年高考第一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)新編等比數(shù)列

1、3.3 等比數(shù)列知識梳理1.定義.常數(shù)叫公比.數(shù)列an從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)的數(shù)列稱作等比數(shù)列2.通項(xiàng)公式: 推廣形式：an=aqn 1, an=amqn m.變式：q= nanm (n、m C N ).- am3.前n項(xiàng)和na1(q 1),Sn= a1(1 qn)1 qaanq1 q(q0或 q1).注：qw 1時(shí),Sn1 qnSm4.等比中項(xiàng)：若a、b、c成等比數(shù)列，則b為a、c的等比中項(xiàng)，且 b= ± a ac .5.三個(gè)數(shù)或四個(gè)數(shù)成等比數(shù)列且又知積時(shí),則三個(gè)數(shù)可設(shè)為a、a、aq,四個(gè)數(shù)可設(shè)為 > > aq、 qq3qaq3為好.6.證明等比

2、數(shù)列的方法：（1）用定義：只需證（2）用中項(xiàng)性質(zhì)：只需an+12=an an+2或、5B.arcsin 21 . 5 D.arcsin解析：設(shè)RtA ABC中，C=工，則A與B互余且A為最小內(nèi)角.又由已知得sin2B=sinA,即cos2A=sinA,1 sin2A=sinA,解之得 sinA=2三5或sinA= 忑1 （舍）.答案：B2.設(shè)an是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q=2, 且 a1 a2 a3a30=230,刃B么 a3 a6 a9a30等于A.210B.220C.216D.215an 1 an 2an an 1點(diǎn)擊雙基1.一個(gè)直角三角形三內(nèi)角的正弦值成等比數(shù)列，其最小內(nèi)角是而1 A

3、.arccos 21.5C.arccos解析： 由等比數(shù)歹U的定義，a1a2 a3=(也)3,故aa2a3a30=(-6-0-30) 3 又 q=2 ,qq故 a3 a6 a9 a30=220.答案：B3.某純凈水制造廠在凈化水過程中，每增加一次過濾可減少水中雜質(zhì)20%,要使水中雜質(zhì)減少到原來白5%以下，則至少需過濾的次數(shù)為A.5B.10C.14D.15解析：由題意列式(1 20%) n<5%,兩邊取對數(shù)得 n> lg2 113.4.故n-14.1 3lg 2答案：C4 . ( 2004年全國，文14 )已知等比數(shù)列 an中，a3=3 , a1o=384 ,則該數(shù)列的通項(xiàng) an=.

4、解析：由已知得 q7= al =128=27,故 q=2. - -an=a3 qn 3=3 - 2n 3.答案：3 - 2n 35 .如下圖，在楊輝三角中，從上往下數(shù)共有n (nC N*)行，在這些數(shù)中非 1的數(shù)字之和是11 11 2 113 3 11 4 6 4 1解析：觀察可知，第n (nCN*)行中有n個(gè)數(shù)，從左向右依次是二項(xiàng)式系數(shù) C01, Cn 1 , Cn1,Cn 1,故當(dāng)n>3時(shí)，除了 1外，第n行各數(shù)的和為an=Cn i+c2 1 +Cn 2=21 2.又前兩行全部為數(shù)4(1 2n 2)一子1,故前 n仃非1的數(shù)子之和為 a3+a4+an=-2 (n2) =2 -2n.1

5、 2答案：2n2n典例剖析例1 已知等比數(shù)列an中，a+a2+a3=7, a1a2a3=8,求an.剖析：利用等比數(shù)列的基本量a1，q,根據(jù)條件求出a1和q.解：設(shè)an的公比為q,由題意知a 1a1 4,解得 1,或 1 .an=2n 1 或 an=23 n.q 2q -.2評述：轉(zhuǎn)化成基本量解方程是解決數(shù)列問題的基本方法思考討論用a2和q來表示其他的量好解嗎？該題的 an若成等差數(shù)列呢？【例2】 已知數(shù)列 an為等差數(shù)列，公差 dw0, an的部分項(xiàng)組成下列數(shù)列：a% , ak2 ,a kn ,恰為等比數(shù)列,其中k1 = 1, k2= 5, k3 = 17,求 kI+k2+k3+ + kn.

