d x 9B ( p , R) | Al n f | d .證明因為 M 為愛因斯坦卷積流形 ,所以由定理1 可知式 (1) 成立. 而文獻 12 中定理 5 告訴我們 ,若 式 (1) 中的> 0 ,則流形 B 一定是緊流形. 但 B 是非緊 流形 ,所以0 .2令 h ( R) =B ( p , R)| Al n f | 2 d x ,由 Schwa rz 不等因為 M 為愛因斯坦卷積流形 ,所以由定理 1 可知ff + ( m - 1) | A f | 2 +f 2 = ,式可知h ( R) h(

13、R) V ( R) .即令 u = f m ,則上式可以改寫成 m - 1m u m =u + m u .(7)由0 和式 (7) 可知1V ( R)- ( 1h ( R) . m - 2m u m u.(8)u > 0 .即1u2 > | A u | 2 .2在 B ( p , R) 上對上式求積分利用 Sto kes 定理 ,我參考文獻 : 1 Bi shop R L , ONeill B . Ma nifolds of negative curvat ureJ . Tra ns A mer Mat h Soc ,1969 ,145 :1249 . 2 Be sse A L .

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15、km9B ( p , R)| A u | .ace s wit h no npo sitive scala r curvat ure J . Proc A merMat h Soc ,2003 ,131 :257322576 .接下來利用定理 1 同樣的證明方法可以證明 u 是正的常數(shù) ,這與u > 0 矛盾 ,所以纖維流形上的 Ricci曲率是非正的. 證畢. 最后我們來證明定理 3 .定理 3 的證明因為愛因斯坦卷積流形是平坦的 ,所以式 (7) 變?yōu)?m - 2m u m = u ,這里 u = f m . 由引理 1 可知 u 0 .即| Al n u | 2 - l n u.在

16、 B ( p , R) 上對式 ( 8) 求積分利用 Sto kes 定理 ,可得 : 5 Ca se J , Shu Y J , Wei G F. Rigidit y of qua si2Einstein met2ric s EB/ OL . 2008208205 . ht tp :/ / a r xivo r g/ a bs/ 0805 .3132 . 6 Chaki M C. O n qua si2Einstein manifolds J . Publ Mat hDebrecen ,2001 ,58 :6832691 . 7 De U C , De B K. O n qua si2Ein

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