電動(dòng)力學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納及典型試題分析

1、電動(dòng)力學(xué)知識(shí)點(diǎn)歸納及典型試題分析一、試題結(jié)構(gòu)總共四個(gè)大題：1單選題（）：主要考察基本概念、基本原理和基本公式，及對(duì)它們的理解。2填空題（）：主要考察基本概念和基本公式。3簡(jiǎn)答題 ()：主要考察對(duì)基本理論的掌握和基本公式物理意義的理解。4. 證明題 （）和計(jì)算題（）：考察能進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算和對(duì)基本常用的方程和原理進(jìn)行證明。例如：證明泊松方程、電磁場(chǎng)的邊界條件、亥姆霍茲方程、長(zhǎng)度收縮公式等等；計(jì)算磁感強(qiáng)度、電場(chǎng)強(qiáng)度、能流密度、能量密度、波的穿透深度、波導(dǎo)的截止頻率、空間一點(diǎn)的電勢(shì)、矢勢(shì)、以及相對(duì)論方面的內(nèi)容等等。二、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)1：一般情況下，電磁場(chǎng)的基本方程為：（此為麥克斯韋方程組）；在沒有電

2、荷和電流分布（）的自由空間（或均勻介質(zhì)）的電磁場(chǎng)方程為：（齊次的麥克斯韋方程組）知識(shí)點(diǎn)2：位移電流及與傳導(dǎo)電流的區(qū)別。答：我們知道恒定電流是閉合的： 在交變情況下，電流分布由電荷守恒定律制約，它一般不再閉合。一般說來，在非恒定情況下，由電荷守恒定律有 現(xiàn)在我們考慮電流激發(fā)磁場(chǎng)的規(guī)律： 取兩邊散度，由于，因此上式只有當(dāng)時(shí)才能成立。在非恒定情形下，一般有，因而式與電荷守恒定律發(fā)生矛盾。由于電荷守恒定律是精確的普遍規(guī)律，故應(yīng)修改式使服從普遍的電荷守恒定律的要求。 把式推廣的一個(gè)方案是假設(shè)存在一個(gè)稱為位移電流的物理量，它和電流合起來構(gòu)成閉合的量 并假設(shè)位移電流與電流一樣產(chǎn)生磁效應(yīng)，即把修改為 。此式兩

3、邊的散度都等于零，因而理論上就不再有矛盾。由電荷守恒定律 電荷密度與電場(chǎng)散度有關(guān)系式 兩式合起來得：與式比較可得的一個(gè)可能表示式 位移電流與傳導(dǎo)電流有何區(qū)別： 位移電流本質(zhì)上并不是電荷的流動(dòng)，而是電場(chǎng)的變化。它說明，與磁場(chǎng)的變化會(huì)感應(yīng)產(chǎn)生電場(chǎng)一樣，電場(chǎng)的變化也必會(huì)感應(yīng)產(chǎn)生磁場(chǎng)。而傳導(dǎo)電流實(shí)際上是電荷的流動(dòng)而產(chǎn)生的。知識(shí)點(diǎn)3：電荷守恒定律的積分式和微分式，及恒定電流的連續(xù)性方程。答：電荷守恒定律的積分式和微分式分別為：恒定電流的連續(xù)性方程為：知識(shí)點(diǎn)4：在有介質(zhì)存在的電磁場(chǎng)中，極化強(qiáng)度矢量p和磁化強(qiáng)度矢量M各的定義方法；P與；M與j；E、D與p以及B、H與M的關(guān)系。答：極化強(qiáng)度矢量p：由于存在兩類

