利用仿射變換解決與橢圓有關(guān)的高考試題

1、利用仿射變換解決與橢圓有關(guān)的高考試題湯敬鵬（蘭州市第五十七中學730070）文談及利用仿射變換可以解決一些初等幾何的問題，可以使問題變得更加簡潔、透徹，對筆者啟發(fā)很大，筆者通過自己的教學實踐感覺到利用仿射變換，可以將橢圓的有關(guān)問題轉(zhuǎn)化為圓的問題，從而可以借助圓當中的一些性質(zhì)解決問題，使問題的解決過程大大簡化，在利用仿射變換解決相關(guān)問題時，主要利用以下幾個性質(zhì)：性質(zhì)1變換后共線三點單比不變（即變換后三點的兩個線段的比值和變換前的比值一樣）；性質(zhì)2變換后保持同素性和接合性（即變換前直線與曲線若相切，變換后仍相切）；性質(zhì)3變換前后對應(yīng)圖形的面積比不變；現(xiàn)以一些高考試題為例加以說明。例1（2008年全

2、國卷第22題）設(shè)橢圓中心在坐標原點，A(2,0)，B(0,1)是它的兩個頂點，直線y=kx(k>0)與AB相交于點D，與橢圓相交于E、F兩點若，求k的值；求四邊形AEBF面積的最大值。分析：此例按照常規(guī)解法較為繁雜，但利用仿射變換將橢圓變換為單位圓，點A、B、D、E、F分別變換為點A、B、D、E、F， 線段EF恰為圓的直徑，根據(jù)性質(zhì)1，D分線段EF的比與D分線段EF的比相同，利用圓當中的相交弦定理求得D點的坐標，再反求出D點坐標，從而很容易求出k值；利用性質(zhì)3，可以求得四邊形AEBF與四邊形AEBF的面積關(guān)系，由于四邊形AEBF面積的最大值較易求出，這樣也就很容易求得四邊形AEBF面積的

3、最大值。解：依題設(shè)得橢圓的方程為作仿射變換，令x=，y=y，則得仿射坐標系xOy，在此坐標系中，上述橢圓變換為圓x2+y2=1，點A、B、D、E、F分別變換為點A、B、D、E、F，且EF為圓的直徑，EF=2，A(1,0)，B(0,1)根據(jù)性質(zhì)1ED= DF=ED·DF=AD ·DB AD+DB=AB=AD= DB=或AD= DB=或由定比分點公式可得：D()或D()D點坐標為()或()k=或k=設(shè)四邊形AEBF的面積為S，四邊形AEBF的面積為S，EF與AB的夾角為，則S=（當=時取“=”號，此時F ()）由于橢圓的面積為ab=2，圓的面積為r2=根據(jù)性質(zhì)3有，故S=2SS

4、當且僅當F坐標為()，即k=時取“=”號說明：由上述證明過程可知，當D為AB中點是時四邊形AEBF的面積取到最大值，根據(jù)性質(zhì)1，當D為AB中點時四邊形AEBF的面積取到最大值。此結(jié)論如果利用常規(guī)解法是較難獲得的，但利用仿射變換卻較易獲得。例2（2007年寧夏、海南高考理科第19題）在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過點(0,)且斜率為k的直線l與橢圓有兩個不同的交點P和Q求k的取值范圍；設(shè)橢圓與x軸的正半軸，y軸的正半軸的交點分別為是A、B，是否存常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由。分析：利用仿射變換將橢圓變換為單位圓后，即可利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來刻畫直線與

5、圓的位置關(guān)系，從而間接地刻畫了直線與橢圓的位置關(guān)系，這樣的處理方式使計算量大大降低。而在第問當中，若=，根據(jù)向量加法的幾何意義則OM與PQ互相平分，利用仿射變換將橢圓變換為單位圓后，OM變換為OM，PQ變換為PQ，根據(jù)性質(zhì)1，OM與PQ 也互相平分，又由于OM過圓心，那么就可以利用圓中的垂徑定理判斷出OM與PQ垂直，這將有助于問題的簡化。解：作仿射變換，令x=，y=y，則得仿射坐標系xOy，在此坐標系中，上述橢圓變換為圓x2+y2=1，直線l：y=kx+變換為直線l：y=kx+，即kx-y+=0根據(jù)性質(zhì)2可知：直線l與圓x2+y2=1的交點有兩個1k2 或經(jīng)過中的仿射變換，點A、B分別變換為點

6、A(1,0)、B(0.1)，點P、Q分別變換為點P、Q，根據(jù)性質(zhì)2可知P、Q必在圓上，且直線AB的斜率為k1=-1，直線PQ的斜率即直線l的斜率為k根據(jù)性質(zhì)2，若有與共線，則必有與共線設(shè)=，根據(jù)垂徑定理，必有當時，由此可得k=1， 由可知：或，所以沒有符合題意的常數(shù)k.說明：此題的原解答較繁，特別是第問的解答進行了一定量的向量坐標運算才得到的結(jié)論，但如本解答這樣利用仿射變換，再結(jié)合圓中的垂徑定理，則幾乎沒用代數(shù)運算就得到結(jié)論，運算量大幅度降低。例3（2006年浙江省高考理科第19題）橢圓(a>b>0)與過點A(2,0)、B(0,1)的直線有且只有一個公共點T，且橢圓的離心率e=求橢

7、圓的方程；設(shè)F1、F2分別為橢圓的焦點，M為線段AF2的中點，求證：ATMAF1T分析：本題第問從結(jié)論分析只需證MATTAF1，這需借助于對應(yīng)邊成比例，由于線段AM與AF1的長度均較易求出，因此求出線段AT的長度就尤其重要，在橢圓中線段AT的長度較難求出，但利用仿射變換將橢圓變換為單位圓，AB變?yōu)閳A的切線AB，切點T變?yōu)門，借助圓的切線與過切點的半徑垂直這一性質(zhì)，求出線段AT與線段AB的比值將不是難事，根據(jù)性質(zhì)1，此比值即線段AT與線段AB的比值，從而可以較為輕松地求出線段AT的長度。解：作仿射變換，令x=，y=，則得仿射坐標系xOy，在此坐標系中，上述橢圓變換為圓x2+y2=1，直線AB：+

8、y=1變換為直線AB：+by=1根據(jù)性質(zhì)2，直線AB與圓相切=1 a2+4b2=4 e=a2=2 b2=橢圓的方程為可求得c=如進行仿射變換，點T變換為點T，可得A的坐標為(,0)，B的坐標為(0, )，所以|OA|=|OB|，由于直線AB與圓O相切于點T，所以O(shè)TAB，因此T為線段AB的中點，根據(jù)性質(zhì)1，T也必為線段AB的中點|AB|= |AT|=又|AM|=(|OA|-|OF2|)=1- |AF1|=|OA|+|OF1|=2+|AM|AF1|=(1-)(2+)=212-()2=()2=|AT|2又MATTAF1MATTAF1ATMAF1T說明：本題第問標準答案給出的證法是先求出T點坐標，再利用T點坐標去計算ATM與AF1T的正切值，其中還使用了兩角差的正切公式，運算量很大，但如本法，由仿射變換很容易就發(fā)現(xiàn)T是線段AB的中點，從而很容易地計