第12講期權(quán)和期權(quán)定價(jià)2

1、.1第一部分 期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)第二部分 二叉樹模型第三部分 期權(quán)套利策略第12講 期權(quán)和期權(quán)定價(jià)2.2期權(quán)價(jià)格受多種因素的影響，期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)價(jià)參數(shù)通常用Delta，Gamma，Vega，Rho等。通過這些參數(shù)可有助于把握期權(quán)價(jià)格變動(dòng)，衡量和管理風(fēng)險(xiǎn)。一、 Delta第第1 1部分部分 期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)度量模型期權(quán)風(fēng)險(xiǎn)度量模型.3 Delta也表示為或，稱為對(duì)沖比，衡量期權(quán)價(jià)格變化與期權(quán)標(biāo)的物價(jià)格變化之間的關(guān)系，即期權(quán)價(jià)格與期權(quán)標(biāo)的物價(jià)格關(guān)系曲線的斜率。 其衡量的是期權(quán)對(duì)期權(quán)標(biāo)的物價(jià)格變動(dòng)所面臨的風(fēng)險(xiǎn)程度的指標(biāo)。 期權(quán)距離到期日越長(zhǎng)，實(shí)值、虛值、平值三種期權(quán)的Delta越接近，反之，期權(quán)距離到期日的時(shí)間越

2、接近，這三種期權(quán)的Delta差距越大。 套保者可借助Delta計(jì)算對(duì)沖特定標(biāo)的物需要的期權(quán)合約的數(shù)量。.4l二、Gammal即即，衡量的是期權(quán)標(biāo)的物價(jià)格變化所引起的，衡量的是期權(quán)標(biāo)的物價(jià)格變化所引起的Delta 值的變化。準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，是期權(quán)值的變化。準(zhǔn)確來(lái)說(shuō)，是期權(quán)Delta 變變化相對(duì)于標(biāo)的物價(jià)格變化的比率。化相對(duì)于標(biāo)的物價(jià)格變化的比率。l因此，Gamma是衡量Delta相對(duì)標(biāo)的物價(jià)格變動(dòng)的敏感性指標(biāo)，是期權(quán)價(jià)格對(duì)標(biāo)的物價(jià)格的二階導(dǎo)數(shù)，反映Delta變化的頻率或速度。l該數(shù)值絕對(duì)值越大，風(fēng)險(xiǎn)程度越高；絕對(duì)值越小，風(fēng)險(xiǎn)程度越低.5.6l看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的Gamma值都是正值；l深度實(shí)值和深度虛

3、值的Gamma值接近于0l對(duì)于其他合約內(nèi)容相同的期權(quán)，平值期權(quán)的Gamma值大于實(shí)值期權(quán)或虛值期權(quán)的Gamma值l（三）Theta指標(biāo)l即,用于衡量期權(quán)理論價(jià)值因?yàn)闀r(shí)間縮短而下降的速度，是時(shí)間縮短的風(fēng)險(xiǎn)度量指標(biāo)。l無(wú)論看漲還是看跌期權(quán)，隨著時(shí)間縮短都會(huì)造成期權(quán)理論價(jià)值下降。.7l當(dāng)其他條件不變時(shí)，期權(quán)價(jià)值隨到期日的臨近而當(dāng)其他條件不變時(shí)，期權(quán)價(jià)值隨到期日的臨近而不斷加速衰減，不斷加速衰減，因此，因此，期權(quán)多頭期權(quán)多頭ThetaTheta值為負(fù)值；值為負(fù)值；期權(quán)空頭的期權(quán)空頭的ThetaTheta值為正值，對(duì)于賣方，隨著到值為正值，對(duì)于賣方，隨著到期時(shí)間來(lái)臨行權(quán)的可能下降。期時(shí)間來(lái)臨行權(quán)的可能下

