數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例

1、數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例目的要求： 1了解數(shù)學(xué)推理的常用方法：演繹法與歸納法； 2理解數(shù)學(xué)歸納原理的科學(xué)性； 3初步掌握數(shù)學(xué)歸納法的適用場合及證明步驟內(nèi)容分析： 1本課是數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例的第一課時(shí)教師應(yīng)從已學(xué)過的知識(shí)中，選擇含有歸納思想方法的內(nèi)容入手，引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)知識(shí)形成、發(fā)現(xiàn)的過程例如等差數(shù)列通項(xiàng)公式是通過前有限項(xiàng)歸納出一般結(jié)論的；凸n邊形內(nèi)角和公式是根據(jù)三角形、四邊形、五邊形、六邊形內(nèi)角和而發(fā)現(xiàn)的，由此提煉出不同于演繹法的數(shù)學(xué)推理方法：歸納法（由特殊到一般） 2通過學(xué)生易于理解的一些問題，說明歸納法的兩難境地：完全歸納法結(jié)論可靠，但要“完全”歸納，要么不可能做到，要么很難做到；不完全歸

2、納法雖然簡單，但結(jié)論的可靠性無法保證通過介紹近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有名的“哥德巴赫猜想”或“費(fèi)爾馬猜想”，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣，讓學(xué)生接觸近代的數(shù)學(xué)，感受歸納法在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的重要應(yīng)用3通過對(duì)不完全歸納法的分析，引導(dǎo)學(xué)生尋求保證結(jié)論可靠的辦法：關(guān)鍵是“傳遞性”是否具備，若“傳遞性”具備，正確的結(jié)論就會(huì)由一而二，由二而三，以至無窮這方面例子很多，也很有趣，教師應(yīng)據(jù)具體情況，借助“道具”或多媒體技術(shù)展現(xiàn)一、二例，詳加分析；在分析過程中向“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論”靠攏，向數(shù)學(xué)歸納法原理靠攏以下例子，可供選用： 古代用烽火臺(tái)傳遞軍情結(jié)合“烽火戲諸侯”故事，說明數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟缺一不可 多米諾（Domino）骨牌游戲?qū)W

3、生大多有過體驗(yàn)，借助道具很好演示 小孩數(shù)數(shù)發(fā)展過程引導(dǎo)學(xué)生回憶，生動(dòng)有趣。 4本節(jié)課重點(diǎn)在于講清數(shù)學(xué)歸納法的原理、適用范圍及證明步驟指出它對(duì)某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題往往有用教師可抓住機(jī)會(huì)用通俗的例子講清原理并完整地展示證明步驟。 證明命題對(duì)第一個(gè)值n0成立（即nn0時(shí)命題成立）； 利用n=k（kn0）成立，推出nk1時(shí)命題成立； 根據(jù)、可知，命題對(duì)一切nN+，nn0均成立5對(duì)于例1，教師應(yīng)規(guī)范板書，供學(xué)生解題時(shí)模仿嚴(yán)防出現(xiàn)“依此類推”式的不完全歸納法；強(qiáng)調(diào)n=k成立必須應(yīng)用在證明n=k1成立的過程中，不可應(yīng)用等差數(shù)列求和公式證明nk+1成立 6三個(gè)課堂練習(xí)最好讓學(xué)生板演通過板演，發(fā)現(xiàn)學(xué)生證

4、明過程中的錯(cuò)誤教師及時(shí)糾正、剖析，對(duì)書寫規(guī)范要強(qiáng)調(diào)；對(duì)學(xué)生板演中好的方面予以鼓勵(lì)本課中由k到k1的推證，不要增加難度，注意它的可接受性 教學(xué)過程 1介紹歸納法，引出課題 觀察：633，8=53，10=37，12=57，14=311，16511， 78=6711，我們能得出什么結(jié)論（教師啟發(fā)、引導(dǎo)，注意捕捉學(xué)生的議論）？這就是由1742年德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫提出的著明的“哥德巴赫猜想” 教師根據(jù)成績單，逐一核實(shí)后下結(jié)論：“全班及格”這兩種下結(jié)論的方法都是由特殊到一般，這種推理方法叫歸納法歸納法是否能保證結(jié)論正確？ 是不完全歸納法，有利于發(fā)現(xiàn)問題，形成猜想，但結(jié)論不一定正確 是完全歸納法，結(jié)論可靠，

