數(shù)列通項(xiàng)公式求法大全配練習(xí)及答案

1、數(shù)列通項(xiàng)公式的十種求法一、公式法二、累加法an 1 an f(n)例1已知數(shù)列an滿足an 1 an 2n 1, a1 1 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。an n2例2 已知數(shù)列an滿足an 1an23n1,a13,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(an 3n n 1.)三、累乘法an 1 f(n)an例3已知數(shù)列an滿足an 1 2(n 1)5n an, a1 3,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。 n(n 1)(an 3 2n 1 5 n!.)a評(píng)汪：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系& 1 2(n 1)5 an轉(zhuǎn)化為2(n 1)5,進(jìn)而求an出包包_工L a3 a2 & ,即得數(shù)列烝的通項(xiàng)公式。 an 1

2、an 2 a2 a1例 4 已知數(shù)列an滿足 a11,ana12a23a3L (n1)an1(n2),求an的通項(xiàng)/一 / n!、公式。(an .)2評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an 1 (n 1)an(n 2)轉(zhuǎn)化為一 n 1(n 2),an進(jìn)而求出-a-a，l生a2,從而可得當(dāng)n 2時(shí)，an的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列an的 an 1 an 2a2通項(xiàng)公式。四、待定系數(shù)法an 1 pan q an 1 pan f n an 2 pan 1 qan(其中p, q均為常數(shù))。例5 已知數(shù)列an滿足an 12n 12an 3 5n, ai 6 ,求數(shù)列為的通項(xiàng)公式。評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推

3、關(guān)系式4 5n的通項(xiàng)公式，最后再求出數(shù)列an 1 2an 3 5n 轉(zhuǎn)化為加 i 5n 1 2(加 5n),從而可知數(shù)列an 5n是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。例6已知數(shù)列an滿足an 1 3an 5 2n 4, a1 1,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。(an 13 3n 1 5 2n 2)評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an1 3an 5 2n 4轉(zhuǎn)化為 an 1 5 2n 1 2 3(an 5 2n 2),從而可知數(shù)列an 5 2n 2是等比數(shù)列，進(jìn)而求 出數(shù)列an 5 2n 2的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。例7已知數(shù)列an滿足an 12an3n2 4n5,a11 ,求數(shù)

4、列an的通項(xiàng)公式。_n 42(an 2n 4 3n2 10n 18)評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an1 2an 3n2 4n 5轉(zhuǎn)化為,、2 ,、一2 2一 an 13(n1)10(n 1)182(an 3n10n 18),從而可知數(shù)列22an 3n 10n 18是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列an 3n 10n 18的通項(xiàng)公式，最后再 求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。五、遞推公式為Sn與an的關(guān)系式(或Sn f(an)S1解法：這種類型一般利用 an1SnSn1(n(n1)2)例8已知數(shù)列an前n項(xiàng)和Sn4.(1)求an 1與an的關(guān)系；(2)求通項(xiàng)公例9已知數(shù)列an滿足an 1 3an3,求數(shù)列an

5、的通項(xiàng)公式。解：an 12 3n 1兩邊除以0n 1as an 13 ，仔力3an3n則上3n 1an 23n3上,故3n 1因此新3n2(n 1)蔣(1 3n 1) 32n33則an233n3n評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an3an 2 3n1轉(zhuǎn)化為an 1 an 23n13n 3a進(jìn)而求出（3nan 1an 1an 2 x3n 13n 13n 2(an3n 2a_2) l 3n 3(曳3231a1 ,即得數(shù)列3an3n的通項(xiàng)公式，最后再求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式。七、對(duì)數(shù)變換法 （當(dāng)通項(xiàng)公式中含哥指數(shù)時(shí)適用）n 5例10已知數(shù)列an滿足an 1 2 3 an ,7 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式