4、降。l對(duì)于其他合約條款相同的期權(quán)，平值期權(quán)對(duì)于其他合約條款相同的期權(quán)，平值期權(quán)ThetaTheta值大于實(shí)值或虛值期權(quán)。值大于實(shí)值或虛值期權(quán)。.8l四、Vega期權(quán)l(xiāng)即，定義為期權(quán)價(jià)格的變化與標(biāo)的物價(jià)格波動(dòng)率變化的比率。隨著時(shí)間流逝，標(biāo)的物價(jià)格波動(dòng)率變化會(huì)引起期權(quán)價(jià)格的變動(dòng)。lVega衡量期權(quán)標(biāo)的物價(jià)格波動(dòng)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響。lVega=期權(quán)價(jià)格的變化/標(biāo)的物價(jià)格波動(dòng)率變化l期權(quán)多頭Vega值為正值，期權(quán)空頭Vega值為負(fù)值。l五、Rho指標(biāo)l即即，定義為期權(quán)價(jià)格的變化與利率變化之間，定義為期權(quán)價(jià)格的變化與利率變化之間的比率，用來(lái)衡量期權(quán)理論價(jià)值對(duì)于利率變動(dòng)的比率，用來(lái)衡量期權(quán)理論價(jià)值對(duì)于利率變

5、動(dòng)的敏感性，計(jì)量利率變動(dòng)帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。的敏感性，計(jì)量利率變動(dòng)帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)。.9lRho=期權(quán)價(jià)格的變化/利率變化l一般來(lái)說(shuō)，實(shí)值期權(quán)Rho值平值期權(quán)虛值期權(quán)的Rho值，對(duì)于深度虛值期權(quán)來(lái)說(shuō)，Rho值接近于0.10l第二部分 二叉樹期權(quán)定價(jià)模型.11l一、假設(shè)前提l二叉樹模型常被用于描述金融市場(chǎng)中變量的隨機(jī)行為，比如股票價(jià)格、股票指數(shù)、外匯匯率和利率等。l二叉樹期權(quán)定價(jià)模型是常用的期權(quán)定價(jià)模型之一。l約翰.考克斯，羅斯，馬克.魯賓斯坦因在1979年發(fā)表的論文中最初提到該理論的要點(diǎn)。l所謂的二叉樹是指標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的變化只存在兩種可能性，即上漲或下跌，其對(duì)實(shí)際情況有所簡(jiǎn)化，但是模型可以最終延伸之包括所有

6、的可能性。.12二叉樹模型可以用來(lái)對(duì)典型的不支付股息的歐式期權(quán)公平定價(jià)，也可以將該模型修改后對(duì)美式期權(quán)及支付股息的期權(quán)定價(jià)。二叉樹模型滿足系列假設(shè)條件：第一，交易成本和稅收為0第二，投資者可以以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入或貸出資金第三，市場(chǎng)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)第四，股票的波動(dòng)率為常數(shù)第五，不支付股票紅利.13鑒于一旦出現(xiàn)套利機(jī)會(huì)，市場(chǎng)參與者可以隨時(shí)準(zhǔn)備利用這些套利機(jī)會(huì)，這意味著任何可以利用的套利機(jī)會(huì)將很快消失。為此，我們假定不存在套利機(jī)會(huì)。符號(hào)表示：S:期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)的即期價(jià)格X:期權(quán)執(zhí)行價(jià)格T：期權(quán)到期時(shí)間ST：T時(shí)刻標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格：期權(quán)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)差r：T時(shí)刻到期的投資的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率，r0c：看漲期

7、權(quán)價(jià)格；p：看跌期權(quán)價(jià)格.14二、一階段二叉樹的引入二、一階段二叉樹的引入簡(jiǎn)單的離散型的二叉樹模型分析：一階段是指：標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化從一個(gè)給定的價(jià)格開始，在期權(quán)到期時(shí)價(jià)格變化為一個(gè)新的價(jià)格。在這里我們定義一個(gè)階段后，標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上升至Su或下降到Sd，并且期權(quán)為歐式期權(quán)。（一）構(gòu)造一階段二叉樹模型（一）構(gòu)造一階段二叉樹模型假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格升到S+，看漲期權(quán)價(jià)格為C+，同樣標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下降到S-，期權(quán)價(jià)格為C-。.15一階段二叉樹模型S(C=?)S+c+=max（0，s+-x）S-（c-= max（0，s-x） ）.16當(dāng)期權(quán)到期時(shí)，其價(jià)格等于其內(nèi)涵價(jià)值。即：C+=max（0，S+-X）C-=m