5、但一一核對(duì)困難 數(shù)學(xué)中有一種數(shù)學(xué)歸納法，它也是由特殊到一般，通過它的證明，一定能保證結(jié)論正確（出示課題） 2講清原理，得出方法步驟在等差數(shù)列an中，已知首項(xiàng)為a1，公差為d，那么a1a10×d，a2a11×d，a3=a12×d，a4=a13×d，an=？由以上可知，ana1(n1)d，結(jié)論的猜測運(yùn)用的是歸納法，是完全歸納法還是不完全歸納法？結(jié)論正確嗎？如何證明呢？ 先看ana1(n1)d，對(duì)于n=1成立嗎？（成立） 假設(shè)ana1(n1)d，對(duì)于n=k成立，那么當(dāng)n=k1時(shí)，成立嗎？即若aka1(k1)d成立，當(dāng) nk1時(shí)，ak+1ak(k1)1d成立嗎？

6、（啟發(fā)學(xué)生從等差數(shù)列定義入手，ak+1akd，·，進(jìn)行推導(dǎo)證明） 這就是數(shù)學(xué)歸納法它一定能保證結(jié)論正確 舉多米諾骨牌的例子，形象地說明數(shù)學(xué)歸納法成立的道理讓學(xué)生回憶自己小時(shí)候?qū)W數(shù)數(shù)的經(jīng)歷。先會(huì)數(shù)1，2，3；再數(shù)到10；再數(shù)到20以內(nèi)的數(shù)；再數(shù)到30以內(nèi)的數(shù)，終于有一天我們可以驕傲地說：我什么數(shù)都會(huì)數(shù)了為什么呢？（教師注意激活學(xué)生原有的學(xué)習(xí)體驗(yàn)） 因?yàn)闀?huì)數(shù)1，2，3，有了數(shù)數(shù)的基礎(chǔ)，會(huì)在前一個(gè)數(shù)的基礎(chǔ)上加1得到后一個(gè)數(shù)，進(jìn)行傳遞，所以，可以說什么數(shù)都會(huì)數(shù)了 得到數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟： （I）證明當(dāng) nn0（如 n1或2等）時(shí)，結(jié)論正確； （II）假設(shè)nk（kN+且 kn0）時(shí)結(jié)論正確，

7、證明nk1時(shí)結(jié)論也正確3初步應(yīng)用，讓學(xué)生形成新的知識(shí)體驗(yàn)例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明135+(2n1)n2. 分析： 135+(2n1)=n2是由無數(shù)命題組成， 1號(hào)命題：1=12； 2號(hào)命題：1322；3號(hào)命題：13532； k號(hào)命題：135(2k1)k2；k1號(hào)命題：135(2k1)(2k1)=(k1)2； 怎樣驗(yàn)算n1時(shí)，等式成立？ 如何實(shí)現(xiàn)n=k到n=k1的過渡？ 得到什么式子才能稱nk1時(shí)等式成立？ 書寫要體現(xiàn)“兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論”的模式 教師邊講邊板書，為學(xué)生提供一個(gè)范例，供證明時(shí)模仿 4課堂練習(xí)，鞏固提高 板演，時(shí)間緊可采用分組練習(xí)，用多媒體平臺(tái)投影學(xué)生解答，教師及時(shí)點(diǎn)評(píng)，抓住學(xué)生板演

8、中“美麗的錯(cuò)誤”加深對(duì)原理的理解，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)歸納法略顯“刻板”的證題步驟 5歸納小結(jié) 歸納法：由特殊到一般，是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法； 數(shù)學(xué)歸納法的科學(xué)性：基礎(chǔ)正確；可傳遞； 數(shù)學(xué)歸納法證題程序化步驟：兩個(gè)步驟，一個(gè)結(jié)論； 數(shù)學(xué)歸納法優(yōu)點(diǎn)：克服了完全歸納法的繁雜、不可行的缺點(diǎn)，又克服了不完全歸納法結(jié)論不可靠的不足，是一種科學(xué)方法，使我們認(rèn)識(shí)到事情由簡到繁、由特殊到一般、由有限到無窮布置作業(yè) 1教科書習(xí)題21第1、2題 2參考題： 簡析我國古代烽火傳遞軍情的合理性； 分析產(chǎn)生“烽火戲諸侯”鬧劇的原因 簡答：古代邊疆戍兵，每隔一定距離建筑一高臺(tái)，發(fā)現(xiàn)軍情，一臺(tái)燃起狼煙，鄰合見后，也立即起火，這樣軍情就能

