知識(shí)講解推理與證明全章復(fù)習(xí)與鞏固基礎(chǔ)理

1、推理與證明全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 了解合情推理的含義，能利用歸納推理和類比推理等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理；掌握演繹推理的基本模式；體會(huì)它們的重要性，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理；2. 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異；3. 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過(guò)程和特點(diǎn)；4. 了解間接證明的一種基本方法：反證法；了解反證法的思考過(guò)程、特點(diǎn)；5. 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一：有關(guān)推理概念歸納推理：又稱歸納法，是從特殊到一般、部分到整體的推理根據(jù)歸納對(duì)象是否完備，分為完全歸納法和不完全歸納法完

2、全歸納法是根據(jù)某類事物中的每一個(gè)對(duì)象或每一個(gè)子類的情況作出的關(guān)于該類事物的一般性結(jié)論的推理；不完全歸納法是根據(jù)某類事物中的一部分對(duì)象具有某種特征而作出該類事物都具有這一特征的一般性結(jié)論的推理由于僅列舉了歸納對(duì)象中的一小部分，因此得出的結(jié)論與前提未必有必然的聯(lián)系，故其結(jié)論未必正確，必須經(jīng)過(guò)理論的證明和實(shí)踐的檢驗(yàn)類比推理：又稱類比法，是由特殊到特殊的推理這是由兩系統(tǒng)的已知屬性，通過(guò)比較、聯(lián)想而發(fā)現(xiàn)未知屬性的“開(kāi)拓型”“發(fā)散型”思維方式和歸納推理一樣，能由已知推測(cè)未知，推理的結(jié)論也不一定為真，有待進(jìn)一步證明，通常情況下，類比的相似性越多，類比得出的結(jié)論就越可靠演繹推理：又稱演繹法是從一般到特殊的推理

3、，是數(shù)學(xué)證明中的基本推理形式演繹推理的結(jié)論完全蘊(yùn)涵于前提之中它是“封閉型”的思維方法，只要前提真實(shí)，邏輯形式正確，則結(jié)論必然真實(shí)，但由它一般不能取得突破性進(jìn)展故合情推理與演繹推理各有側(cè)重，相輔相成合情推理有助于發(fā)現(xiàn)新事物、新結(jié)論、新規(guī)律，演繹推理保證結(jié)論的可靠性，去偽存真要點(diǎn)詮釋：演繹推理更注重推理的形式規(guī)則，常見(jiàn)的有假言推理、關(guān)系推理、三段論推理三段論推理：其一般形式為：大前提：所有M都是P；小前提：S是M；結(jié)論：S是P要點(diǎn)二：有關(guān)證明方法綜合法綜合法是利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立的證明方法，是數(shù)學(xué)推理證明中的主要方法即從已知條件

4、出發(fā)，經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理，最后達(dá)到待征結(jié)論或需求問(wèn)題如果要證明的命題是，那么證明步驟用符號(hào)表示為p(已知)分析法分析法就是從待征結(jié)論出發(fā)，一步一步探索下去，尋求結(jié)論成立的充分條件，最后達(dá)到題設(shè)的已知條件或已被證明的事實(shí)用分析法證明的邏輯關(guān)系：q(結(jié)論)(已知)間接證法間接證法不是從正面確定論題的真實(shí)性，而是證明它的反論題為假或改證它的等價(jià)命題為真，間接達(dá)到目的反證法就是間接證法的一種 反證法證題步驟為： (1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立 (2)從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證得出矛盾 (3)由矛盾判斷假設(shè)不成立從而肯定命題的結(jié)論成立 反證法導(dǎo)出矛盾常見(jiàn)的有以下幾種情況： 導(dǎo)出非p為