8、ax（0，S-X）此時(shí)，看漲期權(quán)價(jià)格c未知，求c。增加兩個(gè)參數(shù)，u表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格上漲，d表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格下跌u=S+/S d=S-/S 假設(shè)我們知道除c外所有的變量信息，現(xiàn)構(gòu)造一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖組合，該投資組合由標(biāo)的資產(chǎn)和一份賣出看漲期權(quán)組成，此時(shí)，買入n數(shù)量的標(biāo)的資產(chǎn)，n為套保比例。該投資組合的價(jià)值為H。H=nS-c 即意味著我們擁有n數(shù)量的價(jià)格為s的標(biāo)的資產(chǎn)，同時(shí)賣出一份看漲期權(quán).17l一階段后，該投資組合的價(jià)值為H+或H-lH+=ns+-c+lH-=nsc-l由于該組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的對(duì)沖組合，應(yīng)當(dāng)達(dá)到下述效果：即無(wú)論標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格如何變動(dòng)，組合的價(jià)值都是不變的，因此，H+=H-，這意味著H+=n

9、s+-c+=nsc-ln=（c+-c-）/(s+-s-)l一個(gè)無(wú)風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖組合的價(jià)值是按照無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率增長(zhǎng)的，假定：lH+=HerTlH-=HerTl把H+,H-，H分別代入后，得到看漲期權(quán)的公式：lc=pc+（1- p）c- e-rTlp=（erT-d）/(u-d)l期權(quán)的即期價(jià)格為兩種可能期權(quán)價(jià)格的加權(quán)平均值，權(quán)重分別為p和1-p。這個(gè)加權(quán)平均值再貼現(xiàn)為現(xiàn)值，就成為即期期權(quán)價(jià)格.18lp和1-p實(shí)際為風(fēng)險(xiǎn)中性概率，該定價(jià)過程也稱為風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)。l同理可得看跌期權(quán)的定價(jià)公式：lp=p+（1- ）p- e-rTl舉例說(shuō)明：l假定標(biāo)的物為不支付股息的股票，其現(xiàn)在價(jià)值為50美元，股票價(jià)格可能上漲的幅度

10、為25%，可能下跌的幅度為20%，看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為50美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為7%，求該期權(quán)現(xiàn)在價(jià)格。lS+=62.5lS-=40lU=1.25 d=0.8 一階段后期權(quán)價(jià)值為：.19lC+=max（0，s*-x）=12.5lC-= max（0，s*-x） =max（0,40-50）=0l=（erT-d）/(u-d)=（e0.07-0.8）/0.45=0.61lC= pc+（1- p）c- e-rT= 0.61*12.5+0.39*0e-0.07=7.11.20（二）兩階段的二叉樹模型兩階段二叉樹模型表達(dá)式，在一階段的基礎(chǔ)上，延伸模型更加貼近現(xiàn)實(shí)，資產(chǎn)價(jià)格變化多于兩種結(jié)果。S(C=?)S+（c+

11、）S-（c-）S+C+=max（0，s+-x）S+-=s-+（c+-=c-+=max（0，s+-x）S-C-=max（0，s-x）.21l先觀察第一階段末：lC+= c+（1- ）c+- e-rTlC-= c-+（1- ）c- e-rTl = erT-d /(u-d)lC= c+（1- ）c- e-rTl= （ c+（1- ）c+-）+（1- ）（）（ c-+（1- ）c-） e-2rTl= e-2rT 2c+ 2 （1- ）c+-）+（1- ）2c- .22l練習(xí)：l假定標(biāo)的物為不支付股息的股票，其現(xiàn)在價(jià)值為50美元，假定兩階段模型中股票價(jià)格可能上漲的幅度為11.8%，可能下跌的幅度為10.