4、電介質(zhì)：一類介質(zhì)分子的正電中心和負(fù)電中心不重和，沒有電偶極矩。另一類介質(zhì)分子的正負(fù)電中心不重和，有分子電偶極矩，但是由于分子熱運(yùn)動(dòng)的無規(guī)性，在物理小體積內(nèi)的平均電偶極矩為零，因而也沒有宏觀電偶極矩分布。在外場(chǎng)的作用下，前一類分子的正負(fù)電中心被拉開，后一類介質(zhì)的分子電偶極矩平均有一定取向性，因此都出現(xiàn)宏觀電偶極矩分布。而宏觀電偶極矩分布用電極化強(qiáng)度矢量P描述，它等于物理小體積內(nèi)的總電偶極矩與之比，為第i個(gè)分子的電偶極矩，求和符號(hào)表示對(duì)內(nèi)所有分子求和。磁化強(qiáng)度矢量M：介質(zhì)分子內(nèi)的電子運(yùn)動(dòng)構(gòu)成微觀分子電流，由于分子電流取向的無規(guī)性，沒有外場(chǎng)時(shí)一般不出現(xiàn)宏觀電流分布。在外場(chǎng)作用下，分子電流出現(xiàn)有規(guī)則取

5、向，形成宏觀磁化電流密度。分子電流可以用磁偶極矩描述。把分子電流看作載有電流i的小線圈，線圈面積為a，則與分子電流相應(yīng)的磁矩為： 介質(zhì)磁化后，出現(xiàn)宏觀磁偶極矩分布，用磁化強(qiáng)度M表示，它定義為物理小體積內(nèi)的總磁偶極矩與之比， 知識(shí)點(diǎn)5：導(dǎo)體表面的邊界條件。答：理想導(dǎo)體表面的邊界條件為：。它們可以形象地表述為：在導(dǎo)體表面上，電場(chǎng)線與界面正交，磁感應(yīng)線與界面相切。知識(shí)點(diǎn)6：在球坐標(biāo)系中，若電勢(shì)不依賴于方位角，這種情形下拉氏方程的通解。答：拉氏方程在球坐標(biāo)中的一般解為： 式中為任意的常數(shù)，在具體的問題中由邊界條件定出。為締合勒讓德函數(shù)。若該問題中具有對(duì)稱軸，取此軸為極軸，則電勢(shì)不依賴于方位角，這球形下

6、通解為： 為勒讓德函數(shù)，是任意常數(shù)，由邊界條件確定。知識(shí)點(diǎn)7：研究磁場(chǎng)時(shí)引入矢勢(shì)A的根據(jù)；矢勢(shì)A的意義。答：引入矢勢(shì)A的根據(jù)是：磁場(chǎng)的無源性。矢勢(shì)A的意義為：它沿任一閉合回路的環(huán)量代表通過以該回路為界的任一曲面的磁通量。只有A的環(huán)量才有物理意義，而每點(diǎn)上的A（x）值沒有直接的物理意義。知識(shí)點(diǎn)8：平面時(shí)諧電磁波的定義及其性質(zhì)；一般坐標(biāo)系下平面電磁波的表達(dá)式。答：平面時(shí)諧電磁波是交變電磁場(chǎng)存在的一種最基本的形式。它是傳播方向一定的電磁波，它的波陣面是垂直于傳播方向的平面，也就是說在垂直于波的傳播方向的平面上，相位等于常數(shù)。平面時(shí)諧電磁波的性質(zhì)：（1）電磁波為橫波，E和B都與傳播方向垂直；（2）E和

7、B同相，振幅比為v；（3 E和B互相垂直，E×B沿波矢k方向。知識(shí)點(diǎn)9：電磁波在導(dǎo)體中和在介質(zhì)中傳播時(shí)存在的區(qū)別；電磁波在導(dǎo)體中的透射深度依賴的因素。答：區(qū)別:（1）在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部沒有能量的損耗，電磁波可以無衰減地傳播（在真空和理想絕緣介質(zhì)內(nèi)部）；（2）電磁波在導(dǎo)體中傳播，由于導(dǎo)體內(nèi)有自由電子，在電磁波電場(chǎng)作用下，自由電子運(yùn)動(dòng)形成傳導(dǎo)電流，由電流產(chǎn)生的焦耳熱使電磁波能量不斷損耗。因此，在導(dǎo)體內(nèi)部的電磁波是一種衰減波（在導(dǎo)體中）。在傳播的過程中，電磁能量轉(zhuǎn)化為熱量。電磁波在導(dǎo)體中的透射深度依賴于：電導(dǎo)率和頻率。知識(shí)點(diǎn)10：電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)表示的關(guān)系式。答：電磁場(chǎng)用矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)

