高中數(shù)學 2.4.1《平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義》導學案 新人教A版必修4

1、2.4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義導學案【學習目標】1說出平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2.學會用平面向量數(shù)量積的重要性質及運算律；3.了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；【重點難點】。平面向量的數(shù)量積及其幾何意義【學法指導】預習平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；平面向量數(shù)量積的重要性質及運算律；【知識鏈接】：1.平面向量數(shù)量積（內積）的定義： 2.兩個向量的數(shù)量積與向量同實數(shù)積有很大區(qū)別 3“投影”的概念：作圖4.向量的數(shù)量積的幾何意義： 5兩個向量的數(shù)量積的性質：設、為兩個非零向量，e是與同向的單位向量.1° e×= e = 2°

2、Û× = 設、為兩個非零向量，e是與同向的單位向量.e× =×e = 3° 當與同向時，×= 當與反向時，× = 特別的×= |2或4° cosq = 5° |×| |三、提出疑惑：同學們，通過你的自主學習，你還有哪些疑惑，請把它填在下面的表格中疑惑點疑惑內容【學習過程】創(chuàng)設問題情景，引出新課1、提出問題1：請同學們回顧一下，我們已經(jīng)研究了向量的哪些運算？這些運算的結果是什么？2、提出問題2：請同學們繼續(xù)回憶，我們是怎么引入向量的加法運算的？我們又是按照怎樣的順序研究了這種運算的？3、

3、新課引入：本節(jié)課我們仍然按照這種研究思路來研究向量的另外一種運算：平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 探究一：數(shù)量積的概念SF1、給出有關材料并提出問題3：（1）如圖所示，一物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功：W= （2）這個公式的有什么特點？請完成下列填空：W（功）是 量，F(xiàn)（力）是 量，S（位移）是 量，是 。（3）你能用文字語言表述“功的計算公式”嗎?2、明晰數(shù)量積的定義（1）數(shù)量積的定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，我們把數(shù)量 ·cos叫做與的數(shù)量積（或內積），記作：·，即：·= ·cos（2）定義說明：記法“·”中間的

4、“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。 “規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零。（3）提出問題4：向量的數(shù)量積運算與線性運算的結果有什么不同？影響數(shù)量積大小的因素有哪些？ （4）學生討論，并完成下表：的范圍0°<90°=90°0°<180°·的符號例1 ：已知，當，與的夾角是60°時，分別求·.解： 變式：對于兩個非零向量、，求使|+t|最小時的t值，并求此時與+t的夾角.探究二：研究數(shù)量積的意義1.給出向量投影的概念：如圖，我們把cos（cos）叫做向量在方向上（在方向上）的投影，記做：

5、OB1=cos2.提出問題5：數(shù)量積的幾何意義是什么？ 3. 研究數(shù)量積的物理意義 請同學們用一句話來概括功的數(shù)學本質： 探究三：探究數(shù)量積的運算性質1、提出問題6：比較·與×的大小，你有什么結論？2、明晰：數(shù)量積的性質 設和b都是非零向量，則 1、 ·=0 2、當與同向時，·=；當與反向時，·= -， 特別地，·=2或= 3、·×3.數(shù)量積的運算律 （1）、提出問題7：我們學過了實數(shù)乘法的哪些運算律？這些運算律對向量是否也用？ （2）、明晰：數(shù)量積的運算律：已知向量、 、和實數(shù)，則：（1）·= 

6、3; （2）（）·=（·)= ·（）（3）（ + ）·=· + ·例2、（師生共同完成）已知=6，=4, 與的夾角為60°，求（+2 ）·（-3），并思考此運算過程類似于實數(shù)哪種運算？解：變式：（1）(+)2=2+2·+2 （2）(+ )·(-)= 22【學習反思】 【基礎達標】1 .已知|=5， |=4， 與的夾角=120o，求·.2. 已知|=6， |=4，與的夾角為60o求(+2)·(-3).3 .已知|=3， |=4， 且與不共線，k為何值時，向量+k與-k互相垂直.

7、 4.已知，當，與的夾角是60°時，分別求·.5.已知|=1，|=，(1)若，求·；(2)若、的夾角為°，求|+|；(3)若-與垂直，求與的夾角.6.設m、n是兩個單位向量，其夾角為°，求向量=2m+n與=2n-3m的夾角.【拓展提升】1.已知|=1，|=，且(-)與垂直，則與的夾角是（ ）A.60° B.30° C.135° D.°2.已知|=2，|=1，與之間的夾角為，那么向量m=-4的模為（ ）A.2 B.2 C.6 D.123.已知、是非零向量，則|=|是(+)與(-)垂直的（ ）A.充分但不必要條件 B.必要但不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知向量、的夾角為，|=2，|=1，則|+|·