利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法

1、無(wú)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的兩種通法吉林省長(zhǎng)春市東北師范大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)學(xué)校金鐘植岳海學(xué)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式主要有兩種通法，即函數(shù)類(lèi)不等式證明和常數(shù)類(lèi)不等式證明。下面就有關(guān)的兩種通法用列舉的方式歸納和總結(jié)。一、函數(shù)類(lèi)不等式證明一、函數(shù)類(lèi)不等式證明函數(shù)類(lèi)不等式證明的通法可概括為：證明不等式( )( )f xg x（( )( )f xg x）的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明( )( )0f xg x（( )( )0f xg x） ，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)( )( )( )h xf xg x，然后利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)( )h x的單調(diào)性或證明函數(shù)( )h x的最小值

2、（最大值） 大于或等于零 （小于或等于零） 。例 1 已知(0,)2x，求證：sintanxxx分析：欲證sintanxxx，只需證函數(shù)( )sinf xxx和( )tang xxx在(0,)2上單調(diào)遞減即可。證明：令( )sinf xxx，其中(0,)2x則/( )cos1fxx，而(0,)cos1cos102xxx 所以( )sinf xxx在(0,)2上單調(diào)遞減，即( )sin(0)0f xxxf所以sin xx；令( )tang xxx，其中(0,)2x則/221( )1tan0cosgxxx ，所以( )tang xxx在(0,)2上單調(diào)遞減，即( )tan(0)0g xxxg所以t

3、anxx。綜上所述，sintanxxx評(píng)注：證明函數(shù)類(lèi)不等式時(shí)，構(gòu)造輔助函數(shù)比較容易，只需將不等式的其中一邊變?yōu)?0，然后另一邊的函數(shù)作為輔助函數(shù)， 并利用導(dǎo)數(shù)證明其單調(diào)性或其最值， 進(jìn)而構(gòu)造我們所需的不等式的結(jié)構(gòu)即可。 根據(jù)不等式的對(duì)稱(chēng)性， 本例也可以構(gòu)造輔助函數(shù)為在(0,)2上是單調(diào)遞增的函數(shù)（如：利用( )sinh xxx在(0,)2上是單調(diào)遞增來(lái)證明不等式sin xx） ，另外不等式證明時(shí)，區(qū)間端點(diǎn)值也可以不是我們所需要的最恰當(dāng)?shù)闹担ū热绱死械?0)f也可以無(wú)不是 0，而是便于放大的正數(shù)也可以） 。因此例可變式為證明如下不等式問(wèn)題：已知(0,)2x，求證：sin1tan1xxx 證明

4、這個(gè)變式題可采用兩種方法：第一種證法：運(yùn)用本例完全相同的方法證明每個(gè)不等式以后再放縮或放大，即證明不等式sin xx以后，根據(jù)sin1sinxxx 來(lái)證明不等式sin1xx ；第二種證法： 直接構(gòu)造輔助函數(shù)( )sin1f xxx 和( )tan1g xxx， 其中(0,)2x然后證明各自的單調(diào)性后再放縮或放大（如：( )sin1(0)10f xxxf ）例 2 求證：ln(1)xx分析：令( )ln(1)f xxx，經(jīng)過(guò)求導(dǎo)易知，( )f x在其定義域( 1,) 上不單調(diào)，但可以利用最值證明不等式。證明：令( )ln(1)f xxx函數(shù) f(x)的定義域是( 1,) , f(x)=111 x

5、.令 f(x)=0，解得 x=0，當(dāng)-1x0,當(dāng) x0 時(shí), f(x)n0證明：令ln()( )(0)xxabf xxx則/22lnlnln()(lnln )()ln()( )()xxxxxxxxxxxxxxaabbxabx aabbabababfxxxab22lnlnlnln0()()xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxabababababababababxabxab所以，ln()( )0 xxabf xx在（ ，）上是減函數(shù)又因?yàn)?mn，所以( )( )f nf m即ln()ln()nnmmababnmln()ln()ln()ln()nnmmnnmmmnmabnababab即()(

6、)nnmmmnabab評(píng)注： 利用導(dǎo)數(shù)證明常數(shù)類(lèi)不等式的關(guān)鍵是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃危?將不等式證明的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性證明問(wèn)題， 其中關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)， 如何構(gòu)造輔助函數(shù)也是這種通法運(yùn)用的難點(diǎn)和關(guān)鍵所在。通過(guò)本例，不難發(fā)現(xiàn)，構(gòu)造輔助函數(shù)關(guān)鍵在于不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子（本例經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)化后的不等式ln()ln()nnmmababnm的兩邊都是相同式子ln()xxabx的結(jié)構(gòu)，所以可以構(gòu)造輔助函數(shù)ln()( )xxabf xx） ，這樣根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”可以構(gòu)造輔助函數(shù)。例 4 已知02，求證：tantan11tantan 分析：欲證tantan11tantan ，只需證tantantanta

7、n（不然沒(méi)法構(gòu)造輔助函無(wú)數(shù)） ，即tantan,tantan，則需證函數(shù)tan( ), ( )tanxf xg xxxx都在函數(shù)區(qū)間(0,)2上單調(diào)遞增即可。證明：設(shè)tan( )xf xx，(0,)2x則2/222sectansin cos( )cosxxxxxxfxxxx由例 1 知，(0,)sinsin cossin cos02xxxxxxxx即/( )0fx ，所以tan( )xf xx在(0,)2上單調(diào)遞增，而02所以tantan，即tantan，進(jìn)而得到tan1tan 設(shè)( )tang xxx，(0,)2x則/2( )tansecgxxxx，又因?yàn)?0,)2x，所以/( )0gx ，

8、進(jìn)而( )tang xxx在(0,)2上單調(diào)遞增，而02所以tantan，即tantan，進(jìn)而得到tan1tan綜上所述tantan11tantan 三、同步練習(xí)題三、同步練習(xí)題1當(dāng)1x時(shí),求證:xx1322已知 a,b 為實(shí)數(shù)，并且 eab，其中 e 是自然對(duì)數(shù)的底，證明：baab3已知函數(shù)( )ln(1) 10 xf xexx（1）求函數(shù)( )f x的最小值；（2）若0yx，求證：1ln(1)ln(1)x yexy 4求證：()()eeeee參考答案：參考答案：1證明：無(wú)要證xx132，只要證) 1() 13(423xxx,即證23) 13(4xx, 0)(169423xfxxx則當(dāng)1x時(shí)

9、，0) 1)(12(6) 132(6)( 3xxxxxf,), 1 ()(在xf上遞增，0) 1 ()(fxf即0)(xf成立，原不等式得證2證明：當(dāng) eab 時(shí)， 要證baab， 只要證lnlnbaab,即只要證bbaalnln考慮函數(shù))0(lnxxxy。因?yàn)楫?dāng)ex 時(shí)，, 0ln12xxy所以函數(shù)),(lnexxy在內(nèi)是減函數(shù)因?yàn)?eab，所以bbaalnln，即得baab3 （1）最小值為 0（2）因?yàn)?0yxxy，而由（1）知，對(duì)0 x ，恒有( )0f x ，所以不等式()0f xy恒成立即ln(1) 10 x yexy 所以1ln(1)x yexy 又因?yàn)閘n(1)ln(1)(1)ln(1)ln(1)()ln(1)ln(1)ln(1)()0)xyyxyyxy xyyxyy xy所以1ln(1)ln(1)x yexy 證明：設(shè)ln()( )(0)xxef xxx，則2lnln()( )xxxxxxexeefxx2(ln)()l