中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)匯編專題軸對(duì)稱之最短路徑

1、專題6軸對(duì)稱之最短路徑破解策略用軸對(duì)稱思想解決線段最值問題是常用的方法，本質(zhì)是利用三角形三邊關(guān)系解決問 題.常見的題型有：1.已知：在直線l同惻有A. B兩點(diǎn)，在l上找一點(diǎn)P,使得AP+ PB最小. BA l作法：如圖.作點(diǎn) A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A ,連結(jié)A B,與直線，的交點(diǎn)就是點(diǎn) P2 / 82.已知：在直線l同側(cè)有 A B兩點(diǎn)，在l上找一點(diǎn)P,使得|AP PB最小 B A l 作法：如圖，連結(jié) AB作線段AB的垂甫平分線.與直線 l的交點(diǎn)就是點(diǎn)P3 .已知：在直線l同側(cè)有A, B兩點(diǎn)，在l上找一點(diǎn)P.使得|AP- PB最大 B A l作法：如圖，連結(jié) BA并延長(zhǎng)，與直線，的交點(diǎn)就是點(diǎn)P4

2、 .已知：在直線l同側(cè)有 A B兩點(diǎn).在l上找兩點(diǎn)C, D （其中CD勺長(zhǎng)度固定，等于 所給線段d）,使得AO CN DB最小， BA alA ,作A關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)A,過點(diǎn)A作AC/ A D,交直線l于點(diǎn)C.則作法：如圖，先將點(diǎn) A向右平移口個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn) 連結(jié)A B,與直線l的交點(diǎn)就是點(diǎn) D.連結(jié)A D, 此時(shí)AC +C濟(jì)DB最小.5.已知：在 MONJ有一點(diǎn)P,在邊ON OM:分別找點(diǎn)Q, R 使得 PQ QRF RPM小.作法：如圖，分別作點(diǎn) P關(guān)于射線OM勺對(duì)稱點(diǎn)P, P,連結(jié)PP,與射線ON OM勺交點(diǎn)就是點(diǎn) Q, R.6.已知：在MONJ有一點(diǎn)P,在邊OM ONh分別找點(diǎn) R,

3、 Q使得P& QRM小作法：如圖，作點(diǎn) P關(guān)于射線OM勺對(duì)稱點(diǎn)P ,作P Q ON垂足為Q PQ與射線O廂交 點(diǎn)就是R.8 / 87.已知：在 MONfi有兩點(diǎn)P, Q在邊OM ON上分別找點(diǎn) R S.使得P& RA SQ最小.作法：如圖，作點(diǎn) P關(guān)于射線OM勺對(duì)稱點(diǎn)P ,作點(diǎn)Q關(guān)于射線ON的對(duì)稱點(diǎn)Q,連 納P Q .與射線OM ON的交點(diǎn)就是 R S.O例題講解例1(1)如圖1,等邊 ABC, AB= 2, E是AB的中點(diǎn)，AD是高，在AD上作出點(diǎn)P,使BP+ EP的值最小，并求 BF PE的最小值.(2)如圖2,已知。O的直徑CD為2, Ac的度數(shù)為60。，點(diǎn)B是Ac的中點(diǎn)，在直徑CD上作

4、出點(diǎn) P,使B升AP的值最小，并求 BP+ AP的最小值.(3)如圖3,點(diǎn)P是四邊形 ABC咕一點(diǎn)，BP= mi Z ABC=風(fēng),分別在邊 AB, BC上作出 點(diǎn)M N,使 PMN勺周長(zhǎng)最小，并求出這個(gè)最小值(用含m a的代數(shù)式表示).(1)乖(作法是：作點(diǎn) B關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，恰好與點(diǎn) C重合，連接Ca AD于一點(diǎn)，這點(diǎn)就是所求的點(diǎn) P);(2) &(作法是：作點(diǎn)B關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)E,連接AE交CDT一點(diǎn)，這點(diǎn)就是所求的點(diǎn)P)；(3)分別作點(diǎn) P關(guān)于邊AB BC的對(duì)稱點(diǎn)E, F,連結(jié)EF分別與邊 AB BC交于點(diǎn) M N, 線段EF的長(zhǎng)度即為 PMN勺周長(zhǎng)的最小值.-如圖，連結(jié)BE, BF,

5、/EBF= 2ZABC= 2a, BE= BF= BP= mi過點(diǎn)B作BHL EF于點(diǎn)H,所以/ EBH= - / EBF= a , EH= FH 2EH在 RtABEHI, sin a = EH ,BE所以 EH= BE- sin a = m- sin a ,所以 EF= 2m sin a ,即 PMh PW MN= EF= 2m- sin a .例2如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，分別以點(diǎn) A (2, 3), B (3, 4)為圓心，以1, 3 為半徑作。A, OB, M N分別是。A, OB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，求 PMF PN的最 小值.P,與OA,交點(diǎn)為M ,如圖，作。A關(guān)

