振動(dòng)力學(xué)期末考試試題

1、2008年振動(dòng)力學(xué)期末考試試題第一題（20分）1、在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，已知：重物C的質(zhì)量m1，勻質(zhì)桿AB 的質(zhì)量m2，長(zhǎng)為L(zhǎng)，勻質(zhì)輪O的質(zhì)量m3，彈簧的剛度系數(shù)k。當(dāng)AB桿處于水平時(shí)為系統(tǒng)的靜平衡位置。試采用能量法求系統(tǒng)微振時(shí)的固有頻率。解：系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化成單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以重物C的位移y作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，在靜平衡位置時(shí) y0，此時(shí)系統(tǒng)的勢(shì)能為零。AB轉(zhuǎn)角：系統(tǒng)動(dòng)能：m1動(dòng)能：m2動(dòng)能：m3動(dòng)能：系統(tǒng)勢(shì)能：在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢(shì)力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，因而有：上式求導(dǎo)，得系統(tǒng)的微分方程為：固有頻率和周期為：x2、質(zhì)量為m1的勻質(zhì)圓盤置于粗糙水平面上，輪緣上繞有不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩并通

2、過定滑輪A連在質(zhì)量為m2的物塊B上；輪心C與剛度系數(shù)為k的水平彈簧相連；不計(jì)滑輪A，繩及彈簧的質(zhì)量，系統(tǒng)自彈簧原長(zhǎng)位置靜止釋放。試采用能量法求系統(tǒng)的固有頻率。解：系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化成單自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以重物B的位移x作為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)，在靜平衡位置時(shí) x0，此時(shí)系統(tǒng)的勢(shì)能為零。物體B動(dòng)能：輪子與地面接觸點(diǎn)為速度瞬心，則輪心速度為，角速度為，轉(zhuǎn)過的角度為。輪子動(dòng)能：系統(tǒng)勢(shì)能：在理想約束的情況下，系統(tǒng)的主動(dòng)力為有勢(shì)力，則系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，有：上式求導(dǎo)得系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：固有頻率為：第二題（20分）1、在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，重物質(zhì)量為m，外殼質(zhì)量為2m，每個(gè)彈簧的剛度系數(shù)均為k。設(shè)外殼只能沿鉛垂方向運(yùn)動(dòng)。采

3、用影響系數(shù)方法：（1）以x1和x2為廣義坐標(biāo)，建立系統(tǒng)的微分方程；（2）求系統(tǒng)的固有頻率。解：系統(tǒng)為二自由度系統(tǒng)。當(dāng)x11，x20時(shí)，有：k112k，k212k當(dāng)x21，x21時(shí)，有：k224k，k122k因此系統(tǒng)剛度矩陣為：系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為：系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：頻率方程為：解出系統(tǒng)2個(gè)固有頻率：，x1x22、在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，物體A、B的質(zhì)量均為m，彈簧的剛度系數(shù)均為k，剛桿AD的質(zhì)量忽略不計(jì)，桿水平時(shí)為系統(tǒng)的平衡位置。采用影響系數(shù)方法，試求：（1）以x1和x2為廣義坐標(biāo)，求系統(tǒng)作微振動(dòng)的微分方程；（2）系統(tǒng)的固有頻率方程。解：系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)，以物體A和B在鉛垂方向的位移x1和x

4、2為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。D當(dāng)x11，x20時(shí)，AD轉(zhuǎn)角為，兩個(gè)彈簧處的彈性力分別為和。對(duì)D點(diǎn)取力矩平衡，有：；另外有。同理，當(dāng)x21，x21時(shí)，可求得：，因此，系統(tǒng)剛度矩陣為：系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為：系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：頻率方程為：即：第三題（20分）在圖示振動(dòng)系統(tǒng)中，已知：物體的質(zhì)量m1、m2及彈簧的剛度系數(shù)為k1、k2、k3、k4。（1）采用影響系數(shù)方法建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程；（2）若k1= k3=k4= k0，又k2=2 k0，求系統(tǒng)固有頻率；（3）取k0 =1，m1=8/9，m2 =1，系統(tǒng)初始位移條件為x1(0)=9和x2(0)=0，初始速度都為零，采用模態(tài)疊加法求系統(tǒng)響應(yīng)。解：（1）系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化