12、56%，看漲期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為50美元，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率為3.44%，則：l（1）一階段后期權(quán)的價(jià)格分別為多少？l（2）現(xiàn)在期權(quán)的價(jià)格為多少？.23l解析：lS+=50*1.118*1.118=62.5lS+-=50*1.118*0.8944=50lS-=50*0.8944*0.8944=40lC+=max(0,s+-50)=12.5lC+-=max(0,0)=0lC-=max(0,40-50)=0lU=1.118*1.118=1.25ld=0.8944*0.8944=0.8l=erT-d /(u-d)=(e0.0344-0.8944)/（1.118-0.8944）=0.6288.24lC+= c+（

13、1- ）c+- e-rT=（0.6288*12.5+0.3712*0）e-0.0344=7.5616lC-= c-+（1- ）c- e-rT=0lC= c+（1- ）c- e-rTl=（erT-d）/(u-d)=（e0.0344-0.8944）/(1.118-0.8944) =0.6288lC= c+（1- ）c- e-rTl=(0.61*7.5616+0.39*0)*e-0.0344l=4.46.25l三、布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型l布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型簡(jiǎn)稱B-S模型，首先由布萊克和斯科爾斯于1972年提出，1973年5月他們?cè)贘ournal of Political Econom

14、y雜志發(fā)表了期權(quán)與公司負(fù)債的定價(jià)一文，推導(dǎo)出無(wú)紅利支付股票的任何衍生品的價(jià)格必須滿足的微分方程，并成功得出歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)定價(jià)的精確公式，使得期權(quán)和其它衍生品產(chǎn)品的定價(jià)理論獲得突破性進(jìn)展，從而成為期權(quán)定價(jià)的經(jīng)典模型。l其創(chuàng)新是將套利用于解決期權(quán)的定價(jià)問題，引進(jìn)了風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)并推導(dǎo)出布萊克-斯科爾斯期權(quán)定價(jià)模型，該模型對(duì)金融市場(chǎng)影響深遠(yuǎn)。.26l布萊克-斯科爾斯模型給出了期權(quán)價(jià)格理論上的價(jià)格參考，實(shí)際過程中由于價(jià)格波動(dòng)性的估算差別，投資者對(duì)期權(quán)出價(jià)也會(huì)有較大出入。在國(guó)外期權(quán)交易中，投資者只要將權(quán)利金的基本因素輸入軟件程序就可立即知道權(quán)利金的理論價(jià)格。l（一）布萊克-斯科爾斯期權(quán)模型基本形式

15、l定價(jià)方法的基本思想：期權(quán)價(jià)格及其所以來(lái)的標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格都收到同一種不確定性因素的影響，兩者遵循相同的維納過程。l如果通過建立一個(gè)包含恰當(dāng)?shù)难苌Y產(chǎn)頭寸和標(biāo)的資產(chǎn)頭寸的資產(chǎn)組合，可以消除維納過程，標(biāo)的資產(chǎn)頭寸與衍生資產(chǎn)頭寸的盈虧可以相互抵消。這樣構(gòu)造的資產(chǎn)組合為無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的資產(chǎn)組合，在不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利的情況下，該資產(chǎn)組合收益率應(yīng)等于無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率。.27l1.BS模型的假設(shè)條件l股票價(jià)格服從對(duì)數(shù)正態(tài)概率分布，股票預(yù)期收益率與價(jià)格波動(dòng)率為常數(shù)l無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率已知且保持不變l期權(quán)有效期內(nèi)沒有紅利支付l不存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)l證券交易為連續(xù)進(jìn)行l(wèi)投資者能夠以同樣的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率借入和借出資金l沒有交易成本和稅收，所有證

16、券均可無(wú)限可分.28l2.BS基本定價(jià)公式l在上述假設(shè)的基礎(chǔ)上，構(gòu)造資產(chǎn)組合，其中K為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格,那么，歐式看漲期權(quán)在風(fēng)險(xiǎn)中性世界里，當(dāng)期權(quán)到期時(shí)的期望值為lEmax（ST-K,0) l歐式看漲期權(quán)的價(jià)格等于這個(gè)期望值以無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)后的現(xiàn)值，即e-rTEmax（ST-K,0) 。l無(wú)收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)定價(jià)公式進(jìn)一步表達(dá)為：lc=e-rTSN(d1）erT-KN（d2） l=SN(d1）-e-rTKN（d2） l其中，N（d2） 代表風(fēng)險(xiǎn)中性世界里期權(quán)被行使的概率，KN（d2） 代表執(zhí)行價(jià)格乘以執(zhí)行價(jià)格被支付的概率.29lSN(d1）erT表示在STK時(shí)等于S，在其它情形等于0的變量在風(fēng)

