某單位擬從三名干部中提拔一人擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)工作

1、 數(shù)學(xué)建模選修課作業(yè)（論文）作者： 陳 帥 8000111078東軟實(shí)驗(yàn)111班 涂 琳8000111106軟工113班 干部選拔問題數(shù)學(xué)建模論文摘要 本文采用數(shù)學(xué)建模目標(biāo)決策分析中應(yīng)用廣泛的層次分析法，探尋求解此類數(shù)學(xué)問題的快速、有效、直接的方法。針對從三名干部中提拔一人擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)工作的問題我們采用層次分析法（AHP），這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。首先對問題構(gòu)造層次結(jié)構(gòu)模型，并運(yùn)用矩陣和組合權(quán)向量進(jìn)行一系列求解和組合一致性檢驗(yàn)得出最終結(jié)果。【關(guān)鍵詞】：層次分析，選拔干部，矩陣1. 問題的提出人們在日常生活中常常會(huì)碰到許多決策問題：買一件衣服，要考慮顏色、圖案、風(fēng)格、價(jià)

2、位；請朋友吃飯，要籌劃是辦家宴或去飯店，吃中餐、西餐或是自助餐等等。如果以為這些日常小事不必作為決策問題認(rèn)真對待的話，那么當(dāng)你面臨報(bào)考學(xué)校、挑選專業(yè)或者選擇工作崗位等重大問題時(shí)，就要慎重考慮、反復(fù)比較，盡可能地作出滿意的決策了。針對干部選拔問題我們要考慮和衡量的因素也很多。2.問題的分析人們在處理上面這些決策的時(shí)候，要考慮的因素有多有少，有大有小，但一個(gè)共同點(diǎn)就是它們通常都涉及到經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、人文等方面的因素。在作比較、判斷、評價(jià)、決策時(shí)，這些因素的重要性、影響力或者優(yōu)先程度往往難以量化，人們的主觀選擇也起著相當(dāng)主要的作用，這就給用一般的數(shù)學(xué)方法解決問題帶來實(shí)質(zhì)上的困難。然而T. L. Saat

3、y等人在七十年代提出了一種能有效地處理這樣一類問題的使用方法，稱為層次分析法（AHP）。這是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化、層次化的分析方法。我們采用層次分析法解決某單位擬從三名干部中提拔一人擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)工作的問題。干部的優(yōu)劣（由上級人事部門提出）可以用六個(gè)屬性來衡量：健康狀況、業(yè)務(wù)知識、寫作水平、口才、政策水平、工作作風(fēng)，分別用p1 、 p2 、 p3 、 p4 、 p5 、 p6 來表示。2. 模型假設(shè)層次分析法的基本思路與人對一個(gè)復(fù)雜的決策問題的思維判斷過程大體上是一樣的。首先，考慮這一職位那種能力最重要，其次，就每一個(gè)準(zhǔn)則將甲乙丙作對比，最后，你將這兩個(gè)層次的比較判斷進(jìn)行綜合，在甲，乙，丙

4、中作出選擇。根據(jù)這個(gè)思路，將有關(guān)的各個(gè)因素按照不同屬性自上而下地分解成若干個(gè)層次。同一層的諸因素從屬于上一層的因素或?qū)ι弦粚拥囊蛩赜杏绊?，同時(shí)又支配下一層的因素或受到下一層因素的作用。一般分為目標(biāo)層、準(zhǔn)則層和方案層。3. 模型的建立建立層次結(jié)構(gòu)模型如下：層次分析圖：提拔一人擔(dān)任領(lǐng)導(dǎo)目標(biāo)層 W1 W2 W3 W4 W5 W6p2業(yè)務(wù)水平p3寫作水平p4口才p5政策水平p6工作作風(fēng)p1健康狀況ANG準(zhǔn)則層丙乙甲方案層通過相互比較確定各準(zhǔn)則對于目標(biāo)的權(quán)重。通常的做法是，一是不把所有因素放在一起比較，而是兩兩相互對比，對比時(shí)采用相對尺度，以盡可能減少性質(zhì)不同的諸因素相互比較的困難，提高精確度。4. 模

