高二橢圓知識(shí)點(diǎn)小結(jié)

1、橢圓知識(shí)點(diǎn)1. 知識(shí)要點(diǎn)小結(jié)：知識(shí)點(diǎn)一：橢圓的定義平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和等于常數(shù) ,這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫作橢圓的焦距.注意：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡為線段；若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡無(wú)圖形.知識(shí)點(diǎn)二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中2當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：，其中；注意：1只有當(dāng)橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系時(shí)，才能得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2在橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，都有和；3橢圓的焦點(diǎn)總在長(zhǎng)軸上.當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，；當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，4.一般方程是表示橢圓的條件方程可化為，即，所以

2、只有A、B、C同號(hào)，且AB時(shí)，方程表示橢圓。當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上；當(dāng)時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在軸上。知識(shí)點(diǎn)三：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)橢圓：的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（1）對(duì)稱(chēng)性：對(duì)于橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程：說(shuō)明：把換成、或把換成、或把、同時(shí)換成、原方程都不變，所以橢圓是以軸、軸為對(duì)稱(chēng)軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，并且是以原點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，這個(gè)對(duì)稱(chēng)中心稱(chēng)為橢圓的中心。（2）范圍：橢圓上所有的點(diǎn)都位于直線和所圍成的矩形內(nèi)，所以橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，。（3）頂點(diǎn)：橢圓的對(duì)稱(chēng)軸與橢圓的交點(diǎn)稱(chēng)為橢圓的頂點(diǎn)。橢圓與坐標(biāo)軸的四個(gè)交點(diǎn)即為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，坐標(biāo)分別為 ， 線段，分別叫做橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，,。和分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)。（4）

3、離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)度的比叫做橢圓的離心率，用表示，記作。因?yàn)?，所以的取值范圍是。越接?，則就越接近，從而越小，因此橢圓越扁；反之，越接近于0，就越接近0，從而越接近于，這時(shí)橢圓就越接近于圓。 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，這時(shí)兩個(gè)焦點(diǎn)重合，圖形變?yōu)閳A，方程為。注意：橢圓的圖像中線段的幾何特征（如下圖）：（1）；（2）；（3）；知識(shí)點(diǎn)四：橢圓 與 的區(qū)別和聯(lián)系標(biāo)準(zhǔn)方程 圖形性質(zhì)焦點(diǎn)，焦距 范圍，對(duì)稱(chēng)性關(guān)于軸、軸和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)頂點(diǎn)，軸長(zhǎng)長(zhǎng)軸長(zhǎng)=，短軸長(zhǎng)= 離心率準(zhǔn)線方程焦半徑，注意：橢圓，的相同點(diǎn)：形狀、大小都相同；參數(shù)間的關(guān)系都有和，；不同點(diǎn)：兩種橢圓的位置不同；它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)也不相同。2.典型例題一、已知

4、橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例1：已知橢圓的焦點(diǎn)是F1(0，1)、F2(0,1)，P是橢圓上一點(diǎn)，并且PF1PF22F1F2，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。解：由PF1PF22F1F22×24，得2a4.又c1，所以b23.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1. 2已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)，且2a10，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：由橢圓定義知c1，b.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.二、未知橢圓焦點(diǎn)的位置，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例：1. 橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分析：題目沒(méi)有指出焦點(diǎn)的位置，要考慮兩種位置解：（1）當(dāng)為長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）當(dāng)為短軸端點(diǎn)

5、時(shí)，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；三、橢圓的焦點(diǎn)位置由其它方程間接給出，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例求過(guò)點(diǎn)(3,2)且與橢圓1有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解：因?yàn)閏2945，所以設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.由點(diǎn)(3,2)在橢圓上知1，所以a215.所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.四、與直線相結(jié)合的問(wèn)題，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。例： 已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線交于、兩點(diǎn)，為 中點(diǎn)，的斜率為0.25，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，求橢圓的方程解：由題意，設(shè)橢圓方程為，由，得， 為所求五、求橢圓的離心率問(wèn)題。例 一個(gè)橢圓的焦點(diǎn)將其準(zhǔn)線間的距離三等分，求橢圓的離心率解： ，例 已知橢圓的離心率，求的值 解：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由

6、，得當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在軸上時(shí)，得由，得，即滿足條件的或 六、由橢圓內(nèi)的三角形周長(zhǎng)、面積有關(guān)的問(wèn)題 例：1.若ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)A(4,0)，B(4,0)，ABC的周長(zhǎng)為18，求頂點(diǎn)C的軌跡方程。解：頂點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A，B的距離之和為定值10，且大于兩定點(diǎn)間的距離，因此頂點(diǎn)C的軌跡為橢圓，并且2a10，所以a5,2c8，所以c4，所以b2a2c29，故頂點(diǎn)C的軌跡方程為1.又A、B、C三點(diǎn)構(gòu)成三角形，所以y0.所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為1(y0)2已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(a>5)，它的兩焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，且F1F28，弦AB過(guò)點(diǎn)F1，求ABF2的周長(zhǎng)因?yàn)镕1F28，即即所以2c8，即c4，所

7、以a2251641，即a，所以ABF2的周長(zhǎng)為4a4.3設(shè)F1、F2是橢圓1的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的點(diǎn)，且PF1:PF22:1，求PF1F2的面積解析：由橢圓方程，得a3，b2，c，PF1PF22a6.又PF1PF221，PF14，PF22，由2242(2)2可知PF1F2是直角三角形，故PF1F2的面積為PF1·PF2×2×44.七、直線與橢圓的位置問(wèn)題例 已知橢圓，求過(guò)點(diǎn)且被平分的弦所在的直線方程解法一：設(shè)所求直線的斜率為，則直線方程為代入橢圓方程，并整理得由韋達(dá)定理得是弦中點(diǎn)，故得所以所求直線方程為解法二：設(shè)過(guò)的直線與橢圓交于、，則由題意得得 將、代入得，即直線的斜率為所求直線方程為八、橢圓中的最值問(wèn)題例 橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，當(dāng)為最小值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)解：由已知：，所以，右準(zhǔn)線過(guò)作，垂足為，交橢圓于，故顯然的最小值為，即為所求點(diǎn)，因此，且在橢圓上故所以3.規(guī)律方法： 1求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法： 待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點(diǎn)的位置，從而確定橢圓方程的類(lèi)型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再由條件確定方程中的參數(shù)的值。其主要步驟是“先定型，再定量”；定義法：由已知條件判斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程。2共焦點(diǎn)的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式上的差異共焦點(diǎn)，則c相同。與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓方程可設(shè)為，此類(lèi)問(wèn)題常用待定系數(shù)法求解。3如何