小學數(shù)學競賽學習材料(四年級暑期)

1、小學數(shù)學競賽學習材料四年級暑期第一講幻方相傳在三千多年前的夏禹時代，從洛水（就在我們河南洛陽附近）浮出一只神龜，背上有一個神秘的圖形如下：經(jīng)研究，原來是一個數(shù)字方陣圖： 4 9 2 35 7 8 1 6進一步計算又發(fā)現(xiàn)：它的每行、每列，甚至每條對角線上三個數(shù)字的和都是15。真是奇妙無比。于是，人們就把它叫做“幻方”。“幻”含有夢幻、神奇、美妙、理想的意思。把那個相等的和就叫做“幻和”。后來，幻方從國內(nèi)傳到國外，引起了人們極大的興趣，并把它推廣到更為一般的情況：如果有n2個數(shù)，可以排成一個n行、n列的方陣，并且，它的n行、n列和2條對角線上，n個數(shù)的和都相等，就把這個數(shù)陣叫做“n階幻方”。顯然，

2、其幻和等于這n2個數(shù)的和除以n。我國宋朝數(shù)學家楊輝對幻方進行過深入的研究，取得了巨大的成績。在他的著作里，對三階幻方的制做方法，有這樣四句話：“九子斜排，上下對易，左右相更，四維突出”。這四句話的意思是：把九個數(shù)從小到大斜著排列成正方形，上下兩個頂點上的數(shù)交換，左右兩個頂點上的數(shù)交換，四條邊中間的數(shù)向外面突出。左下圖就是這個過程的示意圖，右下圖是最后得到的結(jié)果：四維突出 九子斜排 左右相更 上下對易例1用5、7、9、11、13、15、17、19、21這九個數(shù)作一個三階幻方。解：用上面的方法得到： 7 21 11 17 13 915 5 19 幻和是（5791113151719）÷33

3、9。經(jīng)檢驗，完全符合要求。例2用1、2、3、16這16個數(shù)作一個四階幻方。解：幻和等于（12316）÷434。先把這16個數(shù)按從小到大的順序填入4×4的方格里（圖1）： 1 2 3 4 16 2 3 13 5 6 7 8 5 11 10 8 9 10 11 12 9 7 6 12 13 14 15 16 4 14 15 1 圖1 圖2圖3計算發(fā)現(xiàn)，兩條對角線上四個數(shù)的和已經(jīng)符合要求，但是，由于從小到大排列的緣故，使得行、列上的數(shù)出現(xiàn)了上小下大的情況，顯然不符合要求，由此想到，把同一條對角線上的數(shù)上下對調(diào)如圖2，對調(diào)的結(jié)果如圖3，經(jīng)檢驗，完全符合要求?；梅降淖鞣ú皇俏┮坏模?/p>

4、使是對同一種方法所得到的結(jié)果，也可以進行各種變換。上面的三階幻方就有八種不同的形式?，F(xiàn)在已經(jīng)知道，四階幻方有 880 種不同的形式。這里有一個極為特殊的四階幻方（下圖）。請你算一下它的每行、每列、每條對角線上，還有四個角上，以及任意由四個方格或九個方格組成的正方形四個角上四個數(shù)的和。這些和竟然都相等, 真是妙不可言！這也許正是它被稱為“魔鬼幻方” 的原因吧。15 10 3 6 4 5 16 914 11 2 7 1 8 13 12例3用1、2、3、25這25個數(shù)作一個五階幻方。解：編制五階和五階以上的奇數(shù)階幻方, 有一個通用的方法。以五階幻方為例： (1)把第一個數(shù)1填在最上行的中央(1 填上

5、行正中央)(a)； (2)接著把2填在1的右上方(依次斜向右上方)(b)； (3)2從上面出框了, 把2填在同一列的最下格(上面出框往下寫)(b)；(4)接著把3、4 斜著向右上方填。4從右邊出框了, 把4填在同一行的最左格(右面出框左邊放)(c)；(5)接著把5、6斜著向右上方填, 6的右上方已經(jīng)有1了, 把6填在5的下面(前面有數(shù)轉(zhuǎn)下格)(d)； (6)接著把7、8、9、15按照上面的方法填到適當?shù)母褡永铩?5已經(jīng)到了右上角, 把16填在15的下面(右上角處轉(zhuǎn)下行)(e)； (7)就按照這樣的方法繼續(xù)填下去, 直到填完。 2 1 1 1 1 1 815 5 5 71416 4 4 4 6

6、4 613 3 3 1012 3 2 2 2 11 2 9 ( a ) ( b ) ( c ) ( d ) ( e ) 請你按照上面的口訣(粗體字), 繼續(xù)完成這個五階幻方。然后再驗證一下, 看看它的每行、每列、每條對角線上五個數(shù)的和，是不是都相等, 等于多少?制作幻方不一定要從 1 開始, 一般說來，只要所填的一串數(shù)，能夠組成等差數(shù)列就可以。在某些特殊情況下，即使不是等差數(shù)列，也能制作出幻方。五階以上的奇數(shù)階幻方，制作起來雖然比較耗費時間，但是有上面的方法可以遵循，據(jù)說，有一位小朋友就曾經(jīng)作出了101階幻方。而六階和六階以上的偶數(shù)階幻方的制作，要復雜得多，我們在這里就不再研究了，有興趣的同學

