線性代數(shù)教案 第二章 矩陣及其運(yùn)算

1、授課章節(jié) 第二章 矩陣及其運(yùn)算 §1 矩陣 §2 矩陣的運(yùn)算目的要求理解矩陣的概念重點(diǎn)難點(diǎn)矩陣的乘法及伴隨矩陣復(fù)習(xí)3分鐘§1 矩陣定義1 由m×n個(gè)數(shù)aij（i = 1, 2, , m ，j = 1, 2, , n ），排成m行 n 列的數(shù)表：稱為m行n列矩陣，簡稱m×n矩陣。為了表示它是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括號(hào)將它界起來，并通常用大寫字母表示它。記做或，也可簡記。切記不允許使用。矩陣的橫向稱行，縱向稱列。矩陣中的每個(gè)數(shù)aij稱為元素，所有元素都是實(shí)數(shù)的矩陣稱為實(shí)矩陣，所有元素都是復(fù)數(shù)的矩陣稱為復(fù)矩陣。本課中的矩陣除特殊說明外，都指實(shí)矩陣。幾種

2、特殊得矩陣：（）只有一行的矩陣稱為行矩陣，又稱行向量，（）只有一列的矩陣稱為列矩陣，又稱列向量。（）所有元素都是零的矩陣稱為零矩陣，記做。（）當(dāng)時(shí)，矩陣稱為方陣。即，這里的位置稱為矩陣的主對(duì)角線。注意：不是方陣沒有主對(duì)角線。在方陣中，上三角矩陣：（主對(duì)角線以下均為零）；下三角矩陣：（主對(duì)角線以上均為零）；對(duì)角矩陣：（既是上三角又是下三角），記作 .單位矩陣：對(duì)角元素為1的對(duì)角矩陣，記作 或（階），即。當(dāng) 時(shí)，即 ，此時(shí)矩陣退化為一個(gè)數(shù) 。矩陣的引進(jìn)為許多實(shí)際的問題研究提供方便。例如 含有n個(gè)未知數(shù)，m個(gè)方程的線性方程組把和按原順序可以組成一個(gè)矩陣：任何一個(gè)方程組都可以用這樣一個(gè)矩陣來描述；反之

3、，一個(gè)矩陣也完全刻劃了一個(gè)方程組。例1 已知某方程組對(duì)應(yīng)于下列矩陣 。那么該方程組就是： 。同型矩陣 具有相同行數(shù)和相同列數(shù)的矩陣，稱之為同型矩陣。矩陣相等 若同型矩陣和在對(duì)應(yīng)位置上的元素都相等，即 則稱矩陣A與B相等，記做 A = B 。注意，不同型的矩陣是不能比較相等的。同型矩陣也不能比較大小。42分鐘§2 矩陣的運(yùn)算一、矩陣的加法定義2 設(shè) 和 是 的矩陣，A與B的加法（或稱和），記作A + B ，定義為一個(gè) 的矩陣：。例2 設(shè) , ，計(jì)算 。負(fù)矩陣 設(shè) ，稱矩陣 為矩陣A的負(fù)矩陣。矩陣的減法：二、數(shù)與矩陣相乘定義3 （矩陣數(shù)乘） 數(shù)與矩陣的乘積（稱之為數(shù)乘），記作 或，定義為

4、一個(gè) 的矩陣 。以上運(yùn)算稱為矩陣的線性運(yùn)算，它滿足下列運(yùn)算法則：（1） 交換律 （2） 結(jié)合律 （3）（4） （5） 數(shù)對(duì)矩陣的分配律 （6） 矩陣對(duì)數(shù)的分配律 （7） 結(jié)合律 例3 設(shè) ，且 求矩陣X 。解：由得。三、矩陣與矩陣相乘設(shè)有兩個(gè)線性變換： ，其系數(shù)矩陣； ，其系數(shù)矩陣 從而可得從到的線性變換： ，其系數(shù)矩陣，記做C 則 。顯然，矩陣C是由矩陣A、B產(chǎn)生的，把這種運(yùn)算稱為矩陣與矩陣的乘積。定義4 （矩陣乘法） 設(shè)是一個(gè)矩陣，是一個(gè)矩陣，A與B的乘法，記作AB，定義為一個(gè) 的矩陣 ，其中.由定義，不難看出（強(qiáng)調(diào)）：（1） 只有在左矩陣A的列數(shù)和右矩陣B的行數(shù)相等時(shí)，才能定義乘法AB；