9、很快傳告全線戍兵發(fā)生烽火戲諸侯鬧劇的原因是第一臺(tái)謊報(bào)軍情（為買寵妃一笑而點(diǎn)燃烽火），鄰臺(tái)依次迅速起火，造成“謬誤傳遞”數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例（2）目的要求 1進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)歸納法原理：只有兩個(gè)步驟正確，才能下結(jié)論：對(duì)一切nN+，命題正確（強(qiáng)調(diào)缺一不可）2會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的命題 3理解為證nk1成立，必須用nk成立的假設(shè) 4掌握為證n=k1成立的常見變形技巧：提公因式、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、合并項(xiàng)、配方等內(nèi)容分析1本課為數(shù)學(xué)歸納法的第二課時(shí)，重點(diǎn)在于應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法原理證明恒等式，在講具體例子之前，應(yīng)利用第一課時(shí)思考題及教科書例子說明數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟的作用，兩步相輔相成，缺一不可！缺少第一步，遞

10、推缺乏正確的基礎(chǔ)（即使第一步再簡單，也不能省略）；“烽火戲諸侯”中就因?yàn)榈谝徊讲徽_，產(chǎn)生“謬誤傳遞”；在“246+2n=n2n+1的證明中，第二步由n=k推出nk1的運(yùn)算雖然符合規(guī)則，但是證明了一個(gè)不等的恒等式缺少第二步，是不完全歸納法，即使驗(yàn)算再多，僅僅是有限的（對(duì)“哥德巴赫猜想”，借助計(jì)算機(jī)，已驗(yàn)證到108以內(nèi)的偶數(shù)均成立，但這不能代替證明）因此用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，必須有兩個(gè)步驟，兩個(gè)步驟完成后，通常還要作一個(gè)結(jié)論 2在證明傳遞性時(shí)，應(yīng)注意： 證nk1成立時(shí)，必須用nk成立的結(jié)論，否則就不是數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于這一點(diǎn)，學(xué)生可能難以理解：n=k成立是假設(shè)的，用假設(shè)來證明可靠嗎？應(yīng)指出，這一步

11、是證明傳遞性，正確性由第一步保證 證nk1成立時(shí)，可先列出n=k+1成立的數(shù)學(xué)式子，作為證明的目標(biāo)，否則，學(xué)生在證明時(shí)會(huì)迷失方向如在本課例2中，第二步證明是“已知：122232k2=，求證122232k2+(k+1)2= 弄清傳遞性證明的已知和求證后，講解的關(guān)鍵要抓住三點(diǎn)：由nk過渡到n=k1，左邊相差什么式子？整式恒等變形常用方法有哪些？如何變形？ 3對(duì)初值應(yīng)驗(yàn)算幾個(gè)的問題學(xué)生對(duì)第一步中僅就n=n0驗(yàn)證不放心，需不需要對(duì)n0的后續(xù)多個(gè)數(shù)值進(jìn)行驗(yàn)證？應(yīng)向?qū)W生指出，一般驗(yàn)算第一個(gè)值就行了，因?yàn)樵趥鬟f性作用下，“由一而二，由二而三，以至無窮” 4數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式內(nèi)容豐富，很多整齊美觀的恒等式（

12、恒等式系列）可用數(shù)學(xué)歸納法證明限于篇幅，不可貪多求全，應(yīng)盡量講透一、二例選題時(shí)，應(yīng)選用由nk過渡到n=k+1時(shí)只添加一、二項(xiàng)的題，不要涉及添加多項(xiàng)或每項(xiàng)均發(fā)生變化的情況，以免增加學(xué)生負(fù)擔(dān) 5對(duì)要證恒等式的“來歷”，一般不要主動(dòng)跟學(xué)生講，以免轉(zhuǎn)移重點(diǎn)（雖然這很有趣）教師不可扼制學(xué)生的求知欲，有學(xué)生提出時(shí)，可建議看些課外讀物，或在第二課堂安排有關(guān)講座，也可印成閱讀材料供有興趣又學(xué)有余力的學(xué)生課外探討教學(xué)過程 1抓住“兩個(gè)步驟”，進(jìn)行數(shù)學(xué)歸納法原理復(fù)習(xí)用不完全歸納法說明缺乏傳遞性證明不行，那么可以省去第一步嗎？ 例證明：2462nn2n1，若n=k時(shí)，2462kk2k1, 當(dāng)nk1時(shí)，2462 k2