7、可以參考有關(guān)書籍。練 習 一1在左下方，用1、3、5、7、9、11、13、15、17這9個數(shù)，作一個三階幻方。2在右上方，用4、5、6、8、9、10、12、13、14這9個數(shù)，作一個三階幻方。3在左下方，用2、4、6、32這16個數(shù)，作一個四階幻方4在右上方，用1、4、7、10、46這16個數(shù)，作一個四階幻方。5. 在左下方，用226這25個數(shù)，作一個五階幻方。6在右上方，用529這25個數(shù)，作一個五階幻方。7在左下方，用149這49個數(shù)作一個七階幻方。8在右上方，用181這81個數(shù)，作一個九階幻方。第二講 數(shù)陣從前，有個外國人叫亞當斯, 從小就喜歡填幻方。有一天他突發(fā)奇想, 有沒有六角幻方呢

8、? 經(jīng)過 47 年的努力好不容易排好了, 可是不小心又弄丟了。亞當斯并不灰心,又用了 5 年時間重新把它排了出來,這時他已經(jīng)是兩鬢斑白的老人了。后來，通過電腦計算發(fā)現(xiàn), 原來只有這么一種填法,因此,“亞當斯六角幻方”被視為數(shù)學寶庫中的稀世奇珍。下面就是“亞當斯六角幻方”。請你算一算，它的任意一條直線上幾個數(shù)的和是不是都相等。 15 13 10 14 8 4 12 9 6 5 2 16 11 1 7 19 18 17 3 通常，人們把這類與一般幻方不同的圖形叫做“數(shù)陣”?，F(xiàn)在就讓我們來研究一下簡單數(shù)陣的填法。 例 1 下圖中有六個正方形, 把 19 九個數(shù)填入下圖的九個小圓圈里, 使每個正方形頂

9、點上四個數(shù)的和相等。 7 2 9 6 5 4 1 8 3 這使我們聯(lián)想到三階幻方, 試著讓 5 不動,把角上的數(shù)與邊上的數(shù)對調(diào), 調(diào)整后得到右上圖, 正好符合要求?？磥?，大膽地聯(lián)想、猜測和試驗, 往往是解決問題的好辦法。例 2 把 112 十二個數(shù)分別填入右圖中的12個小圓圈里, 使每條直線上四個數(shù)的和等于26,每個六角形上6個數(shù)的等于39。 要讓四個數(shù)的和等于26, 不妨先讓兩個數(shù)的和等于13。由此想到, 把這十二個數(shù)分成1、12,2、11, 3、10, 4、9, 5、8, 6、7六組。顯然六個比較小的數(shù)不能填在同一圈，設想把1、3、5填在外圈，2、4、6填在內(nèi)圈，于是：外圈： 1 3 5

10、11 9 7 和是36內(nèi)圈：12 10 8 2 4 6 和是42外圈少3，內(nèi)圈多3。只要把某一組的兩個數(shù)交換一下就行了，會填了吧？例3將1、2、3、4、5、6、7七個自然數(shù)分別填入左下圖中的七個小圓圈里，使三個大圓周上的四個數(shù)之和都等于定數(shù)S，并指出這個定數(shù)S的取值范圍，最小是多少，最大是多少？再取S的最小值填數(shù)。 解：觀察發(fā)現(xiàn)，B被三個圓所公用，A、C、D被兩個圓所公用，所以3S3B2A2C2DEFG，而ABCDEFG123456728，所以3S282BACD。因此，當B1，A2，C3，D4時，S最小，等于13；當B7，A6，C5，D4時，S最大，等于19。即S取1319中間的整數(shù)。當S13

11、時，填法如右上圖。例4偉大的物理學家愛因斯坦曾經(jīng)提出了下面這道有趣的題目：把1到9這九個數(shù)字分別在下圖中的九個交點旁，使每個三角形三個頂點旁數(shù)字之和都相等。解：觀察發(fā)現(xiàn)，邊上3個小三角形的頂點正好是9個，而這9個數(shù)字的和是45，所以每個小三角形三個頂點旁數(shù)字之和都等于45÷315。這使我們很自然地想到三階幻方。因為中等三角形旁的數(shù)字都要使用3次，所以中等三角形頂點旁的數(shù)字只能是幻方中兩條對角線上的數(shù)字，通過試算，得到下面兩種填法。7 2 9 4 6 2 3 4 5 9 1 8 5 3 8 1 6 7練 習 二下面的填數(shù)陣題目，答案往往不惟一，只要填出一種就可以了，如果時間允許，又有興

12、趣的話，多填出幾種當然更好。1把18這八個數(shù)分別填入下圖中的小圓圈里，使每個圓上與每條直線上四個數(shù)之和都相等。 2. 左下圖中有三個三角形和三條直線, 把 19 九個數(shù)填入圖中的九個小圓圈里, 使每個三角形、每條直線上三個數(shù)的和都相等。 3. 右上圖中有四個三角形, 把 19 九個數(shù)填入圖中的九個小圓圈里, 使每個三角形上三個數(shù)的和相等。 4. 把 113 這十三個數(shù)填入左下圖中的里, 使每條直線上三個數(shù)的和等于 21。5. 把 17 七個數(shù)填入右上圖中的小圓圈里, 使每條直線、每個圓上三個數(shù)的和都等于 12。6把17七個數(shù)字分別填入左下圖的7個空檔里，使每個圓圈里四個數(shù)的和都等于13。 x

