泰勒級(jí)數(shù)及其應(yīng)用09429

1、第五節(jié) 泰勒級(jí)數(shù)及其應(yīng)用教學(xué)目的：掌握TaylorTh，了解函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)與Taylor展式的關(guān)系；能靈活運(yùn)用導(dǎo)出公式間接求出函數(shù)的泰勒展式；了解函數(shù)泰勒展式的作用.重難點(diǎn)：能靈活運(yùn)用導(dǎo)出公式間接求出所給函數(shù)的泰勒展式以及麥克勞林展式.教學(xué)方法：?jiǎn)l(fā)式講授與指導(dǎo)練習(xí)相結(jié)合教學(xué)過程：一、泰勒級(jí)數(shù)1.通過前面的學(xué)習(xí)我們知道，當(dāng)級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)一定有和函數(shù).現(xiàn)在我們想知道函數(shù)是否一定可以展開為冪級(jí)數(shù)，需不需要附加條件？問題：已知函數(shù)有 .問：(1) 對(duì)于一般的函數(shù)是否也有？(2) 如果能展開,項(xiàng)的系數(shù)如何確定?(3) 展開式是否唯一?(4) 在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)?2.由第四章中的導(dǎo)數(shù)

2、應(yīng)用知道，我們可以用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)，進(jìn)而導(dǎo)出函數(shù)的泰勒中值定理.（作用：用多項(xiàng)式近似表示函數(shù)）【定理】（Taylor中值Th）: 設(shè)在內(nèi)具有直到n+1階導(dǎo)數(shù), 則在內(nèi)，其中為拉格朗日型余項(xiàng).3.【定理】（TaylorTh）: 設(shè)在內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), 則在內(nèi) .其中為的拉格朗日型余項(xiàng).證明: 由于 . 所以 , .4函數(shù)在點(diǎn)有泰勒展式在有任意階導(dǎo)數(shù)且.注意：1）函數(shù)在一點(diǎn)處可以展開為Taylor級(jí)數(shù)時(shí)，其展式是唯一的. 2）為 在點(diǎn)的Taylor級(jí)數(shù)，等式在時(shí)成立，稱為函數(shù)的Taylor展式.5泰勒級(jí)數(shù)與麥克勞林級(jí)數(shù) 設(shè)在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù)，則稱(1) 為在點(diǎn)的泰勒級(jí)數(shù), 記作 .(2) 稱為

3、的麥克勞林級(jí)數(shù), 記作 . 注意問題: 在點(diǎn)具有任意階導(dǎo)數(shù)，那么級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)是否收斂于？例: 在點(diǎn)任意可導(dǎo),且,于是,顯然, .結(jié)論：當(dāng)級(jí)數(shù)收斂于時(shí)，即時(shí)有泰勒展式.二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1直接法(麥克勞林級(jí)數(shù)法)步驟：(1) 求； (2) 求；(3) 寫出的麥克勞林級(jí)數(shù)并求出級(jí)數(shù)的收斂半徑；(4) 討論或 ，(5) 在收斂區(qū)間上有 , .例1 將展開成的冪級(jí)數(shù).解：(1) , ， , ； (2) , 而；(3),().(4) 所以 , .近似計(jì)算: ；.公式：取等不同的值可以得到相應(yīng)的公式. （）.可以由無窮遞縮等比數(shù)列求和公式得到.例2 將展開成的冪級(jí)數(shù).解：(1) , ； (2) 依次

4、循環(huán)取 ；(3), 而；(4) ,.(5) 所以 , .2間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo), 逐項(xiàng)積分等方法,求函數(shù)的泰勒展開式.例3 將展開成的冪級(jí)數(shù).解：已知, . 那么 ,.例4 將展開成的冪級(jí)數(shù).解：已知, . 那么 , .例5 將展開成的冪級(jí)數(shù).解：已知, . 那么 , . 又因?yàn)?時(shí)，級(jí)數(shù) 收斂, 于是 , .例6 將展開成的冪級(jí)數(shù).解 當(dāng)均收斂，故 提問：利用已知展開式展開下列函數(shù)為的冪級(jí)數(shù),并確定收斂區(qū)間:(1)解 因?yàn)?所以有,并由得的收斂區(qū)間為.(2)解 因?yàn)?所以有,并由得的收斂區(qū)間為.(3)解 因?yàn)?所以有.(4)解 由,有又