13、(k1)k2k12 k2 (k1)2(k+1)1. 即nk1時(shí)，原等式成立 但n1時(shí)， 23；n2時(shí)，67 原等式不正確 由此，師生共同得到結(jié)論：兩個(gè)步驟，缺一不可教師補(bǔ)充：兩個(gè)步驟完成之后，還要下結(jié)論 2通過例題教學(xué)，深化對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的認(rèn)識(shí) （1） 出示例2，用數(shù)學(xué)歸納法證明： 122232n2=， 分析： 問學(xué)生第一步應(yīng)做什么？本題的n0應(yīng)取多少？然后讓學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證，以得到證明的基礎(chǔ)學(xué)生驗(yàn)證后，教師規(guī)范板書，為學(xué)生示范 啟發(fā)學(xué)生，認(rèn)識(shí)到在證傳遞性時(shí)，已知什么，求證什么，在草稿紙上寫上：“已知122232k2=,求證，122232k2+(k+1)2=”.比較兩個(gè)式子的左邊，相差什么？啟發(fā)學(xué)生

14、理解，求證式的左邊與已知式的左邊相差一項(xiàng)：(k1)2 啟發(fā)學(xué)生應(yīng)用歸納假設(shè)（即中的已知）對(duì)上式進(jìn)行推理變形，放手讓學(xué)生進(jìn)行推導(dǎo)，直到得到結(jié)論 證明見教科書第64頁65頁證明過程中，教師邊啟發(fā)，邊板書，為學(xué)生作證明示范結(jié)束之后，教師引導(dǎo)學(xué)生反思整個(gè)分析及證明過程強(qiáng)調(diào)傳遞性證明中，要弄清已知，求證，而且一定要用這里的歸納假設(shè)（已知），不用就不是數(shù)學(xué)歸納法 （2）出示例3，用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1×42 × 73×10+n(3n1)=n(n1)2組織學(xué)生邊證明邊討論，基本上由學(xué)生完成，形成親身體驗(yàn)教師在學(xué)生嘗試的過程中，邊巡視，邊指導(dǎo)，注意抓住下述要點(diǎn)：知道“”省略了什么

15、， 3×10的后一項(xiàng)是什么，n(3n1)的前一項(xiàng)是什么，再前面一項(xiàng)是什么； 初始值n0是什么，如何驗(yàn)證； 傳遞性證明實(shí)質(zhì)就是證明命題：已知1×42×73×10k(3 k1)k(k1)2，求證1×42×73×10(k+1)3(k+1)1)(k+1)(k1)+12， 完成證明后，讓學(xué)生反思全過程知道在用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式時(shí)，第二步證明中常用到因式分解、配方、添拆項(xiàng)、乘法公式等變形手段 3復(fù)習(xí)鞏固，小結(jié)提高 （1）出示：如下證明對(duì)嗎？（幻燈或多媒體展示） 求證：. 證明： 當(dāng)n1時(shí)，左邊=，右邊1=，等式成立 設(shè)n=k時(shí)，有那么

16、，當(dāng)n=k1時(shí)，有， 即n=k1時(shí)，命題成立根據(jù)、可知，對(duì)nN+，等式成立引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到這不是數(shù)學(xué)歸納法，那么如何改進(jìn)呢？（由學(xué)生完成） （2）分組練習(xí)，教科書第66頁練習(xí)1、23 （3）小結(jié)：用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的步驟及注意事項(xiàng)： 式子結(jié)構(gòu)要分清； 由n=kn=k+1時(shí)，要用歸納假設(shè) 常把n=k+1成立的式子寫在草稿紙上，作為變形目標(biāo) 恒等變形常用的方法有乘法公式、因式分解、添拆項(xiàng)、配方等布置作業(yè) 教科書習(xí)題21第3（1）（2）、4題（據(jù)情況選做或提示后做）數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例（3）目的要求 1會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明整數(shù)（整式）整除問題 2會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的幾何問題 3了解數(shù)學(xué)歸納

17、法應(yīng)用的廣泛性，進(jìn)一步掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟內(nèi)容分析 1數(shù)學(xué)歸納法在應(yīng)用上具有廣泛性，除上節(jié)課利用它證明恒等式外，還在整除性、幾何、組合等式、不等式、三角恒等式等方面具有廣泛應(yīng)用限于課時(shí)要求，僅就具體例子介紹數(shù)學(xué)歸納法在整除方面和幾何方面的應(yīng)用。 2整除問題包括整數(shù)整除問題和多項(xiàng)式整除問題，有關(guān)知識(shí)在小學(xué)、初中介紹過因時(shí)間跨度大對(duì)此應(yīng)作復(fù)習(xí)，在講多項(xiàng)式整除性例題前建議增加一道整數(shù)的整除問題，使學(xué)生對(duì)整除的變形規(guī)律、敘述方式有更多感性認(rèn)識(shí)有了這個(gè)臺(tái)階，學(xué)生對(duì)整式整除問題會(huì)感覺輕松些 3例4證明中由能被xy整除，推導(dǎo)能被xy整除所作變形難度大，注重啟發(fā)學(xué)生尋找合適的變形方式變形關(guān)鍵是使中出現(xiàn)，以