13、20 17 24 18 27 22 28 30 267右上圖五圓相連，每個位置的數(shù)字都是按一定規(guī)律填寫的，請找出規(guī)律，并求出x所代表的數(shù)。8. 把 19 九個數(shù)分別填入下圖中的九個小圓圈里, 使每條直線上五個數(shù)的和，等于每個圓上四個數(shù)與中心數(shù)共五個數(shù)的和。20 20 19 199把19九個數(shù)分別填入右上圖中的九個空格里，使圍著某個已知數(shù)的四個方格里的數(shù)的和恰好等于那個已知數(shù)。10將110這十個數(shù)填入下圖的十個圓圈里，使每個正方形的四個頂點上各數(shù)之和都等于23。第三講 橫式謎例 1在下面10個8之間，添上適當?shù)倪\算符號、×、÷、或()，使得數(shù)是2000。(如果在某些8之間沒有

14、添運算符號和括號，這些8就視為一個數(shù)。)88888888882000解：可以這樣想：先設法用前面的一些8，得到一個接近2000的數(shù)，再用后面的8去修正。試算發(fā)現(xiàn)，88×(888)2112，2112882024，還剩下3個8，正好可以得到24，于是得到兩個符合要求的算式：88×(888)888882000。88×(888)88(888)2000。例 2在下面五個5之間，添上適當?shù)倪\算符號或括號，使等式成立。 5555510解：可以采用倒推的方法。(1)如果最后一個5前面添加號，算式就變成55555；如果新算式最后一個5前面是加號，算式又變成5550。這是很容易做到的

15、，只要用兩個5相減得0，再與加一個5相乘，或除以另一個5就可以了。于是得到三個符合要求的算式： (55)×55510， 5×(55)5510， (55)÷55510；(2)如果原式最后一個5前面添減號，算式就變成555515，可以讓前面兩個5相乘，再減去后面兩個5。于是得到一個符合要求的算式： 5×555510；(3)如果原式最后一個5前面添乘號，算式就變成55552，可以讓兩個兩個5相除，得到兩個1，再相加。于是得到一個符合要求的算式： (5÷55÷5)×510；(4)如果原式最后一個5前面添除號，算式就變成555550，

16、可以讓兩個兩個5相乘除，得到兩個25，再相加。于是得到一個符合要求的算式： (5×55×5)×510；(5)還可以用例1的方法，得到一個符合要求的算式： 55÷55÷510。例3試在里填上“”、“”、“×”運算符號，使下面兩個等式成立。(第七屆)小學生學習報數(shù)學競賽題)(1)(1234)(567)(8910)1998；(2)(1098)(765)(4321)1998。解：(1)因為19982×37×27，所以(1234)×(5×67)×(8910)1998；(2)因為19989

17、5;37×6，所以(1098)×(7×65)×(4321)1998。例4在沒有寫完的等式123456789100的左邊數(shù)字之間插入一些符號，使等式成立，要求按下面三個規(guī)定，寫出三個等式來。(北京市第十屆“迎春杯”小學數(shù)學競賽決賽題)(1)插入七個加號一個乘號；(2)插入兩個加號兩個減號；(3)插入兩個加號兩個減號。解：(1)因為12345678945，比要求多了一個加號，少了55，所以只能把一個加號換成乘號，經(jīng)試算發(fā)現(xiàn)，只要把8、9之間的加號換成乘號就行了，于是得到12345678×9100；(2)因為要求插入的運算符號較少，所以必須要把一些數(shù)

18、字連成兩、三位數(shù)，試算得到123456789100；(3)同理，試算得到123456789100。練 習 三1. 在下面10個8之間，添上適當?shù)倪\算符號或括號，使得數(shù)是1000。888888888810002在下面10個9之間，添上適當?shù)倪\算符號或括號，使得數(shù)是1000。999999999910003在下面9個9之間，添上適當?shù)倪\算符號，使得數(shù)是2006。99999999920064在下面12個7之間，添上適當?shù)倪\算符號，使得數(shù)是1000。77777777777710005在下面算式適當?shù)牡胤?，只添上運算符號和，使等式成立：987654321206在6666666中添上適當?shù)倪\算符號及括號后，

19、可以組成一個得數(shù)是1998的算式，請寫出一個這樣的算式。(安徽省小學數(shù)學競賽題)7在下面數(shù)字之間的適當位置，只添“”號，使等式成立。123456789998在下面各數(shù)之間添上適當?shù)倪\算符號，使等式成立。(“現(xiàn)代小學數(shù)學”邀請賽試題)10693489在19之間填入“”、“”、“×”及“( )”。使下面等式成立。(第四屆“新苗杯”小學生數(shù)學聯(lián)賽試題)9876543212001。10在四個4之間填上適當?shù)募?、減、乘、除、括號等符號，使下面各式成立。(天津第二屆“我愛數(shù)學”競賽預賽題)4444144442444434444444445111927年8月1日，周恩來、朱德等老一輩無產(chǎn)階級革命家