5、真，即與原命題的條件矛盾 導(dǎo)出q為真，即與假設(shè)“非q為真”矛盾 導(dǎo)出一個(gè)與定義、公理、定理等矛盾的命題 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題時(shí)，常采用的一種方法，它是一種完全歸納法，其步驟為：第一步：證明n取第一個(gè)值時(shí)命題成立第二步：假設(shè)nk(k，kN+)時(shí)命題成立，證明nk+1時(shí)命題成立 第三步：下結(jié)論，命題對(duì)從開(kāi)始的所有自然數(shù)n都成立要點(diǎn)詮釋：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題時(shí)，如果證明恒等式或不等式應(yīng)特別注意項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)的變化規(guī)律；證明幾何命題時(shí)，要特別注意從nk到nk+1的幾何圖形中幾何元素的變化規(guī)律；證明整除性命題時(shí)，要特別注意湊配項(xiàng)的變形技巧；證明與奇、偶數(shù)有關(guān)

6、的命題要注意過(guò)渡時(shí)的特點(diǎn)，如一個(gè)命題對(duì)所有奇數(shù)n成立，應(yīng)假設(shè)n2k-1時(shí)命題成立，推證n2k+1時(shí)命題成立或假設(shè)nk(k為奇數(shù))時(shí)命題成立，推證nk+2時(shí)命題成立 （2）“歸納一猜想證明”的論題，要特別關(guān)注項(xiàng)的構(gòu)成規(guī)律，作出合理的猜想后再證明【典型例題】類型一：合情推理與演繹推理例1. 平面內(nèi)的一個(gè)四邊形為平行四邊形的充要條件有多個(gè)，如兩組對(duì)邊分別平行類似地，寫出空間中的一個(gè)四棱柱為平行六面體的兩個(gè)充要條件： 充要條件_； 充要條件_ (寫出你認(rèn)為正確的兩個(gè)充要條件)【思路點(diǎn)撥】由平面幾何圖形的性質(zhì)類比立體幾何圖形的性質(zhì)時(shí)要做到點(diǎn)類比線、線類比面、面類比體 【解析】?jī)山M相對(duì)側(cè)面分別平行；一組相

7、對(duì)側(cè)面平行且全等；對(duì)角線交于一點(diǎn)，底面是平行四邊形(填任意兩個(gè)即可)【總結(jié)升華】本題考查類比推理，其關(guān)鍵是掌握由平面幾何圖形的性質(zhì)類比立體幾何圖形的性質(zhì)時(shí)，元素間的對(duì)應(yīng)關(guān)系舉一反三：【變式1】在平面幾何中，ABC的內(nèi)角平分線CE分AB所成線段的比為，把這個(gè)結(jié)論類比到空間：在三棱錐ABCD中(如圖所示)，面DEC平分二面角ACDB且與AB相交于E，則得到的類比的結(jié)論是_【答案】.【變式2】將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣，如圖所示： 根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n(n3)行從左至右第3個(gè)數(shù)是_【答案 】 【解析】前n-1行共有正整數(shù)1+2+3+n-1個(gè)，即共有個(gè)，因此第n行第3個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第個(gè)

8、數(shù)，即例2. 在數(shù)列中，nN+ (1)證明數(shù)列是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和； (3)證明不等式，對(duì)任意nN+皆成立【解析】 (1)由題設(shè)得，nN+ 又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，且公比為4的等比數(shù)列 (2)由(1)可知，于是數(shù)列的通項(xiàng)公式為 所以數(shù)列的前n項(xiàng)和 (3)對(duì)任意的nN+， 0 所以不等式，對(duì)任意nN+皆成立 【總結(jié)升華】本題屬于遞推數(shù)列問(wèn)題，是高考考查的熱點(diǎn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列舉一反三：【變式】紙制的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi)、外面朝上展平，得到如圖所示的平面圖形，則標(biāo)“”的面的方位是 ( ) A南 B北