8、表示的關(guān)系式為：知識(shí)點(diǎn)11：推遲勢(shì)及達(dá)朗貝爾方程。答：推遲勢(shì)為：達(dá)朗貝爾方程為：知識(shí)點(diǎn)12：愛因斯坦建立狹義相對(duì)論的基本原理（或基本假設(shè)）是及其內(nèi)容。答：（1）相對(duì)性原理：所有的慣性參考系都是等價(jià)的。物理規(guī)律對(duì)于所有慣性參考系都可以表為相同的形式。也就是不論通過力學(xué)現(xiàn)象，還是電磁現(xiàn)象，或其他現(xiàn)象，都無法覺察出所處參考系的任何“絕對(duì)運(yùn)動(dòng)”。相對(duì)性原理是被大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)所精確檢驗(yàn)過的物理學(xué)基本原理。（2）光速不變?cè)恚赫婵罩械墓馑傧鄬?duì)于任何慣性系沿任一方向恒為c，并與光源運(yùn)動(dòng)無關(guān)。知識(shí)點(diǎn)13：相對(duì)論時(shí)空坐標(biāo)變換公式（洛倫茲變換式）和速度變換公式。答：坐標(biāo)變換公式（洛倫茲變換式）： 洛倫茲反變換式：速

9、度變換公式：知識(shí)點(diǎn)14：導(dǎo)出洛侖茲變換時(shí)，應(yīng)用的基本原理及其附加假設(shè)；洛侖茲變換同伽利略變換二者的關(guān)系。答：應(yīng)用的基本原理為：變換的線性和間隔不變性。基本假設(shè)為：光速不變?cè)恚íM義相對(duì)論把一切慣性系中的光速都是c作為基本假設(shè)，這就是光速不變?cè)恚?、空間是均勻的并各向同性，時(shí)間是均勻的、運(yùn)動(dòng)的相對(duì)性。洛侖茲變換與伽利略變換二者的關(guān)系：伽利略變換是存在于經(jīng)典力學(xué)中的一種變換關(guān)系，所涉及的速率都遠(yuǎn)小于光速。洛侖茲變換是存在于相對(duì)論力學(xué)中的一種變換關(guān)系，并假定涉及的速率等于光速。當(dāng)慣性系（即物體）運(yùn)動(dòng)的速度時(shí)，洛倫茲變換就轉(zhuǎn)化為伽利略變換，也就是說，若兩個(gè)慣性系間的相對(duì)速率遠(yuǎn)小于光速，則它以伽利略變換

10、為近似。知識(shí)點(diǎn)15：四維力學(xué)矢量及其形式。答：四維力學(xué)矢量為：（1）能量動(dòng)量四維矢量（或簡(jiǎn)稱四維動(dòng)量）：（2）速度矢量：（3）動(dòng)量矢量：（4）四維電流密度矢量：（5）四維空間矢量：（6）四維勢(shì)矢量：（7）反對(duì)稱電磁場(chǎng)四維張量：（8）四維波矢量：知識(shí)點(diǎn)16：事件的間隔：答：以第一事件P為空時(shí)原點(diǎn)（0，0，0，0）;第二事件Q的空時(shí)坐標(biāo)為：（x,y,z,t），這兩事件的間隔為：兩事件的間隔可以取任何數(shù)值。在此區(qū)別三種情況：（1）若兩事件可以用光波聯(lián)系，有rct，因而（類光間隔）；（2）若兩事件可用低于光速的作用來聯(lián)系，有，因而有（類時(shí)間隔）；（a）絕對(duì)未來；（b）絕對(duì)過去。（3）若兩事件的空間距離

