第三章冪級數(shù)展開

1、第三章冪級數(shù)展開3.1 復(fù)數(shù)項的級數(shù)一 復(fù)數(shù)的無窮級數(shù)可表示為：（1）其中：前n項和為： =當(dāng)時級數(shù)：級數(shù)：故一個復(fù)數(shù)項級數(shù)可分解為實部項級數(shù)可虛部項級數(shù)兩個級數(shù)的組合收斂問題是線性討論級數(shù)的一個重要方面，而復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題可以歸結(jié)為兩個實數(shù)項級數(shù)（實部和虛部）的收斂1. 柯西收斂判據(jù)：一個級數(shù)還可寫為：（4）其中是錢n項和為余項判據(jù)：任何一個小正數(shù)若能找到一個N使得n>N時則稱收斂，其中p為任意整數(shù)2. 絕對收斂若是收斂的，則絕對收斂兩個斂的級數(shù)相乘后所得的級數(shù)耶是絕對收斂的，其和等于相乘級數(shù)和的乘積二復(fù)變項級數(shù)（復(fù)變函數(shù)項級數(shù)）1函數(shù)項級數(shù)一般表示為：（5）函數(shù)項級數(shù)的收斂問題得

2、涉及到z的取值域，若z在B上取值是（5）收斂，則稱在B上收斂。B稱為的收斂域函數(shù)項級數(shù)也可表示為：（6）2. 函數(shù)項級數(shù)的收斂如在B上，對于個點任意給，若存在N使得n>N時有則稱級數(shù)在B上一致收斂3.收斂級數(shù)性質(zhì)（1）在B上一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的每一項都是B上的連續(xù)函數(shù)（2）在B上一致收斂的函數(shù)項級數(shù)的每一項都可積分逐項積分 (3) 若有，而是收斂的，則絕對且一致收斂3.2 冪級數(shù)最典型也最常見的級數(shù)即級數(shù)的各項都是冪函數(shù) (1)其中、都是復(fù)常數(shù)，這一的級數(shù)叫做以為中心展開的冪級數(shù)一.級數(shù)收斂判別法1. 比值判別法（達(dá)朗貝爾判別法）：若：（3）則（2）正項級數(shù)收斂，亦即級數(shù)（1）絕對收斂

3、2. 根值判別法若：（4）則級數(shù)（2）收斂，亦即級數(shù)（1）絕對收斂3. 收斂域和收斂半徑函數(shù)級數(shù)的收斂問題（從根本上）具體要涉及的是收斂u的問題即，z在什么樣的范圍內(nèi)取值級數(shù)是收斂的，收斂判別法本身給出了z的取值范圍：由判別法“1”： (5)則（6）為級數(shù)（1）的收斂半徑只要滿足的所有點其級數(shù)（1）都收斂則以為中心R為半徑的區(qū)域是（1）的收斂區(qū)域，對應(yīng)圓稱（1）的收斂圓。由判別法“2”：收斂圓：（7）即有（8）這樣我們就有了兩種求收斂圓的方法以上的收斂判別是從絕對收斂的角度考慮討論，因此得到的收斂域比“全收斂域”要小，記載收斂域外仍有收斂的可能性。另外，由于（5）、（7）式是絕對不等號，故收斂

4、的邊界上夠絕對收斂域，可作半徑為的圓，使（稍小于）則稱對應(yīng)圓的“收斂內(nèi)圓”級數(shù)在收斂內(nèi)圓上是“一致收斂”例1， 求級數(shù)的收斂圓及在收斂域內(nèi)的收斂性解：利用此值判別法：在域內(nèi)：公比為t推論：關(guān)于交錯級數(shù)：收斂半徑R=1 公比為-t域內(nèi)：例2 設(shè)：其逐項求導(dǎo)或逐項求積的收斂半徑不變解：收斂半徑：例3 求的收斂半徑解：第k項小數(shù)：（）解法1：解法2：根值法例4 已知和的收斂半徑分別是和求和的收斂半徑解：（1）為兩個級數(shù)之和，由于兩個收斂級數(shù)的和也收斂，收斂域顯然要取其中較小的一個：（1） 令3.3 泰勒級數(shù)的展開冪級數(shù)的和在其收斂圓的內(nèi)部為解出函數(shù)例：反之：一個解析函數(shù)在其域內(nèi)可寫為冪（泰勒）級數(shù)定

5、理：設(shè)在以為圓心的圓域內(nèi)解析則對圓內(nèi)任一點z ,可寫為冪（泰勒）級數(shù)：（1）其中（2）其中是的內(nèi)圓證明從略結(jié)合（1）、（2）兩式，函數(shù)的泰勒展開式（泰勒級數(shù)）可寫為：（3）可以證明（略）由泰勒展開得到級數(shù)具有唯一性例1.將在附近展開為冪級數(shù)解：由（3）得：例2. 將和在的附近展開解：可見每4階導(dǎo)數(shù)完成一個循環(huán)：當(dāng)時：級數(shù)只存在奇數(shù)項（偶數(shù)項為零）且：（2）.當(dāng)時：所以級數(shù)只存在偶數(shù)項而奇數(shù)項為零：回顧：定義的,顯然：將的奇數(shù)項都消去，而只留下了偶數(shù)項（消去偶數(shù)項，留奇數(shù)項）例4. 求以上、在展開的級數(shù)的收斂域解：（2）此值判別：即：（2） 同理：復(fù)習(xí)：利用函數(shù)的級數(shù)展開的唯一性質(zhì)，很多級數(shù)不用