20、，在南昌發(fā)動和領(lǐng)導了舉世聞名的“八一”南昌起義，請用“”、“”、“×”、“÷”和括號，將五個9組成的一個等式，使運算結(jié)果分別為1、9、2、7、81。(江西省小學生“八一杯”數(shù)學競賽題)999991；999999；999992；999997；9999981。12在下面各數(shù)之間填上運算符號或括號后，使等式成立。(天津市小學數(shù)學競賽題)(1)123450；(2)123451；(3)123452；(4)123453；(5)123454；(6)123455。第四講和差問題例1期末考試后，小明問老師他考得怎么樣，老師告訴他：“你的語文和數(shù)學一共得了184分，數(shù)學比語文多6分?！毙∶飨肓?/p>

21、想說：“我知道了?！毙∶鞯恼Z文和數(shù)學究竟得了多少分？解：想辦法讓兩科分數(shù)相同就好辦了。解法一：如果語文再多得6分就和數(shù)學的分數(shù)相同了，這樣一來，兩科總分就變成1846190(分)，所以，數(shù)學得了190÷295(分)；語文得了95689(分)。解法二：如果數(shù)學少得6分就和語文的分數(shù)相同了，這樣一來，兩科總分就變成1846178(分)，所以，語文得了178÷289(分)；數(shù)學得了89695(分)。答：語文89分。數(shù)學95分。這類問題的特征是，已知兩個數(shù)的和與差，求這兩個數(shù)，叫做“和差問題”。從上面的解法可以總結(jié)出兩個公共公式：(和差)÷2大數(shù)(和差)÷2小數(shù)

22、。有了公式，解題時就方便多了。例2張老師買了一件外衣、一頂帽子和一雙鞋，一共花了270元。外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花了210元。外衣、帽子和鞋各多少元？解：因為270元是三種物品的總價，而“外衣比鞋貴140元”，是兩種物品的差價，所以這個條件暫時不能用。另一個條件，“買外衣和鞋比帽子多花了210元”，提醒我們，如果把“外衣和鞋”看作一個數(shù)，就能先把它算出來。所以，外衣和鞋一共是(270210)÷2240(元)。再根據(jù)前一個條件，就能算出鞋是(240140)÷250(元)，外衣是50140190(元)，帽子是2705019030(元)。答：外衣190元，帽子30

23、元，鞋50元。例3甲、乙兩個車間共有393名工人，把甲車間的16名工人調(diào)到乙車間后，這時，甲車間比乙車間還多5名工人。甲、乙兩車間原來各有多少名工人？解：把甲車間的16名工人調(diào)到乙車間后，甲車間比乙車間還多5名工人，說明甲車間原來比乙車間多16×2537(人)，所以原來甲車間有(39337)÷2215(人)，乙車間有(39337)÷2178(人)。答：原來甲車間有215人，乙車間有178人。例4某工廠將875元獎金分給有創(chuàng)造發(fā)明的三名優(yōu)秀工人，第一名比第二名多得250元，第二名比第三名多得125元，三名優(yōu)秀工人各得多少元？解法一：如果以第三名為標準，第一名就比第三

24、名多250125375(元)，這樣從875元里減去375元，再減去125元，所得的數(shù)就是第三名的3倍。于是，第三名得(875375125)÷3125(元)，第二名得125125250(元)，第一名得250250500(元)。解法二：如果以第一名為標準，875元加上250，再加上375元，得數(shù)就是第一名的3倍。所以第一名得(875250325)÷3500(元)，第二名得500250250(元)，第三名得250125125(元)。答：第一名500元，第二名250元，第三名得125元。想想看，還能怎樣解？練 習 四1某校共有學生537人，女生比男生少29人。男、女生各有多少人？2

25、李強同學期末考試，語文、數(shù)學兩門功課平均95分，數(shù)學比語文多8分，他這兩門功課各是多少分？3一個長方形，周長120厘米，長比寬多10厘米，這個長方形的面積是多少平方厘米？4甲、乙兩筐蘋果共74千克，從甲筐取出8千克放入乙筐后，兩筐蘋果的重量恰好相等。原來兩筐蘋果各有多少千克？5小剛買了4張挨著的雙號電影票，座位號加起來是84，這4張電影票的座號分別是多少號？6甲、乙兩個籠子里共有鴿子15只，甲籠放入4只，乙里取出2只以后，乙籠里的鴿子比甲籠多1只。原來兩個籠子里各有多少只鴿子？7我國自行設計施工的世界上最大的現(xiàn)代化橋梁南京長江大橋分上、下兩層，上層是公路橋，下層是鐵路橋。鐵路橋和公路橋共長11

26、270米，鐵路橋比公路橋長2270米。問南京長江大橋的公路橋長多少米？8南京長江大橋比美國紐約大橋長4570米，紐約大橋比我國武漢長江大橋長530米。已知三座大橋共長10640米，這三座大橋的長度分別是多少米？9兩個工程隊共有工人230人，后來由于工作需要，從第一隊調(diào)走30人，從第二隊調(diào)走10人，這時第一隊比第二隊還多10人。原來兩隊各有工人多少人？10學校買來4個足球和2個排球，一共用去840元，每個足球比每個排球貴30元。每個排球和足球各多少元？11四個人年齡之和是77歲，最小的10歲，他與最大的年齡之和比另外兩人年齡之和大7歲，最大的年齡是多少歲？12被減數(shù)、減數(shù)與差的和是168，減數(shù)比