11、超過光波在時(shí)間t所能傳播的距離，有，因而有（類空間隔）。知識(shí)點(diǎn)17：導(dǎo)體的靜電平衡條件及導(dǎo)體靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件。答：導(dǎo)體的靜電平衡條件：（1）導(dǎo)體內(nèi)部不帶電，電荷只能分布在于導(dǎo)體表面上；（2）導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)為零；（3）導(dǎo)體表面上電場(chǎng)必沿法線方向，因此導(dǎo)體表面為等勢(shì)面。整個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)相等。導(dǎo)體靜電平衡時(shí)導(dǎo)體表面的邊界條件：知識(shí)點(diǎn)18：勢(shì)方程的簡(jiǎn)化。答：采用兩種應(yīng)用最廣的規(guī)范條件：（1） 庫(kù)侖規(guī)范： 輔助條件為（2） 洛倫茲規(guī)范：輔助條件為：例如：對(duì)于方程組：（適用于一般規(guī)范的方程組）。若采用庫(kù)侖規(guī)范，可得：；若采用洛倫茲規(guī)范，可得：（此為達(dá)朗貝爾方程）。知識(shí)點(diǎn)19：引入磁標(biāo)勢(shì)的條件。答：

12、條件為：該區(qū)域內(nèi)的任何回路都不被電流所環(huán)繞，或者說，該區(qū)域是沒有傳導(dǎo)電流分布的單連通區(qū)域，用數(shù)學(xué)式表示為：知識(shí)點(diǎn)20：動(dòng)鐘變慢：系中同地異時(shí)的兩事件的時(shí)間間隔，即系中同一地點(diǎn)，先后（）發(fā)生的兩事件的時(shí)間間隔在S系的觀測(cè)：稱為固有時(shí)，它是最短的時(shí)間間隔，知識(shí)點(diǎn)21：長(zhǎng)度收縮（動(dòng)尺縮短） 尺相對(duì)于系靜止，在系中觀測(cè)在S系中觀測(cè)即兩端位置同時(shí)測(cè)定 稱為固有長(zhǎng)度，固有長(zhǎng)度最長(zhǎng)，即。知識(shí)點(diǎn)22： 電磁場(chǎng)邊值關(guān)系（也稱邊界上的場(chǎng)方程）知識(shí)點(diǎn)23：AB效應(yīng)1959年Aharonov和Bohm提出一種后來被試驗(yàn)所證實(shí)的新效應(yīng)（這簡(jiǎn)稱AB效應(yīng)），同時(shí)AB效應(yīng)的存在說明磁場(chǎng)的物理效應(yīng)不能完全用描述。知識(shí)點(diǎn)24：電

13、磁波的能量和能流平面電磁波的能量為：平面電磁波的能流密度為：能量密度和能流密度的平均值為：知識(shí)點(diǎn)25：波導(dǎo)中傳播的波的特點(diǎn)：電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H不同時(shí)為橫波。通常選一種波模為的波，稱為橫電波（TE）；另一種波模為的波，稱為橫磁波（TM）。知識(shí)點(diǎn)26：截止頻率定義:能夠在波導(dǎo)內(nèi)傳播的波的最低頻率稱為該波模的截止頻率。計(jì)算公式: (m,n)型的截止頻率為：；若a>b，則波有最低截止頻率若管內(nèi)為真空，此最低截止頻率為，相應(yīng)的截止波長(zhǎng)為：（在波導(dǎo)中能夠通過的最大波長(zhǎng)為2a）知識(shí)點(diǎn)27：相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ):橫向多普勒（Doppler）效應(yīng)實(shí)驗(yàn)（證實(shí)相對(duì)論的運(yùn)動(dòng)時(shí)鐘延緩效應(yīng)）；高速運(yùn)動(dòng)粒子壽命的測(cè)定（證實(shí)時(shí)