6、。解：因?yàn)?an 1 2 3n a；,0,an 1n 50 0在an 12 3an式兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg an 1 5lgannlg3 lg 2設(shè) lg an 1x(n 1) y5(lg an xny)11將式代入5lg an nlg3lg2x(n1) y 5(lg an xn y),兩邊消去5lg an并整理,得(lg3x)n xlg 2 5xnlg3 x 5x 4y,故x y lg2 5ylg34lg316lg24蛆n魴_監(jiān)1g an 4 n 1645,代入舊式，得lgani/(n 1)里 史5(lgan嗎 幽 暨 n In41644164/ 1蛆跖 /1M跖°及41644164

7、lg3 n lg3 lg2信 Igan 丁口 方丁 °，lg an 1Ig2例11已知數(shù)列劣滿足an 1 a3(n”，a1 5,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。所以數(shù)列l(wèi)g an幽03是以幻7國(guó)3幽旦2為首項(xiàng)，以5為公比的等 41644164Ig3Ig3 lg 2Ig3Ig3lg 2 n1比數(shù)列，則lgan、一n 士一(lg73)5,因此n 41644164lg3 lg3lg2xrn 1lg 3lg 3lg2lg an (lg7)5n -4164464111n11(lg7 lg 34 lg 36 lg 24)5n 1lg 3 lg3而 lg 2，1 11n 11lg(7 34 3石 24)5n

8、 1 lg(3" 3語(yǔ) 2b 111n 11lg(7 3" 3行 24)5n 1 lg(3" 3行 2”)5n 1 n 5n 1 15n 1 1以75n 1 3- 3元 2丁)5n 4n 15n 1 1lg(75n 1 3 162丁)5n 4n 15n 1 1則 an75n 1 3 162k評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)數(shù)變換把遞推關(guān)系式an 1 2 3n an轉(zhuǎn)化為lgan1 g(n 1)蛇庭5(lgan蛇n蛇監(jiān))，從而可知數(shù)列41644164.lg3lg3lg 2.lg3lg3lg2、lg an-n是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列l(wèi)gan-n士一的通項(xiàng)41644164公

9、式，最后再求出數(shù)列an的通項(xiàng)公式。八、迭代法3(n 1)2n3n 2n 13(n 1) 2n 2 3n 2解：因?yàn)?an 1an,所以 anan 1 an 2又a15,所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an 5n(n 1)3n 1 n! 2-2 ) 。評(píng)注：本題還可綜合利用累乘法和對(duì)數(shù)變換法求數(shù)列的通項(xiàng)公式。即先將等式an 1a3(n1)2n兩邊取常用對(duì)數(shù)得lg an 13(n1) 2n lgan,即必亙 lg an3(n 1)2n ,再由累乘法可推知, lg an lg an 1 .lg anLlg an 1 lg an 2lga3lg a21g a2 Igailg ain(n 1)3n 1 n! 2

10、-2-1g5n 1 n(n 1)3n 1 n! 2 ：_一,從而an 52 。九、數(shù)學(xué)歸納法例12已知數(shù)列an滿足an 1 an8(n1)_2 _ 2 '(2n 1)2(2 n 3)28 ,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。9解：由an 1 an8(n 1)(2n 1)2(2n 3)2由此可猜測(cè)an(2n 1)2 12(2n 1)2,往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個(gè)結(jié)論。(1)當(dāng)n 1時(shí),(2 1 1)2 1a1 -(2 1 1)28 ,所以等式成立。9(2)假設(shè)當(dāng)n k時(shí)等式成立，即akk 1時(shí),由此可知，當(dāng)n k 1時(shí)等式也成立。根據(jù)(1), (2)可知，等式對(duì)任何 nN都成立。n項(xiàng)，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項(xiàng)評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過(guò)首項(xiàng)和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前 公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。十、換元法例 13 已知數(shù)列an滿足 an 1 (1 4an Ji 24an), &16一 / -： 12解：令 * J 2-，則 an 4(bn 1)一121 .故 an 1- (bn 11),代入 an1 (14anJ124an )得2416即 4b：1(0 3)2因?yàn)?bn 1 24an 0,故 bn1 * 24%0i13則 2bn1 bn 3,即 bm bn2 2一，、，1可化為 bn 1 3 -(bn 3),2所以bn 3是以b 3 J1 24al 3 W 24 1