知識點總結(jié)高等代數(shù)

1、第二章行列式知識點總結(jié)一行列式定義1、n級行列式（1）等于所有取自不同行不同列的n個元素的乘積（2）的代數(shù)和，這里是一個n級排列。當是偶排列時，該項前面帶正號；當是奇排列時，該項前面帶負號，即：。2、等價定義和3、由n級排列的性質(zhì)可知，n級行列式共有項，其中冠以正號的項和冠以負號的項（不算元素本身所帶的負號）各占一半。4、常見的行列式1）上三角、下三角、對角行列式2）副對角方向的行列式3）范德蒙行列式：二、行列式性質(zhì)1、行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。2、互換行列式的兩行（列），行列式變號。3、行列式中某一行（列）中所有的元素都乘以同一個數(shù)，等于用這個數(shù)乘以此行列式。即：某一行（列）中所有的元素的

2、公因子可以提到整個行列式的外面。4、若行列式中有兩行成比例，則此行列式等于零。5、若某一行（列）是兩組數(shù)之和，則這個行列式等于兩個行列式之和，而這兩個行列式除這一行（列）以外全與原來行列式的對應的行（列）一樣。6、把行列式某一行（列）的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一行（列）對應的元素上，行列式不變。三、行列式的按行（列）展開1、子式1）余子式：在n級行列式中，去掉元素所在的第i行和第j列后，余下的n-1級行列式稱為的余子式，記作。2）代數(shù)余子式：稱為的代數(shù)余子式。3）級子式：在n級行列式中，任意選定行和列，位于這些行列交叉處的個元素，按原來順序構(gòu)成一個級行列式M，稱為D的一個級子式。當時，在D中

3、劃去這行和列后余下的元素按照原來的次序組成的級行列式稱為級子式M的余子式。2、按一行（列）展開1）行列式任一行（列）的各元素與其對應的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值，即按第i行展開按第j列展開2）行列式某一行（列）的元素與另一行（列）的對應元素的代數(shù)余子式乘積之和等零，即或3、按行（列）展開拉普拉斯定理：在n級行列式中，任意取定個行（列），由這行（列）元素組成的所有的級子式與它們的代數(shù)余子式的乘積之和等于行列式的值。4、其他性質(zhì)1）設為n階方陣，則；2）設為n階方陣，則；3）設為n階方陣，則，但；4）設為階方陣，設為n階方陣，則，但。5）行列式的乘法定理：兩個n級行列式乘積等于n級行列式四、

4、行列式的計算1、計算行列式常用方法：定義法、化三角形法、遞推法、數(shù)學歸納法、拉普拉斯定理等等。具體計算時需要根據(jù)等到式中行（或列）元素的特點來選擇相應的解題方法。方法一：遞推法分為直接遞推法和間接遞推法。用直接遞推法的關(guān)鍵是找出一個關(guān)于的代數(shù)式來表示，依次從，逐級遞推便可以求出的值。方法二：數(shù)學歸納法。第一步發(fā)現(xiàn)和猜想；第二步證明猜想的正確性。第二步的關(guān)鍵是首先要得到關(guān)于和的遞推關(guān)系式。方法三：加邊法。加邊法是將所要計算的n級行列式適當?shù)靥砑右恍幸涣校ɑ騧行m列）得到一個新的n+1（或m+1）級行列式，保持行列式的值不變，但是所得到的n+1（或m+1）級行列式較易計算。其一般做法如下：或特殊情

5、況取或。方法四：拆行（列）法。將所給的行列式拆成兩上或若干個行列式之和，然后再求行列式的值。拆行（列）法有兩種情況：一是行列式中有某行（列）是兩項之和，可直接利用性質(zhì)拆項；二是所給行列式中行（列）沒有兩項和形式，這時需作保持行列式值不變，使其化為兩項和。方法五：析因子法。如果行列式D中有一些元素是變數(shù)x（或某個參變數(shù)）的多項式，那么可以將行列式D當作一個多項式，然后對行列式實行某些變換，求出的互素的一次因式，使得與這些因式的乘積只相差一個常數(shù)因子c，根據(jù)多項式相等的定義，比較與的某一項系數(shù)，求出c值，便可求得。2、行列式計算中常用的類型：類型一：“兩條線”型行列式（非零元分布在兩條線上，例如，

6、等等）。注：“兩條線”型行列式一般采取直接展開降階法計算，或用拉普拉斯定理展開，降階后的行列式或為三角形行列式，或得到一個遞推公式。類型二：“三條線”行列式（非零元分布在三條線上）。（1）“三對角”行列式（）。注：“三對角”行列式可以按如下方法進行求解。首先得到一個一般的遞推公式，然后可以用以下兩種方法之一求出的表達式：l 先計算等，找出規(guī)律進行猜想，然后再用數(shù)學歸納法進行證明。l 間接遞推法：借助于行列式中元素的對稱性，交換行列式構(gòu)造出關(guān)于和的方程組，從而消去就可解得。（2）“爪型”行列式（）。注：“爪型”行列式可以按行（列）提取公因子，然后化為上（下）三角形行列式進行求解。（3）Hessenerg型行列式（）。類型三：各行（列）元素之和相等（或多數(shù)相等僅個別不相等）的行列式。注：行加法（或列加法）再化為三角形行列式進行求解。類型四：除主對角線外其余元素相同（或成比例）型行列式。注：拆行（列）法或再結(jié)合其他方法進行求解。類型五：可利用范德蒙行列式計算的行列式。類型六：其他形式行列式。五、克萊姆法則1、克萊姆法則：如果含有n個未知量的n個方程的線性方程組的系數(shù)行列式不等于零