14、鐘延緩效應(yīng)）；攜帶原子鐘的環(huán)球飛行實(shí)驗(yàn)（證實(shí)狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論的時(shí)鐘延緩總效應(yīng)）；相對(duì)論質(zhì)能關(guān)系和運(yùn)動(dòng)學(xué)的實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)（對(duì)狹義相對(duì)論的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證）知識(shí)點(diǎn)28：靜電場(chǎng)是有源無旋場(chǎng)：（此為微分表達(dá)式）穩(wěn)恒磁場(chǎng)是無源有旋場(chǎng)：（此為微分表達(dá)式）知識(shí)點(diǎn)29：相對(duì)論速度變換式：其反變換式根據(jù)此式求。知識(shí)點(diǎn)30：麥克斯韋方程組積分式和微分式，及建立此方程組依據(jù)的試驗(yàn)定律。答：麥克斯韋方程組積分式為：麥克斯韋方程組微分式為：依據(jù)的試驗(yàn)定律為：靜電場(chǎng)的高斯定理、靜電場(chǎng)與渦旋電場(chǎng)的環(huán)路定理、磁場(chǎng)中的安培環(huán)路定理、磁場(chǎng)的高斯定理。三、典型試題分析1、 證明題：1、試由畢奧沙伐爾定律證明證明：由式：又知：，因此 由 所

15、以原式得證。2、試由電磁場(chǎng)方程證明一般情況下電場(chǎng)的表示式證：在一般的變化情況中，電場(chǎng)E的特性與靜電場(chǎng)不同。電場(chǎng)E一方面受到電荷的激發(fā)，另一方面也受到變化磁場(chǎng)的激發(fā)，后者所激發(fā)的電場(chǎng)是有旋的。因此在一般情況下，電場(chǎng)是有源和有旋的場(chǎng)，它不可能單獨(dú)用一個(gè)標(biāo)勢(shì)來描述。在變化情況下電場(chǎng)與磁場(chǎng)發(fā)生直接聯(lián)系，因而電場(chǎng)的表示式必然包含矢勢(shì)A在內(nèi)。得：，該式表示矢量是無旋場(chǎng)，因此它可以用標(biāo)勢(shì)描述，。因此，在一般情況下電場(chǎng)的表示式為：。即得證。3、試由洛侖茲變換公式證明長(zhǎng)度收縮公式。答：用洛倫茲變換式求運(yùn)動(dòng)物體長(zhǎng)度與該物體靜止長(zhǎng)度的關(guān)系。如圖所示，設(shè)物體沿x軸方向運(yùn)動(dòng)，以固定于物體上的參考系為。若物體后端經(jīng)過點(diǎn)（

16、第一事件）與前端經(jīng)過點(diǎn)（第二事件）相對(duì)于同時(shí)，則定義為上測(cè)得的物體長(zhǎng)度。物體兩端在上的坐標(biāo)設(shè)為。在上點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，兩端分別經(jīng)過和的時(shí)刻為。對(duì)這兩事件分別應(yīng)用洛倫茲變換式得 ，兩式相減，計(jì)及，有 式中為上測(cè)得的物體長(zhǎng)度（因?yàn)樽鴺?biāo)是在上同時(shí)測(cè)得的），為上測(cè)得的物體靜止長(zhǎng)度。由于物體對(duì)靜止，所以對(duì)測(cè)量時(shí)刻沒有任何限制。由式得。 4、 試由麥克斯韋方程組證明靜電場(chǎng)與電勢(shì)的關(guān)系答：由于靜電場(chǎng)的無旋性，得： 設(shè)為由的兩條不同路徑。合成閉合回路，因此 即 因此，電荷由而只和兩端點(diǎn)有關(guān)。把單位正電荷由電場(chǎng)E對(duì)它所作的功為： 這功定義為的電勢(shì)差。若電場(chǎng)對(duì)電荷作了正功，則電勢(shì)下降。由此，由這定義，只有兩

17、點(diǎn)的電勢(shì)差才有物理意義，一點(diǎn)上的電勢(shì)的絕對(duì)數(shù)值是沒有物理意義的。 相距為的兩點(diǎn)的電勢(shì)差為 由于 因此，電場(chǎng)強(qiáng)度E等于電勢(shì)的負(fù)梯度 5、 試由恒定磁場(chǎng)方程證明矢勢(shì)A的微分方程。 答：已知恒定磁場(chǎng)方程（在均勻線性介質(zhì)內(nèi)），把得矢勢(shì)A的微分方程 由矢量分析公式 若取A滿足規(guī)范條件 ，得矢勢(shì)A的微分方程 6、試由電場(chǎng)的邊值關(guān)系證明勢(shì)的邊值關(guān)系證：電場(chǎng)的邊值關(guān)系為：，式可寫為 式中為由介質(zhì)1指向介質(zhì)2的法線。利用,可用標(biāo)勢(shì)將表為： 勢(shì)的邊值關(guān)系即得證。7、 試由靜電場(chǎng)方程證明泊松方程。 答：已知靜電場(chǎng)方程為：并知道 在均勻各向同性線性介質(zhì)中，將（3）式代入（2）得 ，為自由電荷密度。于是得到靜電勢(shì)滿足的