5、型的求解構(gòu)造成對比較陣：假設(shè)要比較某一層n個(gè)因素對上一層一個(gè)因素的影響。如本題中中健康狀況等六個(gè)準(zhǔn)則在提拔干部這個(gè)目標(biāo)中的重要性。每次取兩個(gè)因素和，用表示和對的影響之比，全部比較結(jié)果可用成對比較矩陣 （1）表示。由于，稱為正互反矩陣。顯然，。約定比較尺度1 與同等重要 3 比重要一點(diǎn) 5 與重要 7 與重要得多 9 與極為重要2、4、6、8是介于1、3、5、7、9之間的重要性本題中，成對比較陣如下, 1 1 1 4 1 1/2 1 1 2 4 1 1/2A= 1 1/2 1 5 3 1/2 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 1 1 1/3 3 1 1 2 2 2 3 1 1成對比較陣

6、確定了與的重要性關(guān)系，那么如何通過成對比較陣來確定諸因素對上層因素的權(quán)重呢？（對的重要性所占的比重）求權(quán)向量（和法）：將矩陣A的每一列元素作歸一化處理，其元素的一般項(xiàng)為： 1 1 1 4 1 1/2 1 1 2 4 1 1/2A= 1 1/2 1 5 3 1/2 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 1 1 1/3 3 1 1 2 2 2 3 1 1將每一列經(jīng)歸一化處理后的判斷矩陣按行相加為： 0.16 0.17 0.15 0.20 0.14 0.13 0.95、 0.16 0.17 0.30 0.20 0.14 0.13 按 1.10 0.16 0.09 0.15 0.25 0.42

7、0.13 行 1.20 0.04 0.04 0.03 0.05 0.05 0.09 求 0.30 0.16 0.17 0.05 0.15 0.14 0.14 和 0.93 0.32 0.34 0.30 0.15 0.14 0.26 1.51 0.95 0.16 1.10 0.18 1.20 歸一化 0.20 0.30 0.05 0.93 0.16 1.51 0.25表示諸因素對上層因素的權(quán)重，稱為權(quán)向量。求三人所得總分：甲的總分=S Wi* Wi1 = 0.16* 0.14+ 0.18* 0.10 + 0.20* 0.14 + 0.05* 0.28 + 0.16* 0.47 + 0.25* 0

8、.80 = 0.3576乙的總分 = S Wi* Wi2 = 0.16* 0.62+ 0.18* 0.32 + 0.20* 0.62 + 0.05* 0.65 + 0.16* 0.47 + 0.25* 0.15 = 0.4372丙的總分 = S Wi* Wi3 = 0.16* 0.24+ 0.18* 0.58 + 0.20* 0.24 + 0.05* 0.07 + 0.16* 0.07 + 0.25* 0.05 = 0. 2182因?yàn)橐壹妆目偡?，所以?yīng)該提拔乙到領(lǐng)導(dǎo)崗位上。5. 模型結(jié)果的檢驗(yàn)和分析一致性檢驗(yàn)：定義：對于一個(gè)正互反陣滿足則稱為一致性矩陣，簡稱一致陣。否則，稱不是一致陣。注：（

9、1）一、二階方陣一定是一致陣。（2）階正互反矩陣的最大特征根。（3）階正互反矩陣是一致陣的充要條件為的最大特征根。在實(shí)際構(gòu)造成對比較陣的過程中，全部一致的要求太苛刻了，所以成對比較陣通常是不一致的，但是我們有一個(gè)不一致的容許范圍，也就是說，若在這個(gè)容許范圍內(nèi)也是可以的。因此，需要對進(jìn)行一致性檢驗(yàn)。把權(quán)向量作為的特征向量，求最大特征根。 （2）定義一致性指標(biāo) （3）為了找出衡量的一致性指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)，Saaty又引入所謂隨機(jī)一致性指標(biāo)，計(jì)算的過程是對于固定的，隨機(jī)構(gòu)造正互反矩陣，用它們的的平均值作為隨機(jī)一致性指標(biāo)，得到下面結(jié)果：1234567891011000.580.901.121.241.321

