數(shù)學(xué)教案－和圓有關(guān)的比例線段

1、數(shù)學(xué)教案和圓有關(guān)的比例線段教學(xué)建議 1、教材分析 （1）知識(shí)結(jié)構(gòu) （2）重點(diǎn)、難點(diǎn)分析 重點(diǎn)：相交弦定理及其推論，切割線定理和割線定理這些定理和推論不但是本節(jié)的重點(diǎn)、本章的重點(diǎn)，而且還是中考試題的熱點(diǎn)；這些定理和推論是重要的工具性知識(shí)，主要應(yīng)用與圓有關(guān)的計(jì)算和證明 難點(diǎn)：正確地寫(xiě)出定理中的等積式因?yàn)閳D形中的線段較多，學(xué)生容易混淆 2、教學(xué)建議 本節(jié)內(nèi)容需要三個(gè)課時(shí)第1課時(shí)介紹相交弦定理及其推論，做例1和例2第2課時(shí)介紹切割線定理及其推論，做例3第3課時(shí)是習(xí)題課，講例4并做有關(guān)的練3 （1）教師通過(guò)教學(xué)，組織學(xué)生自主觀察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析解決問(wèn)題，逐步培養(yǎng)學(xué)生研究性學(xué)習(xí)意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情；

2、（2）在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生“觀察猜想證明應(yīng)用”等學(xué)習(xí)，教師組織下，以學(xué)生為主體開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)第1課時(shí)：相交弦定理 教學(xué)目標(biāo)： 1理解相交弦定理及其推論，并初步會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單證明和計(jì)算； 2學(xué)會(huì)作兩條已知線段的比例中項(xiàng)； 3通過(guò)讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生的思維積極性，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和探索精神； 4通過(guò)推論的推導(dǎo)，向?qū)W生滲透由一般到特殊的思想方法 教學(xué)重點(diǎn)： 正確理解相交弦定理及其推論 教學(xué)難點(diǎn)： 在定理的敘述和應(yīng)用時(shí)，學(xué)生往往將半徑、直徑跟定理中的線段搞混，從而導(dǎo)致證明中發(fā)生錯(cuò)誤，因此務(wù)必使學(xué)生清楚定理的提出和證明過(guò)程，了解是哪兩個(gè)三角形相似，從而就可以用對(duì)應(yīng)邊成比例的結(jié)論直接寫(xiě)

3、出定理 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì) （一）設(shè)置學(xué)習(xí)情境 1、圖形變換：（利用電腦使AB與CD弦變動(dòng)） 引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：AD，CB 進(jìn)一步得出：APCDPB 如果將圖形做些變換，去掉AC和BD，圖中線段 PA，PB，PC，PO之間的關(guān)系會(huì)發(fā)生變化嗎?為什么? 組織學(xué)生觀察，并回答 2、證明： 已知：弦AB和CD交于O內(nèi)一點(diǎn)P 求證：PA·PBPC·PD （A層學(xué)生要訓(xùn)練學(xué)生寫(xiě)出已知、求證、證明；B、C層學(xué)生在老師引導(dǎo)下完成） （證明略） （二）定理及推論 1、相交弦定理： 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等 結(jié)合圖形讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)相交弦定理：

4、在O中；弦AB，CD相交于點(diǎn)P，那么PA·PBPC·PD 2、從一般到特殊，發(fā)現(xiàn)結(jié)論 對(duì)兩條相交弦的位置進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，使其中一條是直徑，并且它們互 相垂直如圖，AB是直徑，并且ABCD于P 提問(wèn)：根據(jù)相交弦定理，能得到什么結(jié)論? 指出：PC2PA·PB 請(qǐng)學(xué)生用文字語(yǔ)言將這一結(jié)論敘述出來(lái)，如果敘述不完全、不準(zhǔn)確教師糾正，并板書(shū) 推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng) 3、深刻理解推論：由于圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，上述結(jié)論又可敘述為：半圓上一點(diǎn)C向直徑AB作垂線，垂足是P，則PC2PA·PB 若

5、再連結(jié)AC，BC，則在圖中又出現(xiàn)了射影定理的基本圖形，于是有： PC2PA·PB ；AC2AP·AB；CB2BP·AB （三）應(yīng)用、反思 例1 已知圓中兩條弦相交，第一條弦被交點(diǎn)分為12厘米和16厘米兩段，第二條弦的長(zhǎng)為32厘米，求第二條弦被交點(diǎn)分成的兩段的長(zhǎng) 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題意列出方程并求出相應(yīng)的解 例2 已知：線段a，b 求作：線段c，使c2ab 分析：這個(gè)作圖求作的形式符合相交弦定理的推論的形式，因此可引導(dǎo)學(xué)生作出以線段a十b為直徑的半圓，仿照推論即可作出要求作的線段 作法：口述作法 反思：這個(gè)作圖是作兩已知線段的比例中項(xiàng)的問(wèn)題，可以當(dāng)

6、作基本作圖加以應(yīng)用同時(shí)可啟發(fā)學(xué)生考慮通過(guò)其它途徑完成作圖 練習(xí)1 如圖，AP2厘米，PB25厘米，CP1厘米，求CD 變式練習(xí)：若AP2厘米，PB25厘米，CP，DP的長(zhǎng)度皆為整數(shù)那么CD的長(zhǎng)度是 多少? 將條件隱化，增加難度，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣 練習(xí)2 如圖，CD是O的直徑，ABCD，垂足為P，AP4厘米，PD2厘米求PO的長(zhǎng) 練習(xí)3 如圖：在O中，P是弦AB上一點(diǎn)，OPPC，PC 交O于C 求證：PC2PA·PB 引導(dǎo)學(xué)生分析：由AP·PB，聯(lián)想到相交弦定理，于是想到延長(zhǎng) CP交O于D，于是有PC·PDPA·PB又根據(jù)條

