數(shù)值運算的誤差分析

1、實驗一 數(shù)值運算的誤差分析1.問題的提出任何數(shù)值計算都是一種近似計算，于是研究此誤差的來源及防止在整個數(shù)值計算中占非常重要的地位。首先是誤差的分類、其次是估計誤差的工具最后是一些避免誤差產(chǎn)生及傳播的手段。1)模型誤差：實際問題用數(shù)學(xué)模型刻畫時要忽略一些因素，從而造成數(shù)學(xué)的量和實際的量的誤差稱為模型誤差 2)觀測誤差：數(shù)學(xué)模型用到一批數(shù)它可能是觀測得到的也可能是計算到的，這種數(shù)據(jù)誤差造成數(shù)學(xué)量的近似。3)截斷誤差：通常要用數(shù)值方法求它的近似解，其近似解與精確解之間的誤差稱為截斷誤差 。例如，函數(shù)用泰勒（Taylor）多項式近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差是：4)舍入誤差：最后用近似的方法計算數(shù)據(jù)有

2、誤差的數(shù)學(xué)問題要用有限位數(shù)字，這就要求進行基本的四舍五入計算，由此引起的誤差稱為舍入誤差。例如用3.14159近似代替，產(chǎn)生的誤差 為舍入誤差。2.誤差與有效數(shù)字1)絕對誤差：2)相對誤差：3)有效數(shù)字：若近似值的誤差限是某一位的半個單位，該位到的第一位非零數(shù)字共有位，就說有位有效數(shù)字，表示 ，其中是0到9中的一個數(shù)字，為整數(shù)，且例如：187.93250.037855518.0000332.7182818187.930.0378568.00002.7183若具有位有效數(shù)字，則其相對誤差限為：例一：要是的近似值的相對誤差限小于0.1%，要取幾位有效數(shù)字？設(shè)取位有效數(shù)字，由定理1，。由于，知=4，

3、故只要取，就有%，即只要對的近似值取4 位有效數(shù)字，其相對誤差限就小于0.1%，此時由開方表可取。4)誤差的積累運算：+；5)函數(shù)的誤差：設(shè)是一元函數(shù)， 的近似值為以近似,其誤差記作;那么函數(shù)的誤差是：當(dāng)多元函數(shù)時，例如計算A。如果 的近似值為 則A的近似值為 ，于是由泰勒展開得函數(shù)值的誤差為; 于是函數(shù)的誤差限：；（2）而相對誤差限為：（3）例二：已測得某場地長的值為，寬d的值為,已知,試求面積 的絕對誤差限與相對誤差限。解：因，由（3）知，其中，而， 于是絕對誤差限為 ，相對誤差限為6)避免誤差危害的若干原則l 避免接近零數(shù)作除數(shù)。例如：順便指出，有時為避免中間結(jié)果益出也要變換公式，例如: ,l 避免相近數(shù)相減。例如：再如求的根，取五位數(shù)字的有效數(shù)字就少了?？捎迷嚤葴?zhǔn)確解：;l 防止大數(shù)吃小數(shù)。例如：，如果按先后次序得0.1，再加還是0.1， 如果從后往前加，最后;l 減少計算步聚。例如：計算多項式的值宜用這就是最著名算法數(shù)值例。l 注意遞推公式。有些公式計算時誤差不斷積累越來越大，有些公式誤差則不會增加前者稱數(shù)值不穩(wěn)定的應(yīng)避免使用，后者稱數(shù)值穩(wěn)定的，我們應(yīng)該采用著類公式，請看例子。計算出可算出誤差大的驚人，竟出現(xiàn)了負數(shù)。但若用算出有四位有效數(shù)字。不難看出前一算法所得的誤差是的倍，而后一算法所得的誤差是的 .參