5、（2） 矩陣C=AB的行數(shù)是A的行數(shù)，列數(shù)則是B的列數(shù)；（3） 矩陣C=AB在 位置上的元素等于A的第行元素與B的第列對(duì)應(yīng)元素的乘積之和。例4 設(shè)矩陣，求AB和BA(BA無意義)。例5 設(shè)矩陣 , 求 AB 和 BA 。例6 設(shè)A是的矩陣（行向量），是的矩陣（列向量），即 ， 求 AB 和 BA 。上述幾個(gè)例子顯示，當(dāng)AB有意義時(shí)，BA不一定有意義（例4）；即使AB和BA都有意義（例5、6），但不一定有相同的階數(shù)（例6），即便有相同的階數(shù)，也不一定相等（例5）。例5還說明，如果AB = O，不是一定有A = O 或B = O。一般情況而言矩陣乘法不滿足交換律。特殊的，若兩個(gè)矩陣A和B滿足 ，則

6、稱矩陣A和B是可交換的。例7 設(shè)是一般矩陣，和分別是m和n階單位陣，則和。如果A是方陣時(shí)，有AE = EA = A ，E相當(dāng)于數(shù)1的作用。這就是稱E為單位陣的原因。矩陣乘法滿足以下運(yùn)算律：（1） 結(jié)合律 。（2） 數(shù)乘結(jié)合律 。（3） 分配律； 。矩陣的冪 設(shè)是階矩陣，定義：,其中，是正整數(shù)；特別規(guī)定 . 由于乘法成立分配律結(jié)合律，有 ，但由于不成立交換律，故一般 。例8 設(shè)矩陣、是上（下）三角矩陣，則 亦是上（下）三角矩陣；且 的對(duì)角元素等于、對(duì)角元素的乘積。特別，對(duì)角矩陣的積仍是對(duì)角矩陣。例9 用矩陣表示線性方程組。解：令，稱A為系數(shù)矩陣；，稱b為常數(shù)項(xiàng)矩陣；，稱X為未知數(shù)矩陣；則原方程組

7、可表示為 AX = b 。四、矩陣的轉(zhuǎn)置定義5 (轉(zhuǎn)置矩陣) 設(shè)，是將A的行和列對(duì)應(yīng)互換得到的矩陣，稱它為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作。如 ，則。矩陣的轉(zhuǎn)置滿足下列運(yùn)算法則：（1） ；（2） ；（3） 是數(shù)；（4） 例10 設(shè)，求。解：解法1 ，所以 。解法2 。定義6 (對(duì)稱矩陣) 設(shè)是 階矩陣。如果，則稱A為對(duì)稱陣。顯然，其元素滿足：； 如果，則稱A為反對(duì)稱陣。顯然，其元素滿足：。例如是一個(gè)對(duì)稱矩陣，而 是一個(gè)反對(duì)稱矩陣。顯然，對(duì)角矩陣一定是對(duì)稱矩陣。五、方陣的行列式定義7 (方陣的行列式) 由n階方陣的元素，不改變它的位置構(gòu)成一個(gè)n階行列式，稱此行列式為矩陣A所對(duì)應(yīng)的行列式，記做 | A | 或d

8、et (，即 。注意：矩陣的行列式與矩陣是兩個(gè)不同的概念，前者是一個(gè)數(shù)，后者是一個(gè)數(shù)表。矩陣的行列式滿足以下運(yùn)算律，設(shè)A、B都是方陣，則 （1） （由行列式性質(zhì)） 。（2） ，n是矩陣A的階。（3） 。定義8 ( 伴隨矩陣 ) 設(shè)是n階方陣，由行列式 | 中的每個(gè)元素aij的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的矩陣，稱之為矩陣的伴隨矩陣。注意，伴隨矩陣在位置上的元素是矩陣在位置上的代數(shù)余子式。例如， 的伴隨矩陣是 。定理1 設(shè)A是n階方陣，A* 是A的伴隨矩陣，則證明 記 ，由矩陣的乘法，展開定理1.3及推論1.3，得 。例11 求矩陣 的伴隨矩陣。42分鐘內(nèi)容小結(jié):矩陣運(yùn)算思考題:任何矩陣都有伴隨矩陣嗎?作