27、差大16，減數(shù)是多少？(北京市第九屆“迎春杯”小學數(shù)學競賽預賽題)第五講和倍問題例1動物園珍禽館有黃鸝、鸚鵡、孔雀共20只，黃鸝的只數(shù)是鸚鵡的2倍，鸚鵡的只數(shù)是孔雀的3倍，黃鸝、鸚鵡、孔雀各有多少只？解：如果把孔雀的只數(shù)看作1倍，鸚鵡的只數(shù)就是3倍，黃鸝的只數(shù)就的3×26倍，黃鸝、鸚鵡、孔雀這三種珍禽的總只數(shù)，就一共是孔雀的13610倍，所以，孔雀有20÷102(只)，鸚鵡有2×36只，黃鸝有2×612(只)。答：孔雀有2只，鸚鵡有6只，黃鸝有12只。像這類問題叫做“和倍問題”。解決和倍問題，關(guān)鍵是先要確定把哪個量作為1倍量，再根據(jù)其他量與這個1倍量的關(guān)

28、系，求出這些量的總和相當于1倍量的多少倍，在求出1倍量之后，其他量就都可以求出來了。例2甲、五年級共有學生165人，四年級的學生人數(shù)比五年級的2倍少6人，四、五年級各有學生多少人？解：從四年級的學生人數(shù)比五年級的2倍少6人可知，如果四年級的人數(shù)再多6人，就正好是五年級學生人數(shù)的2倍，兩個年級應該共有學生1656171(人)，所以，五年級有171÷(21)57(人)，四年級有57×26108(人)。答：四年級有108人，五年級有57人。例3甲倉庫存糧104噸，乙倉庫存糧140噸，要使甲倉庫的存糧是乙倉庫的3倍，那么，必須從乙倉庫運出多少噸放入甲倉庫？(長春市南關(guān)區(qū)小學數(shù)學競賽

29、試題)解：無論從乙倉庫運出多少噸放入甲倉庫，兩個倉庫所存糧食的總數(shù)不變，始終是104140244(噸)。當甲倉庫的存糧是乙倉庫的4倍時，兩個倉庫所存糧食的總數(shù)，應該是乙倉庫存糧噸數(shù)的314倍，所以，這時乙倉庫存糧244÷461(噸)，與原來的存糧噸數(shù)比較，需要從乙倉庫運出1406179(噸)放入甲倉庫。答：需要從乙倉庫運出79放入甲倉庫。例4學校把320本圖書按照班級和人數(shù)的多少，分給四、五、六三個年級。如果五年級比四年級多40本，六年級是四年級的2倍。那么三個年級各分得多少本？解：把四年級分得的圖書本數(shù)看作1倍，六年級就是2倍，而五年級需要減少40本才能和四年級同樣多，相應的圖書總

30、數(shù)，變成32040280(本)，所以，四年級分得280÷(112)70(本)，五年級分得7040110(本)，六年級分得70×2140(本)。答：四年級分得70本，五年級分得110本，六年級分得140本。練 習 五1哥哥和弟弟共有圖書120本，哥哥的圖書本數(shù)是弟弟的3倍，哥哥和弟弟各有圖書多少本？2兩層書架共有書173本。從第一層拿走38本以后，第二層的書比第一層的2倍還多6本。第二層有多少本？3兩堆棋子，第一堆有87個，第二堆有69個，從第一堆取出多少個棋子放入第二堆，就能使第二堆的棋子數(shù)是第一堆的3倍？4甲、乙兩個倉庫共存糧食320噸，后來，從甲倉運出了40噸，又給乙倉

31、運進20噸，這時，甲倉的糧食是乙倉的2倍。兩個倉庫原來各存糧食多少噸？5甲、乙兩數(shù)的和是11110，甲數(shù)百位和十位上的數(shù)字都是8，乙百位和十位上的數(shù)字都是2。如果用0代替這兩個數(shù)里的8和2，那么，所得的甲數(shù)是乙數(shù)的9倍。原來兩個數(shù)各是多少？6被除數(shù)、除數(shù)、商三個數(shù)的和是212，已知商是2，被除數(shù)和除數(shù)各是多少？(中南地區(qū)小學數(shù)學通訊賽試題)7商店運來橘子、蘋果、香蕉共53千克，橘子的重量比蘋果的3倍少3千克，香蕉的重量比蘋果的2倍多2千克，橘子重多少千克？(南通市港閘區(qū)小學數(shù)學競賽試題)8一個長方形，周長是30厘米，長是寬的2倍，這個長方形的面積是多少平方厘米？9弟弟有課外書20本，哥哥有課外