18、便用歸納假設(shè)，這是證明整除問題常用的變形 n=kn=k1中，還可以進(jìn)行另一種變形，增、減項(xiàng)； 還可類比證明：能被xy整除；能被x2y2整除； 能被xy整除4數(shù)學(xué)歸納法證明幾何題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種重要方法：“實(shí)驗(yàn)歸納猜想證明”建議有條件的學(xué)校借助多媒體技術(shù)，將此例改成探索性問題，展示數(shù)學(xué)結(jié)論形成的過程，給學(xué)生一個(gè)暴露思維的機(jī)會(huì)，使學(xué)生在探索中享受數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的快樂掌握數(shù)學(xué)歸納法證明幾何題的關(guān)鍵：發(fā)現(xiàn)遞推關(guān)系本題借助多媒體技術(shù)，形象直觀演示初值驗(yàn)算，在k條直線上增加一條直線帶來的變化（可多次演示），使遞推關(guān)系不易發(fā)現(xiàn)的難點(diǎn)輕松突破，從而提高課堂效率另外，本題的證明表述也是一個(gè)難點(diǎn)，教師應(yīng)邊講邊示范

19、，給出一定時(shí)間讓學(xué)生嘗試、思考，說理要充分要為學(xué)生作表率，“桃李不言，下自成蹊”若教師不能規(guī)范敘述，充分說理，學(xué)生在做作業(yè)時(shí)就可能出現(xiàn)“湊遞推關(guān)系式”的假證明 5本課由相對(duì)獨(dú)立的兩塊內(nèi)容構(gòu)成內(nèi)容多，方法新，書寫難度大課堂練習(xí)、習(xí)題數(shù)量多，不宜再補(bǔ)充習(xí)題，增加容量與難度要盡可能用多媒體技術(shù)進(jìn)行教學(xué)，對(duì)不具備現(xiàn)代教育技術(shù)工具的學(xué)校，可考慮拆分為兩課時(shí)，在每一類問題中增加一些探索性問題鞏固訓(xùn)練，對(duì)數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行小結(jié)復(fù)習(xí)教學(xué)過程 1復(fù)習(xí)舊課，提出任務(wù) 數(shù)學(xué)歸納法證明有哪些步驟？ 數(shù)學(xué)歸納法通常解決什么問題？（與正整數(shù)有關(guān)命題） 指出：數(shù)學(xué)歸納法在證明整除和某些幾何問題中有重要作用出示課題：數(shù)學(xué)歸納法證

20、明整除問題與幾何問題 2進(jìn)行整除問題的教學(xué) （1）什么是整除？對(duì)于整數(shù)a、b，如果abc，c為整數(shù)，則稱a能被b整除；對(duì)于多項(xiàng)式A、B，如果AB·C，C為整式，則稱A能被B整除（多媒體或幻燈展示）（2）出示例題（教科書習(xí)題21中5（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明：能被14整除 分析：能被14整除是什么意思？用數(shù)學(xué)歸納法證明此題有幾個(gè)步驟？ 證明：當(dāng)n=1時(shí)，=36+53=85414×61. 當(dāng)n1時(shí)，能被14整除 設(shè)n=k(k1，kN+)時(shí)，能被14整除 那么當(dāng)n=k+1時(shí) = 能被14整除，56能被14整除， 能被14整除，即nk1時(shí)，命題成立 根據(jù) 可知，能被14整除 反思：第一步中784較大，若初始值n0提前，會(huì)不會(huì)使計(jì)算簡單一些？影不影響證明？ 為什么把 變形為81·，而不變形為呢？ 證明中還有一個(gè)關(guān)鍵是拆項(xiàng)：812556，怎么想到的？首先是想到81中要拆出一個(gè)25來，才能和后面一項(xiàng)提取公因式而得到這個(gè)式子，從而用上歸納假設(shè)當(dāng)然也可拆25，258156（這些技巧的揭示，也可在證題過程中完成，而在反思中強(qiáng)調(diào)） （3）例2