17、險(xiǎn)中性世界的期望值。lB-S模型一般只能用于歐式期權(quán)定價(jià)，但是，由但是，由于在沒有紅利支付的情況下，美式看漲期權(quán)不于在沒有紅利支付的情況下，美式看漲期權(quán)不會(huì)提前執(zhí)行，因此，其價(jià)值與對(duì)應(yīng)的歐式看漲會(huì)提前執(zhí)行，因此，其價(jià)值與對(duì)應(yīng)的歐式看漲期權(quán)一致。期權(quán)一致。l根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)中性假定，在標(biāo)的資產(chǎn)無(wú)收益的情況下，無(wú)收益美式看漲期權(quán)與無(wú)收益歐式看漲期權(quán)的價(jià)值相等，因此，上述公式也是無(wú)收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)定價(jià)公式.30l無(wú)收益歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)滿足一定的平價(jià)公式，因此，歐式看跌期權(quán)定價(jià)公式為：lP= Ke-rTN（-d2）-SN(-d1）l其中，N(d1）和N（d2）表示d1和d2的值分別計(jì)算正態(tài)概率分布值

18、。ld1=ln（s/K）+（r+2/2）（T-t）/ （T-t）1/2d2=d1- （T-t）1/2 =ln（s/K）+（r-2/2）（T-t）/ （T-t）1/2l在公式中，期權(quán)價(jià)值取決于5個(gè)變量：l標(biāo)的資產(chǎn)即期價(jià)格S，期權(quán)執(zhí)行價(jià)格Kl無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r，期權(quán)到期時(shí)間T，t為當(dāng)前時(shí)點(diǎn)l標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)差（波幅） .31l在這五個(gè)變量中，只有波幅是未知的，需要對(duì)期權(quán)的到期日波幅進(jìn)行預(yù)測(cè)。lN（.）-標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布累計(jì)概率分布函數(shù)l從理論上來(lái)說(shuō)，BS模型只有在r為常數(shù)時(shí)才正確，實(shí)踐中，利率r等于期限為T的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)投資者利率。l該模型的優(yōu)越性：l變量均可觀察或估計(jì)；l期權(quán)價(jià)格與標(biāo)的資產(chǎn)的期望收益無(wú)關(guān)，即風(fēng)

19、險(xiǎn)中性定價(jià)，期權(quán)價(jià)格不依賴于投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好，簡(jiǎn)化了期權(quán)的定價(jià)；.32l（二）有收益資產(chǎn)期權(quán)定價(jià)模型l莫頓推出的l假設(shè)紅利率為qlQ使得股票價(jià)格增長(zhǎng)率比不支付紅利率時(shí)減少ql如果連續(xù)支付紅利的股票價(jià)格從現(xiàn)在的S增加的T時(shí)的ST ，則沒有紅利支付時(shí)股票價(jià)格從現(xiàn)在的S增加到T時(shí)刻的ST e-rt，這也可以看做是有紅利支付時(shí)股票價(jià)格從ST e-rt增加到ST 。l將代替BS中的S，可以得到有收益資產(chǎn)期權(quán)定價(jià)模型。lc= ST e-rt N(d1）-e-rTKN（d2） lP= Ke-rTN（-d2）- ST e-rt N(-d1）.33ld1=ln（s/K）+（r-q+2/2）（T-t）/ （T-t）1/2d2=d1- （T-t）1/2l=ln（s/K）+（r-q-2/2）（T-t）/ （T-t）1/2.34l（三）期貨期權(quán)的定價(jià)l1976年，布萊克研究了期貨期權(quán)定價(jià)模型，研究發(fā)現(xiàn)，期貨價(jià)格行為類似于紅利率等于r的股票價(jià)格行為。因此，期貨期權(quán)定價(jià)和連