6、直接一年泰勒展開式做例5. 的展開解：令例6. 求解：令例7. 求，例8 求和在處的展開解：是的原函數(shù)（級數(shù)經(jīng)求導(dǎo)和求和后，收斂圓不變）3.4 解析延拓將一個在一定區(qū)域b上解析的函數(shù)延拓到；一個更大的區(qū)域B上，此時在B上可以找到另一個函數(shù)，使得在b域上有這就稱為解析的延拓例：在整個復(fù)平面解析但Z在處不解析若定義：（利用，并非隨便找個函數(shù)來拼湊）顯然在全復(fù)平面解析，可視為的延拓（延拓至）3.5裸朗級數(shù)展開泰勒展開是將函數(shù)在解析域的展開，若在不解析域中（有奇點）時，就不能再將函數(shù)展為泰勒級數(shù)了在有奇點時，需要考慮在挖去奇點的環(huán)域上展開。（通常以奇點的心），此即為級數(shù)洛朗的展開。 一雙邊冪

7、級數(shù)以前（1）稱雙邊（向右）級數(shù)若有：（2）稱單邊（向左）級數(shù)而：（3）稱為雙邊級數(shù)雙邊數(shù)的收斂域一般作一下判斷：右單邊：左單邊：可設(shè)則左單邊級數(shù)：設(shè)（4）的收斂半徑為亦即（3左邊的收斂域）合起來有：（5）稱為（3）的收斂域（一般奇點被圍在半徑環(huán)內(nèi)）二洛朗展開定理：設(shè)在環(huán)形區(qū)域的內(nèi)部單值解析，則對環(huán)域上任一點z , 可為冪級數(shù)即： (6) 其中： (7)積分路徑c 為環(huán)內(nèi)的逆時針方向圓（閉合）定理的解讀：域：環(huán)意味著環(huán)域上是而可能是奇點（6）式的展開稱為洛朗展開，洛朗展開的意義是在挖去奇點的環(huán)心附近的展開（與泰勒展開不同）正因為可能是奇點,在的導(dǎo)數(shù)一定不存在，所以不滿足柯西公式當(dāng)是解析點時且無

8、別的奇點此時羅朗級數(shù)泰勒級數(shù)對應(yīng)收斂域一般小結(jié)以上思路也可證明，羅朗級數(shù)的展開也是唯一的根據(jù)這一點在實際應(yīng)用中，很少直接由（6）、（7）展開級數(shù)。常常利用已知級數(shù)作展開例1. 在的鄰域上把展開解：例2 在的環(huán)域上將展開為洛朗級數(shù)解：分析：展開中心：O點函數(shù)的奇點：且奇點在上（在附近的導(dǎo)數(shù)存在點解析，然而若延C積分，時積分不存在，故不能展開為泰勒級數(shù)）可對Z做變形顯然利用展開式比較以上兩例例2中在（展開中心）處是解析的（奇點在處）例1中，在（展開中心）是奇點例3 在對于若展開中心為（某一奇點處），求其冪級數(shù)解：由于要展為關(guān)于（z-1）的冪級數(shù)于是理法解析令解得：其中，第一項已經(jīng)是關(guān)于的冪函數(shù)，處

9、理第二項：（2）因為是的寄點，若以為中心展開，則在環(huán)域上是解析的又對于（2）式在時可將其展開為級數(shù)：（2）中令所以（2）式可展開為：（1）式為：這是一個典型的雙邊級數(shù)例4. 在附近的展開略（利用）習(xí)題：（1）、（2）、（3）提示：奇點：圖示本身就是，問題：講義：34頁附例：對于（1）其中：（2）對于有利用已形成：（3）代回（2）式：（4）代回（1）得：（5）于是有利用故可求出的開3.6孤立奇點的分類 孤立奇點：設(shè)是的一個奇點，若在的任意小鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)（除點）則稱是孤立奇點若總可找到一個的鄰域（無論多?。┦共豢蓪?dǎo)，則是的孤立奇點，以下我大多討論孤立奇點二孤立奇點的分類洛朗級數(shù)一般是雙邊級數(shù)，右單邊的正冪部分稱解析部分，而左單邊的負(fù)冪部分稱主要部分（或無限部分）通過以上例題，我們想到挖去奇點而形成的環(huán)形區(qū)域的解析函數(shù)的洛朗形式可分三種情況：（1） 沒有負(fù)冪項，只有解析部分（2） 只有有限的冪項和解析（3） 完整的雙邊級數(shù)（主要是解析或只有主要部分）我們把對應(yīng)上述三種情況的奇點分別叫做（1）可去奇點（2）極點（3）本性奇點。1 對于可去奇點的洛朗級數(shù)：（是一定值，有限）此時，我們可以定義：對于來說，在全集平面上（復(fù)空間）解