空間角與距離和空間向量

1、空間角與距離 1.角：異面直線所成的角,直線和平面所成的角,二面角,都化歸為平面幾何中兩條相交直線所成的角。異面直線所成的角：通過平移的變換手段化歸，具體途徑有：中位線、補(bǔ)形法等。直線和平面所成的角：通過作直線射影的作圖法得到。二面角：化歸為平面角的度量，化歸途徑有：定義法，三垂線定理法，棱的垂面法及面積射影法。2.距離：異面直線的距離，點面距離，線面距離及面面距離。異面直線的距離：除求公垂線段長度外，通常化歸為線面距離和面面距離。線面距離，面面距離?；瘹w為點面距離。3.計算問題：（1）空間角的計算步驟：一作、二證、三算異面直線所成的角 范圍：0°90° 方法：平移法；補(bǔ)形

2、法.直線與平面所成的角 范圍：0°90° 方法：關(guān)鍵是作垂線，找射影.二面角范圍：0°180° 方法：定義法； 三垂線定理及其逆定理；垂面法. 注：二面角的計算也可利用射影面積公式S=Scos來計算（2）空間距離兩點之間的距離. 點到直線的距離. 點到平面的距離. 兩條平行線間的距離.兩條異面直線間的距離. 平面的平行直線與平面之間的距離. 兩個平行平面之間的距離.七種距離都是指它們所在的兩個點集之間所含兩點的距離中最小的距離.七種距離之間有密切聯(lián)系，有些可以相互轉(zhuǎn)化，如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化

3、成點到平面的距離.在七種距離中，求點到平面的距離是重點，求兩條異面直線間的距離是難點.求點到平面的距離：(1)直接法，即直接由點作垂線，求垂線段的長.(2)轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點到該平面的距離.(3)體積法.求異面直線的距離：(1)定義法，即求公垂線段的長. (2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離.(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點間距離中最小的.注:在解答立體幾何的有關(guān)問題時，應(yīng)注意使用轉(zhuǎn)化的思想：利用構(gòu)造矩形、直角三角形、直角梯形將有關(guān)棱柱、棱錐的問題轉(zhuǎn)化成平面圖形去解決.將空間圖形展開是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化成為平面圖形問題的一種常用方法.補(bǔ)法把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)

4、則圖形，把復(fù)雜圖形轉(zhuǎn)化成簡單圖形.利用三棱錐體積的自等性，將求點到平面的距離等問題轉(zhuǎn)化成求三棱錐的高.平面圖形的翻折，要注意翻折前后的長度、角度、位置的變化，翻折前后在同一個三角形中的角度、長度不變例51.空間四邊形ABCD中，E、F分別為AC、BD中點，若CD2AB4，EFAB，則EF與CD所成的角為( ) (A)30°(B)45° (C)60°(D)90°例52. 如圖，AB=2，AC，BD，C，D，CD=1，則直線AB與所成的角為（ ）(A)30 (B)60 (C)arctan (D)45例53. 已知正方形ABCD，沿對角線AC將ADC折起，設(shè)A

5、D與平面ABC所成的角為b，當(dāng)b 取最大值時，二面角BACD等于( ) (A)1200 (B)900 (C)600 (D)450例54. 若三直線PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC=3，則點P到平面ABC的距離為（ ）(A) (B) (C) (D)空間角與距離和空間向量空間角與距離例55. 等邊ABC的邊長是1，BC邊上的高是AD，沿AD折成直二面角，則點A到BC的距離是（ ）(A) (B) (C) (D)1例56. 如圖，在棱長為2的正方體中，O是底面ABCD的中心，E是的中點，那么異面直線OE和之間的距離等于( )(A) (B)1 (C) (D) 例57.正方體ABCD-A1B1

6、C1D1中，（1）BC1與底面ABCD所成角為 ；（2）A1C與底面ABCD所成的角的正切值為 ；（3）BC1與對角面BB1D1D所成的角為 。例58. 若二面角內(nèi)一點到二面角的兩個面的距離分別為a和，到棱的距離為2a，則此二面角的度數(shù)是 .例59. 二面角為，在其內(nèi)一點到平面的距離分別為2，3，則的周長的最小值為 . 例60. 如圖，PABCD是正四棱錐，是正方體，其中.（1）求證：；（2）求平面PAD與平面所成的銳二面角的大??；（3）求到平面PAD的距離.空間向量及其運算 1.空間向量及其加減與數(shù)乘運算：(1)在空間，具有大小和方向的量叫做向量長度相等且方向相同的有向線段表示同一向量或相等