5、由得其收斂區(qū)間為.(5)解 并由 有 和 ,所以 , .例7（1） (07.3.10)將函數(shù)展開為的冪級(jí)數(shù),并指出收斂區(qū)間.解: 收斂區(qū)間為 .（2） 將展開成的冪級(jí)數(shù).解：由于 又已知, , , .那么 , 收斂域 .練習(xí)： 將展開成的冪級(jí)數(shù).解：由于 又已知, , , ,那么 , .提問：利用已知展開式展開下列函數(shù)為的冪級(jí)數(shù),并確定收斂區(qū)間:(1)解 因?yàn)?又,所以有 ,即 .(2)解 因?yàn)?又，所以有 ，即 .（3）解 類似可求 例8 （1）(87.6) 將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù),并指出其收斂區(qū)間.解 .（2） 95.6) 將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù),并指出收斂區(qū)間.解 易知,并由 , 和 ,可得 ,

6、 .三、冪級(jí)數(shù)在近似計(jì)算中的應(yīng)用1近似計(jì)算思路：欲計(jì)算函數(shù)值, 可將展開成冪級(jí)數(shù),可用近似值計(jì)算, 誤差為.2近似值的精度(1) 給出精度, 通過確定項(xiàng)數(shù),繼而求得需要近似.(2) 給定項(xiàng)數(shù),可求得近似值,通過可估計(jì)精度；例9 計(jì)算的近似值,要求誤差不超過.解法一: 由于,取, 則有且 , 若要求誤差不超過, 應(yīng)取.即要計(jì)算 共10000項(xiàng)！ 顯然此法不可取！解法二(快速收斂級(jí)數(shù)法): 已知 , . 那么 , . 令 , 得, 從而 若取, 有 . ( 截?cái)嗾`差 )于是. ( 舍入誤差 0.6931347574 )對(duì)比精確值: 例13 計(jì)算定積分的近似值,要求誤差不超過.(取)解: 已知 ,

7、. 那么, .于是 若取, 有 . ( 截?cái)嗾`差 )于是 ( 舍入誤差 0.5204904621 )對(duì)比精確值: 練習(xí)：用級(jí)數(shù)展開法近似計(jì)算下列各值(計(jì)算前三項(xiàng)):(1)解 因?yàn)?那么,于是 . (2)解 因?yàn)?那么,于是 .(3)解 因?yàn)?那么,于是 .(4)解 因?yàn)?那么,于是 .(5)解 因?yàn)?那么,于是 .(6)解 因?yàn)?那么,于是 .四、微分方程的冪級(jí)數(shù)解法求方程 () 的特解, 其中解法：(1) 令 , 有,其中為待定系數(shù)；(2) 代入方程()兩端, 得到兩端均為的多項(xiàng)式；(3) 比較兩端系數(shù)并列出方程組, 可解得, ；(4) 在其收斂區(qū)間內(nèi)即為方程()的特解.例14 求滿足的特解.解：(1) 令, 有,其中為待定系數(shù)；(2) 代入方程()兩端, 得 , 其中：(3) 比較兩端系數(shù), 得 , , , , , , , , , (4) 方程的特解為 .小結(jié)：1.函數(shù)在點(diǎn)的泰勒展式為 ，其系數(shù)為泰勒系數(shù).當(dāng)時(shí)，的上述展式為麥克勞林展式.注意：函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒展式唯一.利用公式中的已知收斂域，間接地求所求級(jí)數(shù)的收斂域比較方便. 2常用間接展開公式有 1） 2） 3） 4）