18、基本微分方程，即泊松方程。8、試由麥克斯韋方程證明電磁場(chǎng)波動(dòng)方程。答：麥克斯韋方程組 表明，變化的磁場(chǎng)可以激發(fā)電場(chǎng)，而變化的電場(chǎng)又可以激發(fā)磁場(chǎng)，因此，自然可以推論電磁場(chǎng)可以互相激發(fā)，形成電磁波。這個(gè)推論可以直接從麥克斯韋方程得到，在真空的無源區(qū)域，電荷密度和電流密度均為零，在這樣的情形下，對(duì)麥克斯韋方程的第二個(gè)方程取旋度并利用第一個(gè)方程，得到 ，再把第四個(gè)方程對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到 ，從上面兩個(gè)方程消去，得到 。這就是標(biāo)準(zhǔn)的波動(dòng)方程。對(duì)應(yīng)的波的速度是9、 試由麥克斯韋方程組證明電磁場(chǎng)的邊界條件解：對(duì)于磁場(chǎng)B，把應(yīng)用到邊界上無限小的扁平圓柱高斯面上，重復(fù)以上推導(dǎo)可得： 作跨過介質(zhì)分界面的無限小狹長(zhǎng)的矩

19、形積分回路，矩形回路所在平面與界面垂直，矩形長(zhǎng)邊邊長(zhǎng)為，短邊邊長(zhǎng)為。因?yàn)椋餮鬲M長(zhǎng)矩形的E的路徑積分。由于比小得多，當(dāng)時(shí)，E沿積分為二級(jí)小量，忽略沿的路徑積分，沿界面切線方向積分為： 即： ?？梢杂檬噶啃问奖硎緸椋?式中t為沿著矩形長(zhǎng)邊的界面切線方向單位矢量。 令矩形面法線方向單位矢量為，它與界面相切，顯然有 將，則 ，利用混合積公式，改寫式為：此式對(duì)任意都成立，因此 ，此式表示電場(chǎng)在分界面切線方向分量是連續(xù)的。10、試由麥克斯韋方程組推導(dǎo)出亥姆霍茲方程答：從時(shí)諧情形下的麥?zhǔn)戏匠探M推導(dǎo)亥姆霍茲方程。在一定的頻率下，有，把時(shí)諧電磁波的電場(chǎng)和磁場(chǎng)方程：代入麥?zhǔn)戏匠探M 消去共同因子后得 在此注意一點(diǎn)

20、。在的時(shí)諧電磁波情形下這組方程不是獨(dú)立的。取第一式的散度，由于，因而，即得第四式。同樣，由第二式可導(dǎo)出第三式。在此，在一定頻率下，只有第一、二式是獨(dú)立的，其他兩式可由以上兩式導(dǎo)出。 取第一式旋度并用第二式得 由，上式變?yōu)?此為亥姆霍茲方程。11、 試用邊值關(guān)系證明：在絕緣介質(zhì)與導(dǎo)體的分界面上，在靜電的情況下，導(dǎo)體外的電場(chǎng)線總是垂直于導(dǎo)體表面；在恒定電流的情況下，導(dǎo)體內(nèi)的電場(chǎng)線總是平行于導(dǎo)體表面。證明：（1）導(dǎo)體在靜電條件下達(dá)到靜電平衡，所以導(dǎo)體內(nèi)，而：（2）導(dǎo)體中通過恒定的電流時(shí)，導(dǎo)體表面。而：，。導(dǎo)體內(nèi)電場(chǎng)方向和法線垂直，即平行于導(dǎo)體表面。12、 設(shè)是滿足洛倫茲規(guī)范的矢勢(shì)和標(biāo)勢(shì)，現(xiàn)引入一矢量