9、 C西 D下 【答案】 B【解析】將所給圖形還原為正方體，如圖所示，最上面為，最左面為東，最里面為上，將正方體旋轉(zhuǎn)后讓東面指向東，讓“上”面向上可知“”的方位為北類型二：直接證明與間接證明例3. 設(shè)a0，b0，a+b1，求證：【解析】 證法一(綜合法)： a0，b0，a+b1， ，ab， 4又4， 8證法二(分析法)： a0，b0， 要證8，只需證18，即證8，即證4，即證4，即證2由基本不等式可知，當(dāng)a0，b0時(shí)，2成立，所以原不等式成立 【總結(jié)升華】本題既可用綜合法，也可用分析法來(lái)解，解題時(shí)應(yīng)靈活運(yùn)用舉一反三：【變式】設(shè)ab>0，求證：3a32b33a2b2ab2.【答案】證法一：3

10、a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因?yàn)閍b>0，所以ab0,3a22b2>0，從而(3a22b2)(ab)0，所以3a32b33a2b2ab2.證法二：要證3a32b33a2b2ab2，只需證3a2(ab)2b2(ab)0，只需證(3a22b2)(ab)0，ab>0.ab0,3a22b2>2a22b20，上式成立例4. 設(shè)二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)中的a、b、c都為整數(shù)，已知f(0)、f(1)均為奇數(shù)，求證：方程f(x)0無(wú)整數(shù)根【思路點(diǎn)撥】考慮用反證法.【解析】假設(shè)方程f(x)0有一個(gè)整數(shù)根k，則ak2bkc0

11、f(0)c，f(1)abc都為奇數(shù)，ab必為偶數(shù)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，令k2n(nZ)，則ak2bk4n2a2nb2n(2nab)必為偶數(shù)，與式矛盾；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，令k2n1(nZ)，則ak2bk(2n1)·(2naab)為一奇數(shù)與一偶數(shù)乘積，必為偶數(shù)，也與式矛盾綜上可知方程f(x)0無(wú)整數(shù)根【總結(jié)升華】反證法常用于直接證明困難或以否定形式出現(xiàn)的命題；涉及“都是”“都不是”“至少”“至多”等形式的命題時(shí)，也常用反證法舉一反三：【變式1】用反證法證明命題“是無(wú)理數(shù)”時(shí)，假設(shè)正確的是()A假設(shè)是有理數(shù)B假設(shè)是有理數(shù)C假設(shè)或是有理數(shù)D假設(shè)是有理數(shù)【答案】D【變式2】已知a、bR，|a|+|b|1，

12、求證：方程的兩根的絕對(duì)值都小于1 【答案】假設(shè)是的根，且1，由得，所以，所以1，這與矛盾，故兩根絕對(duì)值都小于1類型三：數(shù)學(xué)歸納法例5. （2015 興安盟二模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn，（1）計(jì)算S1，S2，S3，猜想Sn的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）設(shè)，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，求證：【答案】（1），；（2）【思路點(diǎn)撥】（1）利用已知條件計(jì)算S1，S2，S3，猜想Sn的表達(dá)式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明步驟證明即可；（2）化簡(jiǎn)，利用裂項(xiàng)法求解數(shù)列的bn的前n項(xiàng)和為Tn，即可證明【解析】（1）因?yàn)閍n=SnSn1（n2），所以，由此整理得，于是有：，猜想：證明：當(dāng)n=1時(shí)，猜想成立假設(shè)n=k時(shí)猜想成立，即，那么，所以當(dāng)n=k+1時(shí)猜想成立，由nN*都成立（2）由（1），于是：，又因?yàn)?，所以【總結(jié)升華】本小題主要考查利用數(shù)學(xué)歸納法解決關(guān)于數(shù)列問(wèn)題，雖存在著一定的難度，但是考試大綱規(guī)定考查內(nèi)容，屬于一道中檔題，對(duì)考生的運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化能力提出一定要求舉一反三：【變式1】（2015春 武漢校級(jí)期末）用數(shù)學(xué)歸納法證明某命題