5、為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)。當(dāng)x11，x20時(shí)，有：k11k1+k2+k4，k21k2當(dāng)x21，x21時(shí)，有：k22k2+k3，k12k2。因此，系統(tǒng)剛度矩陣為：系統(tǒng)質(zhì)量矩陣為：系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：（2）當(dāng)，時(shí)，運(yùn)動(dòng)微分方程用矩陣表示為：頻率方程為：求得：（3）當(dāng)k0=1，m1=8/9，m2 =1時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)量陣：系統(tǒng)剛度陣：固有頻率為：，主模態(tài)矩陣為：主質(zhì)量陣：主剛度陣：模態(tài)空間初始條件：， 模態(tài)響應(yīng)：，即：，因此有：xC第四題（20分）一勻質(zhì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，兩端用彈簧支承，彈簧的剛度系數(shù)為k1和k2。桿質(zhì)心C上沿x方向作用有簡(jiǎn)諧外部激勵(lì)。圖示水平位置為靜平衡位置。（1）以x和為廣義坐標(biāo)，采用影響

6、系數(shù)方法建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程；（2）取參數(shù)值為m=12，L=1，k1 =1，k2 =3，求出系統(tǒng)固有頻率；（2）系統(tǒng)參數(shù)仍取前值，試問當(dāng)外部激勵(lì)的頻率為多少時(shí)，能夠使得桿件只有方向的角振動(dòng)，而無x方向的振動(dòng)？解：（1）系統(tǒng)可以簡(jiǎn)化為二自由度振動(dòng)系統(tǒng)，選x、q為廣義坐標(biāo)，x為質(zhì)心的縱向位移，q 為剛桿的角位移，如圖示。當(dāng)、時(shí)：，當(dāng)、時(shí)：，因此，剛度矩陣為：質(zhì)量矩陣為：系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程：（2）當(dāng)m=12，L=，k1 =1，k2 =3時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為：頻率方程為：即：求得：（3）令，代入上述動(dòng)力學(xué)方程，有：由第二行方程，解得，代入第一行的方程，有：，要使得桿件只有方向的角振動(dòng)，而無x方向的振動(dòng)，

7、則需，因此。F(t)yxLa第五題（20分）如圖所示等截面懸臂梁，梁長(zhǎng)度為L(zhǎng)，彈性模量為E，橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為I，梁材料密度為。在梁的位置作用有集中載荷。已知梁的初始條件為：，。（1）推導(dǎo)梁的正交性條件；（2）寫出求解梁的響應(yīng)的詳細(xì)過程。（假定已知第i階固有頻率為，相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)為，）提示：梁的動(dòng)力學(xué)方程為：，其中，為函數(shù)。解：（1）梁的彎曲振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程為：可寫為：代入梁的動(dòng)力學(xué)方程，有：設(shè)與、對(duì)應(yīng)有、，有：（1）（2）式（1）兩邊乘以并沿梁長(zhǎng)對(duì)積分，有：（3）利用分部積分，上式左邊可寫為：（4）由于在梁的簡(jiǎn)單邊界上，總有撓度或剪力中的一個(gè)與轉(zhuǎn)角或彎矩中的一個(gè)同時(shí)為零，所以，上式右邊第一、第二項(xiàng)等于零，成為：將上式代入（3）中，有：（5）式（2）乘并沿梁長(zhǎng)對(duì)積分，同樣可得到：（6）由式(5)、(6)得：（7）如果時(shí)，則有： 當(dāng)（8）上式即梁的主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性。再由（3）及（6）可得： 當(dāng) 當(dāng)上兩式即梁的主振型關(guān)于剛度的正交性。當(dāng)時(shí)，式（7）總能成立，令：、即為第j階主質(zhì)量和第j階主剛度。由式（6）知有：如果主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件來確定：（9）則所得的主振型稱為正則振型，這時(shí)相應(yīng)的第j階主剛度為。式（9）與（8）可合并寫為：由式（6）知有：， （2）懸臂梁的運(yùn)動(dòng)微分方程為：（1）其中：（2）令：（3）代