6、剖析：運(yùn)用等差(比)數(shù)列的定義分別求得akn ,然后列方程求得 kn.解：設(shè)an的首項(xiàng)為ai,ak1、ak2、ak3成等比數(shù)列，(a + 4d)2=ai(ai+16d).,由a、 一信 ai = 2d, q = 3.aki a kn = ai + ( kn - 1) d,又 a kn = ai , 3n 1, - kn = 2 , 3n 1 1. -ki + k2+ - + kn=2 (1 + 3+3n1) n1 3n °=2X n=3nn1.2 3評述：運(yùn)用等差(比)數(shù)列的定義轉(zhuǎn)化為關(guān)于kn的方程是解題的關(guān)鍵，轉(zhuǎn)化時(shí)要注意：akn是等差數(shù)列中的第kn項(xiàng)，而是等比數(shù)列中的第n項(xiàng).-【

7、例3】設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an和bn滿足5 an,5bn, 5an1成等比數(shù)列,lgbn,lgan+i, lgbn+i成等差數(shù)列，且 ai =1, bi=2, a2=3,求通項(xiàng)an、bn.剖析：由等比中項(xiàng)、等差中項(xiàng)的性質(zhì)得an+i = Jbn bn1遞推出an.bn bn (n>2).解：5an , 54 , 5an1成等比數(shù)列，(5>)2=5 an - 5an 1 ,即 2bn=an + an+i.又Igbn, lgan+i, lgbn+i 成等差數(shù)列, 21g an+i=ig bn+lg bn+i,即 an+i2=bn , bn+i.由及 ai>0, bj>0 (i

8、、jC N*)可得an+i= Jbn bn i .，an= Jbn ibn (n>2).將代入可得 2bn= Jbn1一b7 + Jbnbn 1 (n > 2), 2 'bn = Jbn i + bn i (n>2). 數(shù)歹U YBn為等差數(shù)歹u .2 . .9- bi =2, a2=3, a2 =bi , b2, . b2= .2v'bn = V2 + (n 1) ( J9 -氏)1 =2，2(n+1) (n=1 也成立).b (n 1)2 bn=2:n2 (n 1)2 n 1 bn =22n（n 1）=_ n n>2）.2又當(dāng)n=1時(shí)，a1=1也成立

9、.n（n 1） an.2評述：由Sn求an時(shí)要注意驗(yàn)證a1與S1是否一致.特別提示1 .an為等比數(shù)列是an+12=an an+2的充分但不必要條件.2 .若證an不是等比數(shù)列，只需證ak2wak1ak+1 （k為常數(shù)，kCN,且k>2）.闖關(guān)訓(xùn)練夯實(shí)基礎(chǔ)1 .若等比數(shù)列an的公比q<0,前n項(xiàng)和為Sn,則S8a9與S9a8的大小關(guān)系是B.S8a9 < S9a8D.不確定A. S8a9 > S9a8C.S8a9=S9a8解析：由等比數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式得Ss , a9 S9 , a88 a1(1q ), aq39a1(1q ), aq728d (q167q ) (

10、q162 , 87 a ) a(q q ) 一=1q=a12q7.又 q v 0,則 S8 - a9 S9 , a8> 0,即 S8 , a9> So , a8. 答案：A2.銀行一年定期的年利率為r,三年定期的年利率為的存款，那么q的值應(yīng)略大于q,銀行為吸收長期資金，鼓勵儲戶存三年定期A. , (1 r)C. (1 + r) 3-11 B.3 D.r(1 + r) 311解析：由題息得（1 + r） 3<1+3q,故q>-3(1 + r)3-1.答案：B3. （2003年上海，8）若首項(xiàng)為a1，公比為q的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和總小于這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和,則首項(xiàng)a1,公比q

11、的一組取值可以是（a，q）=解析:由題意知曳(1-q-) v-aJ 且|q|v 1 對 nCN 都成立，a1>0, 0vqv1. 1 q 1 q答案:(a>0, 0<q< 1 的一組數(shù))4.設(shè)an是首項(xiàng)為 1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n+1） an+12 nan2+an+1an=0 （nC N*）,則它的通項(xiàng)公式an=an i斛析：分斛因式可得(n+1) an+1 nan an+1 + an =0,又 an>0,則(n+1) an+1 nan=0,即anai=1,由累積法可得1 an=.nJ 1答案：1 n5.定義一種運(yùn)算“(1) 1 * 1=1;對于任意非零自然數(shù)n滿足以

12、下運(yùn)算性質(zhì):(2) (n+1) * 1=3 (n*1).試求n*1關(guān)于n的代數(shù)式.解：“n*1”是一個(gè)整體，聯(lián)想數(shù)列通項(xiàng)形式，設(shè)n*1=an,則a1, an+1=3an,得an=31,即n*1=3n6.等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)中，數(shù)值最大的一項(xiàng)是 54,若該數(shù)列的前n項(xiàng)之和為Sn,Sn=80, S2n=6560,求：一 一(1)前100項(xiàng)之和Soo.(2)通項(xiàng)公式an.解：設(shè)公比為 q, . S?n-Sn=6480>Sn, ，q>1.則最大項(xiàng)是 an=aqn 1 (an> 0).又Sn =a1(1 qn) =80,1 qa1 (1 q2n)S2n=6560,由解得

13、a=2, q=3,則、，.、*2(3100 1) “c(1)前 100 項(xiàng)之和 S00=-()=3100 1.3 1(2)通項(xiàng)公式為an=2 3廠1.培養(yǎng)能力7.數(shù)列an的前 n 項(xiàng)和為 Sn,數(shù)列bn中，b1=a1, bn=anan-1 (n>2),若 an+Sn=n.(1)(1)設(shè)Cn=an- 1 ,求證：數(shù)列Cn是等比數(shù)列; 求數(shù)列 bn的通項(xiàng)公式.1證明： a二S1, an+Sn=n,，a1+S1=1,得 a1二一.2a 1 1 c 1又 an+1 + Sn+1=n + 1 ,兩式相減得 2 (an+1 - 1) =an 1 ,即=,也即=,故數(shù)列Cn是an12Cn 2等比數(shù)列.