6、于x軸的對(duì)稱圖形。A,連結(jié)AB,與x軸交于點(diǎn)與。B交點(diǎn)為N,連結(jié)PA PA與。A交點(diǎn)為 M 則此時(shí)PA PB值最小，從而 PW PM直也最 小，最小值為線段 M N的長(zhǎng).如圖，易得 A 2 3),由兩電間距離公式得 A B= 5版.故 M N= 572-4,即 PM PN= 5 72-4.例3如圖1,等邊 ABC勺邊長(zhǎng)為6, AD BE是兩條邊上的高，點(diǎn) O為其交點(diǎn).P, N分別是BE, BC上的動(dòng)點(diǎn).圖1圖2(1)當(dāng)PW PD的長(zhǎng)度取得最小值時(shí)，求 BP的長(zhǎng)度；(2)如圖2,若點(diǎn)Q在線段BO上，BQ= 1,求Q降NP+ PD的最小值.圖3解 (1)由等邊三角形軸對(duì)稱的性質(zhì)可得，點(diǎn)圖4D關(guān)于B

7、E的對(duì)稱點(diǎn) D在AB上，且為 AB的中占如圖3,過點(diǎn)D作BC的垂線，垂足為 N ,DN交BE于點(diǎn)P,連結(jié)PD ,則PD = FD.此時(shí)DN的長(zhǎng)度即為 PW PD長(zhǎng)度的最小值.顯然DN/ AD即點(diǎn)N為BD的中點(diǎn).所以 BN= - BC= 3 ,從而 BP= = V3 .(2)如圖4,作點(diǎn)Q關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn) Q ,則BQ =1, /CBQ =0 .點(diǎn)D是點(diǎn)D關(guān)于BE的對(duì)稱點(diǎn)，連接 DQ ,交BE于點(diǎn)P,交BC于點(diǎn)N.此時(shí)DQ即為QNF NP+ PD的最小值.顯然/ DBQ =90 ,所以 DQ = BD7BQ2 = 10 ,即QN NPPt PD的最小彳1為炳.進(jìn)階訓(xùn)練1 .兩平面鏡 OM QN相

8、交于點(diǎn) Q且OML ON 一束光線從點(diǎn) A出發(fā)，經(jīng)過平面鏡反射后， 恰好經(jīng)過點(diǎn)B,光線可以只經(jīng)過平面鏡 OME射后過點(diǎn)B,也可以只經(jīng)過平面鏡 ONS射后過 點(diǎn)B.除了這兩種作法外，還有其他方法嗎？如果有，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出光線的行進(jìn)路線，保留 作圖痕跡，并簡(jiǎn)要說明理由.Na AN/ A答案：作點(diǎn)A關(guān)于OM勺對(duì)稱點(diǎn)A ,作點(diǎn)B關(guān)于ON的對(duì)稱點(diǎn)B,連接A B,與OM ON別交于. 點(diǎn)D, C.光線行進(jìn)路線如圖.2 .(1)在A和B兩地之間有一條河，現(xiàn)要在這條河上建一座橋CD橋建在何處才能使從A到B的路徑最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直)(2)如圖2,在A和B兩地之間有兩條河， 現(xiàn)要在這兩

9、條河上各建一座橋，分別是MNF口 PQ橋分別建在何處才能使從 A到B的路徑最短？(假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直)解：(1)如圖，過點(diǎn)B作BB垂直于河岸，且使 BB長(zhǎng)度等于這條河寬，連接 AB交河的 一岸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CD垂直于河岸，與另一岸交點(diǎn)為 D,則CD即為架橋最合適的位置.(2)如圖，過點(diǎn) A作AA垂直于距點(diǎn) A較近的河岸，且使 AA長(zhǎng)等于該河寬，同樣，過 點(diǎn)B作BB垂直于距點(diǎn)B較近的河岸，且使 BB長(zhǎng)等于河寬，連接 A B分別交兩條河相 鄰的河岸于點(diǎn)N, P,過點(diǎn)N作NM垂直于該河河岸，與另一岸交點(diǎn)為M 過P作PQ垂直于該河河岸，與另一岸交點(diǎn)為 Q 則MN PQ即為架橋最合適的位置.3 2-，3.如圖，直線y x 3分別與x軸，y軸交于點(diǎn)A, B,拋物線y = x+2x+1與y 4軸交于點(diǎn)C.若點(diǎn)E在拋物線y= x2+2x+1的對(duì)稱軸上移動(dòng)，點(diǎn)F在直線AB上移動(dòng)，求 C&EF的最小值.提示：作點(diǎn)C關(guān)于