21、函數(shù)（赫茲矢量），若令證明：滿足洛倫茲規(guī)范，故有 2、 計(jì)算題：1、真空中有一半徑為接地導(dǎo)體球，距球心為 處有一點(diǎn)電荷Q，求空間各點(diǎn)的電勢(shì)。解：假設(shè)可以用球內(nèi)一個(gè)假想點(diǎn)電荷來代替球面上感應(yīng)電荷對(duì)空間電場(chǎng)的作用。由對(duì)稱性，應(yīng)在連線上。關(guān)鍵是能否選擇的大小和位置使得球面上的條件使得滿足？ 考慮到球面上任一點(diǎn)P。邊界條件要求 式中r為Q到P的距離，因此對(duì)球面上任一點(diǎn)，應(yīng)有 由圖可看出，只要選的位置使 設(shè)距球心為b，兩三角形相似的條件為由（1）和（2）式求出 （3）和（4）式確定假想電荷的位置和大小。 由和鏡象電荷激發(fā)的總電場(chǎng)能夠滿足在導(dǎo)體面上的邊界條件，因此是空間中電場(chǎng)的正確解答。球外任一點(diǎn)p的電勢(shì)

22、是： 式中r為由到P點(diǎn)的距離，為由到P點(diǎn)的距離，R為由球心O到P點(diǎn)的距離，2、兩金屬小球分別帶電荷和，它們之間的距離為，求小球的電荷（數(shù)值和符號(hào)）同步地作周期變化，這就是赫茲振子，試求赫茲振子的輻射能流，并討論其特點(diǎn)。解：可知赫茲振子激發(fā)的電磁場(chǎng)：（取球坐標(biāo)原點(diǎn)在電荷分布區(qū)內(nèi)，并以P方向?yàn)闃O軸，則可知B沿緯線上振蕩，E沿徑線上振蕩。）。赫茲振子輻射的平均能流密度為：因子表示赫茲振子輻射的角分布，即輻射的方向性。在的平面上輻射最強(qiáng)，而沿電偶極矩軸線方向沒有輻射。3、已知海水的 試計(jì)算頻率 為50、和Hz的三種電磁波在海水中的透入深度。解：取電磁波以垂直于海水表面的方式入射，透射深度 4、電荷Q均

23、勻分布于半徑為a 的球體內(nèi)，求各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，并由此直接計(jì)算電場(chǎng)的散度。 解：作半徑為r的球（與電荷球體同心）。由對(duì)稱性，在球面上各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度有相同的數(shù)值E，并沿徑向。當(dāng)球面所圍的總電荷為Q，由高斯定理得 因而 寫成矢量式得 若則球面所圍電荷為： 應(yīng)用高斯定理得：由此得 現(xiàn)在計(jì)算電場(chǎng)的散度。當(dāng)E應(yīng)取式，在這區(qū)域，由直接計(jì)算可得 因而 當(dāng)E應(yīng)取式，由直接計(jì)算得 5、 一半徑為R的均勻帶電球體，電荷體密度為，球內(nèi)有一不帶電的球形空腔，其半徑為，偏心距離為 a，（）求腔內(nèi)的電場(chǎng)。解：這個(gè)帶電系統(tǒng)可視為帶正電的R球與帶負(fù)電的的球的迭加而成。因此利用場(chǎng)的迭加原理得球形空腔的一點(diǎn)M之電場(chǎng)強(qiáng)度為： 6、無