32、書25本，哥哥給弟弟多少本后，弟弟的課外書是哥哥的2倍？(合肥市小學數(shù)學奧林匹克試題)10把一個減法算式里的被減數(shù)、減數(shù)與差相加，得數(shù)是990，已知減數(shù)是差的2倍，減數(shù)是多少？(長春市小學數(shù)學競賽試題)11有三堆煤，甲堆比乙的3倍多30千克，丙堆比乙堆少15千克，三堆煤共重240千克，那么，甲堆煤重多少千克？(四川省小學數(shù)學奧林匹克試題)12一根電線長240米，把它截成三段，使第一段比第二段長20米，第三段是第一段的2倍，這三段電線各長多少米？(第二屆“新苗杯”小學數(shù)學聯(lián)賽試題)第六講 差倍問題例1哥哥的圖書本數(shù)是弟弟的3倍，已知哥哥比弟弟多60本，哥哥、弟弟各有多少本？解：從“哥哥的圖書本數(shù)

33、是弟弟的3倍”，這個已知條件可以看出，這里是把弟弟的圖書本數(shù)看作1倍數(shù)，因此，哥哥比弟弟所多的60本，就相當于弟弟圖書本數(shù)的312倍，所以，弟弟有圖書60÷230(本)，哥哥有圖書30×390(本)。答：哥哥有圖書90相，弟弟有圖書30本。像這類問題叫做“差倍問題”。解決差倍問題的關(guān)鍵是，先要根據(jù)已知條件判斷，是把哪個量看作1倍，題中所給出的差或者能夠求出的差，相當于這個1倍量的幾倍，在求出1倍量之后，其他問題就好解決了。例2育新小學原來參加室外活動的人數(shù)比室內(nèi)活動的人數(shù)多480人，現(xiàn)在把室內(nèi)活動的50人改為室外活動，這樣一來，室外活動的人數(shù)正好是室內(nèi)活動人數(shù)的5倍。參加室

34、內(nèi)、外活動的一共有多少人？解：當把室內(nèi)活動的50人改為室外活動以后，室外活動的人數(shù)，就比室內(nèi)活動的人數(shù)多48050×2580(人)。這個人數(shù)相當于室內(nèi)活動人數(shù)的514倍，所以參加室內(nèi)活動的有580÷4145(人)，參加室內(nèi)、外活動的人數(shù)是這個人數(shù)的516倍，一共有145×6870(人)。答：參加室內(nèi)、外活動的一共有870人。例3兩筐千克數(shù)相同的蘋果，甲筐賣出7千克，乙筐賣出19千克以后，甲筐余下的千克數(shù)是乙筐的3倍，原來甲、乙兩筐各有多少千克？(上海市小學數(shù)學競賽試題)解：甲筐賣出7千克，乙筐賣出19千克以后，兩筐蘋果的千克數(shù)相差19712(千克)，這個差，相當于

35、乙筐現(xiàn)有蘋果千克數(shù)的312倍，所以這時乙筐有蘋果12÷26(千克)，原來甲、乙兩筐各有蘋果61925(千克)。答：兩筐蘋果各有25千克。例4新蕾小學舉行了兩次數(shù)學競賽，每次參加的人數(shù)相同。第一次及格人數(shù)比不及格人數(shù)的3倍多4人。第二次及格人數(shù)增加了5人，及格人數(shù)恰好是不及格人數(shù)的6倍。每次參加數(shù)學競賽的有多少人？解：第二次及格人數(shù)增加了5人，意味著不及格人數(shù)減少5人。如果及格人數(shù)還保持是不及格人數(shù)的3倍，及格人數(shù)就應該減少5×315(人)。而實際情況是，及格人數(shù)不僅沒有減少，反面增加了5人，正是這本該減少的15人和新增加的5人，以及原來比不及格人數(shù)的3倍多的4人，合在一起，

36、恰好等于不及格人數(shù)的又一個3倍，所以，不及格人數(shù)是(1554)÷38(人)，由此可以求出參加競賽的人數(shù)是88×656(人)。答：每次參加數(shù)學競賽的有56人。練 習 六1一臺大屏幕液晶電視機的價錢，是普通電視機價錢的4倍，比普通電視機貴7500元，大屏幕液晶電視機和普通電視機的單價分別是多少元？2張強和李勇一起去買計算器。張強帶了100元，李勇帶了130元。他們各自買了一個同樣的計算器以后，李勇剩下的錢是張強的3倍。計算器的單價是多少元？3小偉因事騎自行車追趕步行的小慶，他們之間的距離是1200米，經(jīng)過8分鐘追上了小慶。已知小偉騎車的速度是小慶步行速度的3倍，求兩人的速度。4

37、甲、乙兩數(shù)的和是32，甲數(shù)的3倍與乙數(shù)的5倍的和是122。甲、乙兩數(shù)各是多少？5有兩筐蘋果的重量相等。從第二筐取出18千克，放入第一筐以后，第一筐蘋果的重量恰好是第二筐的2倍。原來兩筐蘋果各有多少千克？6甲、乙兩袋鹽的重量相等，從甲袋取出24千克，又放入乙袋28千克以后，這時，乙袋鹽的重量是甲袋的3倍。甲、乙兩袋鹽各有多少千克？7有大、小兩個水池，大水池里有水300噸，小水池里有水70噸。在往兩個水池里注入同樣多的水以后，大水池里水量是小水池的3倍。向每個水池注入了多少噸水？8一個兩位數(shù)，在它的兩個數(shù)字中間，添一個0，所得的三位數(shù)，比原來的兩個數(shù)多720。求這樣的兩位數(shù)。9哥和弟弟每人各有一些