7、件OPPC易 證得PCPD問(wèn)題得證 （四）小結(jié) 知識(shí)：相交弦定理及其推論； 能力：作圖能力、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力和解決問(wèn)題的能力； 思想方法：學(xué)習(xí)了由一般到特殊(由定理直接得到推論的過(guò)程)的思想方法 （五）作業(yè) 教材P132中 9，10；P134中B組4(1)第2課時(shí) 切割線定理 教學(xué)目標(biāo)： 1掌握切割線定理及其推論，并初步學(xué)會(huì)運(yùn)用它們進(jìn)行計(jì)算和證明； 2掌握構(gòu)造相似三角形證明切割線定理的方法與技巧，培養(yǎng)學(xué)生從幾何圖形歸納出幾何性質(zhì)的能力 3能夠用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)學(xué)習(xí)切割線定理及其推論，培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義的觀點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)： 理解切割線定理及其推論，它是以后學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到的重要定理 教學(xué)難點(diǎn)： 定理的靈活

8、運(yùn)用以及定理與推論問(wèn)的內(nèi)在聯(lián)系是難點(diǎn) 教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì) （一）提出問(wèn)題 1、引出問(wèn)題：相交弦定理是兩弦相交于圓內(nèi)一點(diǎn)如果兩弦延長(zhǎng)交于圓外一點(diǎn)P，那么該點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的四條線段PA，PB，PC，PD的長(zhǎng)之間有什么關(guān)系？(如圖1) 當(dāng)其中一條割線繞交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到與圓的兩交點(diǎn)重合為一點(diǎn)(如圖2)時(shí)，由圓外這點(diǎn)到割線與圓的兩交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)和該點(diǎn)的切線長(zhǎng)PA，PB，PT之間又有什么關(guān)系？ 2、猜想：引導(dǎo)學(xué)生猜想出圖中三條線段PT，PA，PB間的關(guān)系為PT2=PA·PB 3、證明： 讓學(xué)生根據(jù)圖2寫(xiě)出已知、求證，并進(jìn)行分析、證明猜想 分析：要證PT2=PA·PB， 可以證明

9、，為此可證以 PA·PT為邊的三角形與以PT，BP為邊的三角形相似，于是考慮作輔助線TP，PB(圖3)容易證明PTA=B又P=P，因此BPTTPA，于是問(wèn)題可證 4、引導(dǎo)學(xué)生用語(yǔ)言表達(dá)上述結(jié)論 切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng) （二）切割線定理的推論 1、再提出問(wèn)題：當(dāng)PB、PD為兩條割線時(shí)，線段PA，PB，PC，PD之間有什么關(guān)系? 觀察圖4，提出猜想：PA·PB=PC·PD 2、組織學(xué)生用多種方法證明： 方法一：要證PA·PB=PC·PD，可證此

10、可證以PA，PC為邊的三角形和以PD，PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AC，BD，容易證明PAC=D，P=P，因此PACPDB (如圖4) 方法二：要證，還可考慮證明以PA，PD為邊的三角形和以PC、PB為邊的三角形相似，所以考慮作輔助線AD、CB容易證明B=D，又P=P 因此PADPCB(如圖5) 方法三：引導(dǎo)學(xué)生再次觀察圖2，立即會(huì)發(fā)現(xiàn)PT2=PA·PB，同時(shí)PT2=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PDPA·PB=PC·PD 推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每

11、條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（也叫做割線定理） （三）初步應(yīng)用 例1 已知：如圖6，O的割線PAB交O于點(diǎn)A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求O的半徑 分析：由于PO既不是O的切線也不是割線，故須將PO延長(zhǎng)交O于D，構(gòu)成了圓的一條割線，而OD又恰好是O的半徑，于是運(yùn)用切割線定理的推論，問(wèn)題得解 （解略）教師示范解題 例2 已知如圖7，線段AB和O交于點(diǎn)C，D，ACBD，AE，BF分別切O于點(diǎn)E，F(xiàn)， 求證：AEBF 分析：要證明的兩條線段AE，BF均與O相切，且從A、B 兩點(diǎn)出發(fā)引的割線ACD和BDC在同一直線上，且ACBD，ADBC 因此它們的積相等，問(wèn)題得證 學(xué)生自主完成，教師隨時(shí)糾正學(xué)生解題過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤，如AE2AC·CD和BF2BD·DC等 鞏固練習(xí)：P128練習(xí)1、2題 （四）小結(jié) 知識(shí)：切割線定理及推論； 能力：結(jié)合具體圖形時(shí)，應(yīng)能寫(xiě)出正確的等積式； 方法：在證明切割線定理和推論時(shí)，所用的構(gòu)造相似三角形的方法十分重要，應(yīng)注意很好地掌握 （五）作業(yè)教材P132中，11、12題探究活動(dòng)最佳射門(mén)位置 國(guó)際足聯(lián)規(guī)定法國(guó)世界杯決賽階段，比賽場(chǎng)地長(zhǎng)105米，寬68米，足蠣趴?.32米，高2.44米，試確定邊鋒最佳