10、.411.451.491.51定義 （4）為一致性比率。如果，則稱的不一致程度在容許范圍之內(nèi)。若否，對加以調(diào)整。對用（2）、（3）、（4）式進(jìn)行檢驗(yàn)，稱為一致性檢驗(yàn)。1 1 1 4 1 1/2 0.16 1.025 1 1 2 4 1 1/2 0.18 1.225 1 1/2 1 5 3 1/2 0.20 1.305 1/4 1/4 1/5 1 1/3 1/3 0. 05 = 0.309 1 1 1/3 3 1 1 0.16 1.066 2 2 2 3 1 1 0.25 1.640由查得，于是，通過一致性檢驗(yàn)，可用作為權(quán)向量。組合權(quán)向量：在此決策問題中，我們已經(jīng)得到了第二層（準(zhǔn)則層）對第一層（

11、目標(biāo)層）的權(quán)向量。用同樣的方法構(gòu)造第三層（方案層）對第二層每一個(gè)準(zhǔn)則的成對比較陣。用B1，B2，B3，B4，B5 ,B6分別表示甲，乙，丙對準(zhǔn)則p1,p2,p3,p3,p4,p5,p6的優(yōu)越性。對于各準(zhǔn)則：健康狀況p1 1 1/4 1/2 B1= 4 1 3 2 1/3 1同樣，業(yè)務(wù)水平p2 1 1/4 1/5B2= 4 1 1/2 5 2 1寫作水平p3 1 3 1/5 B3= 1/3 1 1 5 1 1口才p4 1 1/3 5 B4= 3 1 7 1/5 1/7 1政策水平p5 1 1 7B5= 1 1 7 1/7 1/7 1工作作風(fēng)p6 1 7 9B6 = 1/7 1 5 1/9 1/5

12、 1求出方案層對目標(biāo)層的最大特征向量。=（0.14,0.62,0.24)=（0.10,0.32,0.58)=（0.14,0.62,0.24)=（0.28,0.65,0.07)=（0.47,0.47,0.06)=（0.80,0.15,0.05)對于每一個(gè)成對比較陣，都可以計(jì)算出權(quán)向量，分別記為，最大特征根和，以為例：經(jīng)計(jì)算，對于本題，每個(gè)都通過了一致性檢驗(yàn)。 一般地，若第一層只有一個(gè)因素，第二、三層分別由個(gè)因素，第二層對第一層的權(quán)向量為，第三層對第二層的權(quán)向量為，以為列向量構(gòu)成矩陣，則第三層對第一層的組合權(quán)向量。若共有層，則第層對第一層的組合權(quán)向量滿足其中是以第層對第層的權(quán)向量為列向量組成的矩陣。于是，最下層（第層）對最上層的組合權(quán)向量組合一致性檢驗(yàn)：在層次分析的整個(gè)計(jì)算過程中，除了對每個(gè)成對比較陣進(jìn)行一致性檢驗(yàn)，以判斷每個(gè)權(quán)向量是否可以應(yīng)用外，還要進(jìn)行所謂組合一致性檢驗(yàn)，以確定組合權(quán)向量是否可以作為最終的決策依據(jù)。組合一致性檢驗(yàn)可逐層進(jìn)行，若第層的一致性指標(biāo)為（是層因素的數(shù)目），隨機(jī)一致性指標(biāo)為，定義其中表示第層的權(quán)向量。定義第層對第一層的組合一致性比率為若，則通過了組合一致性檢驗(yàn)。結(jié)果分析：在本題中， 故通過組