38、鉛筆，如果哥哥給弟弟1枝，兩人的鉛筆就一樣多；如果弟弟給哥哥1枝，哥哥的鉛筆就是弟弟的5倍。請問：哥哥和弟弟各有多少枝鉛筆？10甲、乙兩數(shù)的積是144，正好是甲、乙兩數(shù)差的8倍。又知道甲數(shù)是乙數(shù)的4倍，甲、乙兩數(shù)各是多少？11參加學校數(shù)學興趣小組的人數(shù)，今年比去年多52人，今年的人數(shù)比去年的4倍多1人。今年有多少人參加？12張強的舅舅比張強大19歲，舅舅的年齡正好是張強年齡的3倍多1歲，張強的舅舅和張強各多少歲？(杭州市上城區(qū)小學數(shù)學競賽試題)第七講 綜合練習(一)1用11、12、13、25這25個數(shù)，制做一個五階幻方。2把1、2、3、4、5、6、7這七個數(shù)，填入下圖的七個小圓圈里，使得每條直

39、線上三個數(shù)的和都相等。3在下式中添上適當?shù)倪\算符號或括號，使得數(shù)等于2005。888888888820054小明正在讀一本100頁的故事書，如果他再讀4頁，那么，讀過的就比沒讀過的多10頁。他已經(jīng)讀了頁。5甲、乙、丙三人的鉛筆一樣多，后來甲給了乙、丙幾支鉛筆后，乙比甲多7支鉛筆，丙比乙少2支鉛筆。甲給了乙支，給丙支。6一個長方形，長比寬多6厘米，已知長比寬的2倍少3厘米，這個長方形的面積是平方厘米。7甲、乙共有圖書63冊，乙、丙共有圖書77冊，三人中圖書最多的人的圖書是圖書最少的人的圖書的2倍。丙有圖書冊。8哥哥和妹妹共有糖35塊，妹妹的糖吃了2塊以后，哥哥又給了她5塊，這時，妹妹的糖是哥哥的

40、2倍，妹妹原來有塊糖。9水果店運來兩筐香蕉，第一筐賣出38千克，第二筐賣出14千克后，剩下的香蕉，第二筐的重量恰好是第一筐的3倍。如果原來兩筐香蕉的重量相等，那么原來每筐香蕉的重量是千克。10媽媽買回來一些梨和蘋果，蘋果的個數(shù)是梨的3倍，如果每天吃2個梨5個蘋果，那么，梨吃完時還剩20個蘋果。媽媽買來個梨。11六年級三個班種了一片樹，其中56棵不是一班種的，65棵不是二班種的，61棵不是三班種的。一班種了棵樹，二班種了棵樹，三班種了棵樹。12一盒巧克力和一瓶蜂蜜共18元，一包泡泡糖和一袋香腸共11元。一包泡泡糖和一瓶蜂蜜共14元，一袋香腸比一盒巧克力貴1元。如果有人付了19元買了這四樣東西中的

41、兩樣，那么他買的是。第八講盈虧問題例1學校把一批乒乓球分給各個班。每班5盒，還剩18盒；每班分7盒，還差6盒。有多少班？有多少盒乒乓球？解：每班分7盒比每班分5盒，多分752(盒)，不但會把多余的18盒用掉，還要再添上3盒，說明由于每班多分2盒，總共就要多分18624(盒)，因此，有24÷212(個)班。求乒乓球的盒數(shù)，既可以按第一種分法計算，也可以按第二種分法計算。第一種分法計算，乒乓球有5×121878(盒)；按第二種分法計算，乒乓球有7×12678(盒)。答：學校有12個班，有78盒乒乓球。像這類問題叫做“盈虧問題”。解決盈虧問題的關(guān)鍵，是要根據(jù)“盈”、“虧

42、的原因，找到兩個對應的量。盈虧問題有“一盈一虧”、“雙盈”、“雙虧”等種不同的情況，但是，解決問題的基本思路是相同的。例2某寄宿學校的宿舍，如果每間住6人，就會有34人安排不下；如果每間住7人，就會多出來4間宿舍。這所寄宿學校的學生有多少人？宿舍有多少間？解：“如果每間住7人，就會多出來4間宿舍”，也就是可以多住7×428(人)。所以，共有(3428)÷(76)62(間)宿舍。寄宿的學生有6×6234406(人)。答：寄宿的學生有406人，有62間宿舍。例3小聰用一根繩子來測量一口井的深度，他把繩子的一端放入井底，井口外繩子長9米，小聰把這根繩子對折后，將一端放入

43、井底，這時在井口外的繩子還有3米，求這口井的深度。解：對折后井口外繩子長3×26(米)，比第一次測量少963(米)，說明井深就是3米。答：這口井深3米。例4少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。那么共有多少名少先隊員。共挖了多少個樹坑？解：“如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑”，相當于如果每人挖6個樹坑，可以多挖(64)×24(個)樹坑。所以少先隊員有(43)÷(65)7(人)，需要挖樹坑5×7338(個)。答：一共挖了38個樹坑。練 習 八1幼兒園把一批蘋果