7、的向量(2)空間向量的加法、減法與向量數(shù)乘運算是平面向量運算的推廣(3)空間向量的加減與數(shù)乘運算滿足如下運算律：加法交換律：;加法結(jié)合律：;數(shù)乘分配律：.空間向量及其運算2.共線向量與共面向量: (1)如果表示向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫共線向量或平行向量.(2)平行于同一平面的向量叫做共面的向量任意兩個向量總是共面的(3)共線向量定理：對空間任意兩個向量的充要條件是存在實數(shù)使;推論：如果為經(jīng)過已知點A且平行于已知非零向量的直線，那么對任一點O，點 P在直線上的充要條件是存在實數(shù),滿足等式.其中向量叫做直線的方向向量.(4)共面向量定理:如果兩個向量不共線,則向量與向量

8、共面的充要條件是存在實數(shù)對，使. 推論：空間一點P位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使或?qū)臻g任一定點O，有.3.空間向量基本定理：如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使.其中叫做空間的一個基底，都叫做基向量推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P, 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z, 使 (這里隱含x+y+z1).注：設(shè)四面體ABCD的三條棱，其中Q是BCD的重心，則向量用即證. 4.兩個向量的數(shù)量積(1)向量的數(shù)量積 (2)向量的數(shù)量積的性質(zhì):(是單位向量)；.(3)向量的數(shù)量積滿足如下運算律:交換律:; 與實數(shù)相乘的結(jié)合律=

9、; 分配律:. 注:向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律即5.如果空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長都為1，則這個基底叫做單位正交基底，常用來表示在空間選定一點O和一個單位正交基底，如圖，以點O為原點，分別以的方向為正方向建立三條數(shù)軸:軸、軸、軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們說建立了一個空間直角坐標(biāo)系，點O叫原點，向量都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩個坐標(biāo)軸的平面叫坐標(biāo)平面，分別稱xOy平面、 yOz平面、z0x平面作空間直角坐標(biāo)系Oxyz時，一般使xOy=1350,yOz=900對于空間任一向量，由空間向量的基本定理知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組,使,有序?qū)崝?shù)組叫做在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，記為=對于空間

10、任一點A，對應(yīng)一個向量，于是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使，即點A的坐標(biāo)為.空間向量及其運算空間向量的直角坐標(biāo)運算:設(shè)=(a1,a2,a3),，則, (用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：)設(shè)，則=這就是說，一個向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去始點的坐標(biāo)則，這就是空間兩點間的距離公式6. 法向量：若向量所在直線垂直于平面，則稱這個向量垂直于平面，記作，如果, 那么向量叫做平面的法向量.法向量的用法：利用法向量可求點到平面的距離定理：如圖，設(shè)是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中，則點B到平面的距離為. (實質(zhì)是在法向量方向上的投影的絕對值) 利用法向量可

11、求二面角的平面角定理：設(shè)分別是二面角中平面的法向量，則所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大小.二面角的平面角或（，為平面，的法向量）.直線與平面所成角(為平面的法向量).異面直線間的距離 (的公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離). (實質(zhì)是在公垂向量方向上的投影的絕對值)例61.已知向量(1，3，2)，(2，0，2)，(0，2，1)，則的模為( )(A) (B) (C)12 (D)13空間向量及其運算例62. 如圖，已知空間四邊形ABCD，M、G分別是BC、CD的中點，連結(jié)AM、AG、MG，則+等于( ) (A) (B) (C) (D) 例63. 若、三個單位向量兩兩之間夾角為,則|+

12、|( )(A)6 (B) (C)3 (D)例64. 設(shè)，則使A、B、C三點共線的條件是( )(A)，(B) (C) (D)例65. 設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點，且滿足，則BCD是( )(A)鈍角三角形 (B)直角三角形 (C)銳角三角形 (D)不確定例66. 設(shè)是平面 a 內(nèi)的兩個非零向量，則0，0是為平面 a 的法向量的( )(A)充分條件 (B)充要條件 (C)必要條件(D)既非充分又非必要條件例67. 若A(1，2，3)、B(2，4，1)、C(x，1，3)是直角三角形的三個頂點，則x 例68. 已知，若，共同作用在一個物體上，使物體從點M1(1, 2, 1)移到點M2(3, 1,

13、 2)，則合力所作的功為_.例69. 這四個點是否共面_.(注:共面填“是”,不共面填“否”) 例70. 如圖直角梯形OABC中，COAOAB，OC2，OAAB1，SO平面OABC，SO=1，以O(shè)C、OA、OS分別為x軸、y軸、z軸建立直角坐標(biāo)系O-xyz.求的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；設(shè)OA與平面SBC的夾角（用反三角函數(shù)表示）；O到平面SBC的距離.設(shè)_. 異面直線SC、OB的距離為_.（注：只要求寫出答案）數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題(第九章直線、平面、簡單的幾何體)答案例51. A 例52.B 例53B例54.B例55.C 例56.A例57. (1)450（2）（3）300 例58. 75 0或1650 例59. 作點A關(guān)于的對稱點A1，A2，A1A2的長度即為所求