2013屆北京西城區(qū)高三數(shù)學理科一模試卷及答案

1、北京市西城區(qū)2012 2013學年度第一學期期末試卷 高三數(shù)學（理科） 2013.1第卷（選擇題 共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項1已知集合，則（ ）（A）（B）（C）（D）2在復平面內，復數(shù)的對應點位于（ ）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3在極坐標系中，已知點，則過點且平行于極軸的直線的方程是（ ）（A）（B）（C）（D）4執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸出， 則框圖中 處可以填入（ ） （A）（B）（C）（D）5已知函數(shù)，其中為常數(shù)那么“”是“為奇函數(shù)”的（ ）（A）充分而不必要條件（B）必要而不

2、充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件6已知是正數(shù)，且滿足那么的取值范圍是（ ）（A）（B）（C）（D）7某四面體的三視圖如圖所示該四面體的六條棱的長度中，最大的是（ ） （A）（B）（C）（D）8將正整數(shù)隨機分成兩組，使得每組至少有一個數(shù)，則兩組中各數(shù)之和相等的概率是（ ）（A）（B）（C）（D）第卷（非選擇題 共110分）二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分9. 已知向量，.若向量與向量共線，則實數(shù) _10如圖，中，以為直徑的圓交于點，則 ；_11設等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，其前項和為若，則_ 12已知橢圓 的兩個焦點是，點在該橢圓上若，則的面積是_ 13已知函數(shù)，

3、其中當時，的值域是_；若的值域是，則的取值范圍是_ 14已知函數(shù)的定義域為若常數(shù)，對，有，則稱函數(shù)具有性質給定下列三個函數(shù)： ； ； 其中，具有性質的函數(shù)的序號是_三、解答題：本大題共6小題，共80分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟15（本小題滿分13分）在中，已知 （）求角的值； （）若，求的面積 16（本小題滿分14分）如圖，四棱錐中，底面為正方形，平面，為棱的中點（）求證：/ 平面；（）求證：平面平面； （）求二面角的余弦值17（本小題滿分13分）生產A，B兩種元件，其質量按測試指標劃分為：指標大于或等于為正品，小于為次品現(xiàn)隨機抽取這兩種元件各件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：測

4、試指標元件A元件B（）試分別估計元件A，元件B為正品的概率；（）生產一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品則虧損5元；生產一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品則虧損10元 .在（）的前提下，（）記為生產1件元件A和1件元件B所得的總利潤，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望；（）求生產5件元件B所獲得的利潤不少于140元的概率18（本小題滿分13分）已知函數(shù)，其中（）求的單調區(qū)間；（）設若，使，求的取值范圍19（本小題滿分14分）如圖，已知拋物線的焦點為過點的直線交拋物線于，兩點，直線，分別與拋物線交于點，（）求的值；（）記直線的斜率為，直線的斜率為.證明：為定值20（本小題滿分13分）如圖

5、，設是由個實數(shù)組成的行列的數(shù)表，其中表示位于第行第列的實數(shù)，且.記為所有這樣的數(shù)表構成的集合對于，記為的第行各數(shù)之積，為的第列各數(shù)之積令（）請寫出一個，使得；（）是否存在，使得？說明理由；（）給定正整數(shù)，對于所有的，求的取值集合 北京市西城區(qū)2012 2013學年度第一學期期末高三數(shù)學（理科）參考答案及評分標準 2013.1一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.1D； 2B； 3A； 4C； 5C； 6B； 7C； 8B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9； 10，； 11； 12； 13，； 14注：10、13題第一問2分，第二問3分;14題結論完全正確才給分.

6、三、解答題：本大題共6小題，共80分.若考生的解法與本解答不同，正確者可參照評分標準給分. 15（本小題滿分13分） （）解法一：因為， 所以 3分 因為 ， 所以 ， 從而 ， 5分所以 6分解法二： 依題意得 ，所以 ，即 3分因為 ， 所以 ，所以 5分所以 6分（）解法一：因為 ， 根據(jù)正弦定理得 ， 7分所以 8分因為 ， 9分所以 ， 11分所以 的面積 13分解法二：因為 ， 根據(jù)正弦定理得 ， 7分所以 8分根據(jù)余弦定理得 ， 9分化簡為 ，解得 11分所以 的面積 13分16（本小題滿分14分）（）證明：連接與相交于點，連結因為四邊形為正方形，所以為中點因為 為棱中點 所以

7、3分因為 平面，平面， 所以直線/平面 4分 （）證明：因為平面，所以 5分因為四邊形為正方形，所以， 所以平面 7分 所以平面平面 8分 （）解法一：在平面內過作直線因為平面平面，所以平面由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系 9分設，則 所以 ， 設平面的法向量為，則有所以 取，得 11分 易知平面的法向量為 12分 所以 13分由圖可知二面角的平面角是鈍角， 所以二面角的余弦值為 14分解法二：取中點，中點，連結，因為為正方形，所以由（）可得平面因為，所以由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系 9分設，則 所以 ， 設平面的法向量為，則有所以 取，得 11分 易知平面的法向量為 12

8、分 所以 13分由圖可知二面角的平面角是鈍角， 所以二面角的余弦值為 14分17（本小題滿分13分）（）解：元件A為正品的概率約為 1分元件B為正品的概率約為 2分（）解：（）隨機變量的所有取值為 3分； ； 7分所以，隨機變量的分布列為:8分 9分（）設生產的5件元件B中正品有件，則次品有件.依題意，得 ， 解得 所以 ，或 11分 設“生產5件元件B所獲得的利潤不少于140元”為事件，則 13分18.（本小題滿分13分）（）解： 當時， 故的單調減區(qū)間為，；無單調增區(qū)間 1分 當時， 3分令，得，和的情況如下：故的單調減區(qū)間為，；單調增區(qū)間為5分 當時，的定義域為 因為在上恒成立，故的單調

9、減區(qū)間為，；無單調增區(qū)間7分（）解：因為，所以 等價于 ，其中 9分設，在區(qū)間上的最大值為11分則“，使得 ”等價于所以，的取值范圍是 13分19（本小題滿分14分）（）解：依題意，設直線的方程為 1分將其代入，消去，整理得 4分從而 5分（）證明：設， 則 7分設直線的方程為，將其代入，消去，整理得 9分所以 10分同理可得 11分故 13分由（）得 ，為定值 14分20（本小題滿分13分）（）解：答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求 3分（）解：不存在，使得 4分 證明如下：假設存在，使得 因為， ， 所以，這個數(shù)中有個，個 令 一方面，由于這個數(shù)中有個，個，從而 另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這個實數(shù)之積為）；也表示， 從而 、相矛盾，從而不存在，使得 8分（）解：記這個實數(shù)之積為 一方面，從“行”的角度看，有； 另一方面，從“列”的角度看，有從而有 10分注意