44、分給小朋友。如果每人分4個，還余9個；如果每人分5個，還差6個。有多少個蘋果？多少個小朋友？2參加美術(shù)小組的同學，每人可以分得同樣多的彩筆。如果小組有10人，彩筆就會多25枝；如果小組有12人，彩筆就會多5枝。求每人分得多少枝彩筆？一共有多少枝彩筆？3幾個同學們一起去春游，合伙買一箱飲料。如果每人湊4元，就多6元；如果每人湊3元，就正好。一箱飲料多少元？4同學位去劃船，如果每只船坐4人，就少3只船；如果每只船坐6人，還有2人留在岸邊。去劃船的同學有多少人？5學校買來一批復讀機，分給五六年級用來學習英語。如果給一個少數(shù)民族班和一個打工子弟班各分4臺，其余的班各分2臺，就多4臺；如果只給打工子弟班

45、分6臺，其余的班各分4臺，就還少12臺。學校買來的這批復讀機共有多少臺？五六年級共有多少個班？6學校分配宿舍，如果每個房間住3人，多出20人沒有房間??；如果每個房間住5人，恰好安排完，問房間和學生各有多少？7買來一批蘋果，分給幼兒園大班的小朋友，如果每人分5個蘋果，還剩余32個蘋果；如果每人分8個蘋果，還有5個小朋友分不到蘋果。這批蘋果的個數(shù)是多少？(1998年全國小學數(shù)學奧林匹克預賽試題)8有一個班的同學去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，正好每條船坐6人；如果減少一條船，正好每條船坐9人。問這個班有多少名同學？(第二屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學邀請賽初賽題)9食堂管理員帶著一筆錢去買肉，如果

46、買牛肉10千克，還差6元；如果買豬肉12千克，還剩4元。已知每千克牛肉比每千克豬肉貴3元，食堂管理員帶著了多少錢？10水果公司從廣東運來一批水果，運費花了1000元，水果損失了100千克。如果按每千克1元的價格賣出，就要虧損300元；如果按每千克2元的價格賣出，就可以盈利500元。問原來進貨的水果是多少千克？進貨的金額是多少元？11東風小學儀仗隊的同學們排隊。排成一個正方形，還余12人；如果縱橫每排都增加1人，還少9人。東風小學儀仗隊有多少名同學？12小明從家到學校上學，開始時以每分鐘50米的速度走了2分鐘，這時他想：根據(jù)以往的經(jīng)驗，再以這個速度走下去，肯定要遲到8分鐘，于是他立即加快速度，每

47、分鐘多走10米，結(jié)果小明早到了5分鐘。小明家到學校的路程有多遠？第九講置換問題例1我國古代數(shù)學著作孫子算經(jīng)中有這樣一道題：“今有雉、兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問：雉、兔各幾何?”譯成現(xiàn)代的話就是：籠子里有雞和兔子共35只，一共有94只腳。雞和兔子各有多少只？所以，這類問題就叫做“雞兔同籠問題”。解：解答雞兔同籠問題，通常采用假設的方法，先按頭數(shù)假設全都是雞或兔子，就會產(chǎn)生腳數(shù)的差異，然后再針對腳數(shù)的差異，用兔子或雞去置換，所以，有兩種具體的方法。因此，雞兔同籠問題又叫做“置換問題”。方法一：假設35只全都是雞, 應該有 2×3570 (只)腳, 比實際少 947024(只)

48、。如果用一只兔子換一只雞, 可以增加 422 (只)腳，增加 24 只腳，需要換 24÷212 (只)兔子，也就是說應該有 12 只兔子, 其余的 351223 (只)是雞。方法二：假設35只全都是兔子, 應該有 4×35140 (只)腳, 比實際多 1409446 (只)。如果用一只雞換一只兔子, 可以減少 422 (只)腳，減少 46 只腳，需要換 46÷223 (只)雞，也就是說應該有 23 只雞, 其余的 352312 (只)是兔子。答：雞有22只，兔子有14只。例2學校買來大小課桌椅共140套，一共用了36000元。大課桌椅每套300元，小課桌椅每套20

49、0元，大小課桌椅各有多少套？解：假設200套全部是大課桌椅，需要300×14042000(元)，比實際多42000360006000(元)，1套小課桌椅換1套大課桌椅，可以少用300200100(元)，所以，實際買小課桌椅6000÷10060(套)，買大課桌椅1406080(套)。答：買大課桌椅80套，小課桌椅60套。你能用另一種方法解答嗎？例3A、B兩人進行投擲比賽，約定投中目標一次記20分，未投中目標一次扣12分。兩人各投了10次，共得208分，已知A比B多64分，A、B兩人各投中多少次？解：因為兩人共得了208分，A比B多得64分，所以A得了(20864)÷2136(分)，B得了20813672(分)。假設A所投的10全都投中，應得20×10200(分)，比實際少得20013664(分)，每投不中一次少得201232(分)，所以有64÷322(次)未中，只投中了1028(次)。同理，B有(20072)÷324(次)未投中，只投中了1046(次)。答：A投中8次，B投中6次。例4蜘蛛有8條腿，沒有翅膀。蟬有6條腿，1對翅膀。蜻蜓有6條腿，2對翅膀?，F(xiàn)在有這三種昆蟲36只，共有236條腿、