9、業(yè)題:P53 3, 4(4), 5 備注:3分鐘授課章節(jié)§3 逆矩陣目的要求掌握逆矩陣的算法重點(diǎn)難點(diǎn)求逆陣復(fù)習(xí)3分鐘§3 逆矩陣知識(shí)點(diǎn)：逆矩陣的定義，逆矩陣存在的充分必要條件。定義9（逆矩陣） 設(shè)是階矩陣，若存在矩陣，使得，則稱矩陣是矩陣的逆矩陣；并稱是可逆矩陣（或稱矩陣是可逆的）。例如 ，則 是A的逆矩陣。 由逆矩陣的定義可知，逆矩陣是互稱的，就是如果B是A的逆矩陣，則A也是B的逆矩陣。關(guān)于逆矩陣有兩個(gè)問題：A滿足什么條件，它存在逆矩陣；如果A存在逆矩陣，那么它有幾個(gè)逆矩陣。首先回答后一個(gè)問題，下面的定理給出前一個(gè)問題的解答。如果A可逆，則它的逆矩陣是唯一的。這是因?yàn)椋?/p>

10、果B，C均是A的逆矩陣，即和，則 。這說明，A的逆矩陣B由A唯一確定，這時(shí)可記B = A-1 。定理 矩陣是可逆的充分必要條件是它的行列式 ；且在 時(shí)，。證明 必要性，設(shè)A 可逆，則存在A-1滿足，取行列式，故 。充分性，設(shè)，由伴隨矩陣得，從而，當(dāng)時(shí)，有，即A可逆，且。此定理給出矩陣可逆的充要條件，同時(shí)還給出逆矩陣的求法伴隨矩陣法。有時(shí)稱可逆矩陣為非奇矩陣；稱不可逆矩陣（即時(shí)）為奇異矩陣。42分鐘例12 判斷矩陣是否可逆，如果可逆求它的逆矩陣。例13 設(shè)、，求矩陣X ，使其滿足AXB = C 。例14 利用逆矩陣求方程組 方陣的逆矩陣有下面的性質(zhì)，（1） 若A 可逆，則A-1 亦可逆，并且。（

11、2） 若A可逆，則 亦可逆，并且。（3） 若A、B可逆，則AB亦可逆，且。（4） 若A可逆，則 亦非奇，且。（5） 若A可逆，則 。（因?yàn)椋?） 設(shè)A是方陣，如果存在方陣B，使得AB = E（或BA = E），則 B = A-1 。42分鐘內(nèi)容小結(jié):逆陣思考題:若AB = E,則矩陣A、B一定是可逆的，這種說法對(duì)嗎？作業(yè)題:P53 11(1)(3)(4), 12(1),13(1)備注:3分鐘授課章節(jié)§4 矩陣分塊法（簡介）目的要求分塊矩陣運(yùn)算重點(diǎn)難點(diǎn)分塊矩陣運(yùn)算復(fù)習(xí)3分鐘§4 矩陣分塊法知識(shí)點(diǎn)：分塊的目的，一些特殊結(jié)構(gòu)矩陣的分塊運(yùn)算。把一個(gè)矩陣看成是由一些小矩陣組成的，有時(shí)會(huì)對(duì)一些具有特殊結(jié)構(gòu)的矩陣的運(yùn)算帶來方便，如乘法和求逆等。而在具體運(yùn)算時(shí)，則把這些小矩陣看作數(shù)一樣（按運(yùn)算規(guī)則）進(jìn)行運(yùn)算。這種把一個(gè)矩陣劃分成一些小矩陣，就是所謂的矩陣分塊。 矩陣分塊是將矩陣用任意的橫線和叢線切開，例如，下面給出它的三種分法，（i）；令，。則。（ii）；令，。則。（iii）。令，則。當(dāng)然矩陣分塊的目的是為了簡化矩陣的表示或運(yùn)算，矩陣分塊后的運(yùn)算