14、1(2)斛：. C1 =a1 1 =,2111, cn = , an= Cn+1=1 - , an 1 = 1 一 T .2n2n2n 111111故當(dāng) n > 2 時(shí)，bn=an an 1=1 - = f.又 b1=a1 二 一, 即 bn=-2n 12n 2 n22nlg b1 lg b28.設(shè)數(shù)列 an、bn (bn>0, nC N ),滿足 an=n(nC N*).1gA (nC N*),證明:an為等差數(shù)列的充要條件是bn為等比數(shù)列.證明：充分性：若bn為等比數(shù)列，設(shè)公比為q,則an =nlgb lg(q q21)n(n 1)nlg b1lgq 2=lgb1+ (n1)

15、lgq 2 , an+1 an = |gq2 為常數(shù), an為等差數(shù)列.必要性：由 an=毀一1gb2nlg bn .信 nan= lgb1+lgb2+ + lgbn, (n+1) an+1 = lgb1 + lgb2+ -+ lgbn+1,1 1 n (an+1 an) + an+1 = lgbn + 1.若an為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,則 nd+a+nd = lgbn+1,a1 2nda1 2(n 1)dbn + 1 = 10 1， bn= 10b!L =102d為常數(shù). bn (bn為等比數(shù)列.探究創(chuàng)新9.有點(diǎn)難度喲！設(shè)數(shù)列an,5a1=,右以 a 1, a2,，an 為系數(shù)的次方程：an

16、 1x anx+ 1=0 (nCN 且 n6>2)都有根B 滿足 3 a a 3 +33 = 1.(1)求證：an 1為等比數(shù)列;2(3)求an 求 an的前n項(xiàng)和Si.(1)證明：.anan 11代入 3 a a 3 +3§=1 得 an =an 1an-1 + 一,anan 112_1213 anan 11 13 212an一1 一，1是等比數(shù)列.(2)解:21 a1 _ 一2，1、 x (一)313，-)n311(1)33nn n 1：+ =【1 2221312 3n(3)解： Sn = ( + + + 1 1 - + )+=3323n 2思悟小結(jié)1 .深刻理解等比數(shù)列的

17、定義，緊扣從“第二項(xiàng)起”和“比是同一常數(shù)”這兩點(diǎn)2 .運(yùn)用等比數(shù)列求和公式時(shí)，需對q=1和qw 1進(jìn)行討論.3 .證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法是：(1)利用定義，證明2n_ (n>2)為常數(shù);an 1(2)利用等比中項(xiàng)，即證明an2=an 1 - an+1 (n>2).教師下載中心教學(xué)點(diǎn)睛1 .等比數(shù)列的性質(zhì)在求解中有著十分重要的作用，應(yīng)讓學(xué)生熟練掌握、靈活運(yùn)用2 .解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常見思想方法：(1)方程的思想：等比數(shù)列中五個(gè)元素a1、an、n、q、Sn可以“知三求二”；(2)分類討論的思想：當(dāng)a1>0, q>1或a1<0, 0vqv1時(shí)為遞增數(shù)列

18、，當(dāng) aK 0, q>1或a1>0, 0vq<1時(shí)為遞減數(shù)列；當(dāng) q<0時(shí)為擺動數(shù)列；當(dāng) q=1時(shí)為常數(shù)列.3 .轉(zhuǎn)化為“基本量”是解決問題的基本方法.拓展題例1an.【例1】 數(shù)列an中，a1 = 1 , an= - an 1 + 1 (n>2),求通項(xiàng)公式1 1 ，斛.由 an= an 1 + 1 ,佝 an 一 2= ( an 1 一 2).2 2令 bn = an 2,則 bnT=anT 2,.有 bn= bn 1.21 .11. bn=bn 1 =bn 2222, a1 =1, - b1=a1 2= 1.bn = ( ) n 1.an=2 -.22n 11=, 一 ,一bn 3519aa【例 2】 已知數(shù)列an中，a1=- , a2=一并且數(shù)列 lOg2 (a2)，lOg2 ( a3 2 ),，log2 ( an+1 63633a)是公差為-1的等差數(shù)列，而 a2 a1, a3也，an+1 an是公比為1的等比數(shù)列，求數(shù)32223列an的通項(xiàng)公式.分析：由數(shù)列l(wèi)og 2 （an+1至）為等差數(shù)列及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出 an+1與an的一個(gè)遞推 3a關(guān)系式；由數(shù)列an+11為等比數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，可求出a