24、窮大的平行板電容器內(nèi)有兩層介質(zhì)，極板上面電荷密度為 求電場(chǎng)和束縛電荷分布。解：由對(duì)稱性可知電場(chǎng)沿垂直于平板的方向，把應(yīng)用于下板與介質(zhì)1界面上，因?qū)w內(nèi)場(chǎng)強(qiáng)為零，故得 同樣把式應(yīng)用到上板與介質(zhì)2界面上得 由這兩式得 束縛電荷分布于介質(zhì)表面上。在兩介質(zhì)界面處，由得 在介質(zhì)1與下板分界處，由得 在介質(zhì)2與上板分界處， 容易驗(yàn)證，介質(zhì)整體是電中性的。7、截面為S ，長(zhǎng)為的細(xì)介質(zhì)棍，沿X軸放置，近端到原點(diǎn)的距離為b ，若極化強(qiáng)度為 ，沿X軸 。求：（1） 求每端的束縛電荷面密度；（2）求棒內(nèi)的束縛電荷體密度。（3）總束縛電荷。解：（1）求在棍端 （2） 求 由 （3） 求 8、兩塊接地的導(dǎo)體板間的夾角為

25、，當(dāng)板間放一點(diǎn)電荷q時(shí)，試用鏡像法就的情形分別求其電勢(shì)。解：設(shè)點(diǎn)電荷q處于兩導(dǎo)體面間一點(diǎn)，兩導(dǎo)體面間夾角為，各象電荷處在以R為半徑的圓周上，它們的位置可用旋轉(zhuǎn)矢量表示，設(shè)q及其各個(gè)象電荷的位置矢為則有 ，1）象電荷只有3個(gè)，各象電荷所處在的直角坐標(biāo)為：空間任意一點(diǎn)的電勢(shì) 2) 象電荷只有5個(gè)。各象電荷所在處的直角坐標(biāo)為：各個(gè)r由相應(yīng)的象電荷坐標(biāo)確定。9、在一平行板電容器的兩板上加 的電壓，若平板為圓形，半徑為a，板間距離為d，試求（1）、兩板間的位移電流；（2）、電容器內(nèi)離軸r處的磁場(chǎng)強(qiáng)度；（3）、電容器內(nèi)的能流密度。解：（1） （2）（3）10、靜止長(zhǎng)度為的車廂，以速度相對(duì)于地面S運(yùn)行，車廂

26、的后壁以速度為向前推出一個(gè)小球，求地面觀察者看到小球從后壁到前壁的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。解：S系的觀察者看到長(zhǎng)度為的車廂以運(yùn)動(dòng)，又看到小球以追趕車廂。小球從后壁到前壁所需的時(shí)間為：11、求無限長(zhǎng)理想的螺線管的矢勢(shì) （設(shè)螺線管的半徑為a，線圈匝數(shù)為n，通電電流為I）解：分析：。（1）當(dāng)時(shí)，可得：（2）當(dāng)時(shí)，同理可得：12、在大氣中沿Z軸方向傳播的線偏振平面波，其磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值表達(dá)式 （1） 求 。（2）寫出的瞬時(shí)值表達(dá)式解： ； 13、內(nèi)外半徑分別為a和b的球形電容器，加上的電壓，且不大，故電場(chǎng)分布和靜態(tài)情形相同，計(jì)算介質(zhì)中位移電流密度及穿過半徑R的球面的總位移電流。解：位移電流密度為：穿過半徑R的球面的總位移電流為：14、證明均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度總是等于體自由電荷密度的倍。證：即證明了均勻介質(zhì)內(nèi)部的體極化電荷密度總是等于體自由電荷密度。15、一根長(zhǎng)為的細(xì)金屬棒，鉛直地豎立在桌上，設(shè)所在地點(diǎn)地磁場(chǎng)強(qiáng)度為H ，方向?yàn)槟媳?，若金屬棒自靜止?fàn)顟B(tài)向東自由倒下，試求兩端同時(shí)接觸桌面的瞬間棒內(nèi)的感生電動(dòng)勢(shì)，此時(shí)棒兩端的電勢(shì)哪端高？解：金屬棒倒下接觸桌面時(shí)的角速度w由下式給出 式中為棒的質(zhì)量，I為棒繞端點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（），g為重力加速度，代入得 ， 棒接觸桌面時(shí)的感生電動(dòng)勢(shì)為： 此時(shí)棒的A點(diǎn)電動(dòng)勢(shì)高。16、點(diǎn)電荷q放在無限大的導(dǎo)體板前，相距為a